1.1. Definições importantes

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1 Parte I. Inferência Estatística Trata-se do processo de se obter informações sobre uma população a partir dos resultados observados numa amostra. De um modo geral, tem-se uma população com um grande número de elementos e deseja-se, a partir de uma amostra dessa população, conhecer o mais próximo possível algumas características da população. Toda conclusão tirada por uma amostragem, quando generalizada para a população, virá acompanhada de um grau de incerteza ou risco. Ao conjunto de técnicas e procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau de confiabilidade, de confiança nas afirmações que faz sobre a população, baseados nos resultados provenientes de uma amostra, damos o nome de Inferência Estatística. O problema fundamental da estatística é, portanto, medir o grau de incerteza ou risco dessas generalizações. Os instrumentos da Inferência Estatística permitem a viabilidade das conclusões por meio de afirmações estatísticas... Definições importantes - População é uma coleção completa de todos os elementos a serem estudados. (valores, pessoas, medidas, etc). A população é o conjunto Universo, podendo ser finita ou infinita. - Finita - apresenta um número limitado de observações, que é passível de contagem. - Infinita - apresenta um número ilimitado de observações que é impossível de contar e geralmente. Exemplos: Todos as cabeças de gado criados em confinamento; Todas as plantas de uma determinada cultivar de milho; Todos os estudantes da UFVJM. - Amostra é uma subcoleção de elementos extraídos de uma população e deverá ser considerada finita. A amostra deve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo que ela represente todas as características da População. Se esses elementos são selecionados de tal maneira que cada um deles tenha a mesma chance de ser selecionado, temos uma Amostra Aleatória. - Parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica de uma população. Geralmente é representada pela letra grega θ. Alguns parâmetros recebem nomes especiais. A

2 média (µ), a variância (σ ) e o coeficiente de correlação (ρ) são exemplos de parâmetros populacionais. - Estimador: também chamado estatística de um parâmetro populacional é uma medida numérica que descreve uma característica determinada na amostra, uma função de seus elementos. Genericamente, é representada por θ. A média amostral () e a variância amostral (s ) são exemplos de estimadores. Os estimadores são funções de variáveis aleatórias e, portanto, eles também são variáveis aleatórias, desta forma, eles também possuem distribuições de probabilidade associadas. - Estimativa: aos valores numéricos assumidos pelos estimadores, denominamos estimativas. POPULAÇÃO PARÂMETROS AMOSTRAS ESTIMADORES. Distribuição Amostral Como foi visto, o problema da Inferência Estatística é fazer uma afirmação sobre os parâmetros da população por meio de amostras... Distribuição Amostral da Média Suponha uma população identificada pela variável aleatória X, cujos parâmetros média populacional e variância são supostamente conhecidos. Vamos retirar todas as amostras possíveis de tamanho n dessa população e para cada uma delas, calcular a média. Vamos supor a seguinte população {,3,4,5} com média 3,5 e variância,5. Vamos relacionar todas as amostras possíveis de tamanho, com reposição, desta população. (,) (,3) (,4) (,5) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (4,) (4,3) (4,4) (4,5)

3 3 (5,) (5,3) (5,3) (5,5) Agora, vamos calcular a média de cada amostra. Teremos:,0,5 3,0 3,5,5 3,0 3,5 4,0 3,0 3,5 4,0 4,5 3,5 4,0 4,5 5,0 Por fim, vamos calcular a média das médias, ou seja,,0,5 5,0 6 Agora, vamos calcular a variância:,0 3,5,5 3,5 5,0 3,5 Sendo assim,, em que n é o tamanho das amostras retiradas da população. No nosso exemplo,,5 Teorema: para amostras casuais simples,,, retiradas de uma população com média e variância, a distribuição amostral da média, aproxima-se de uma distribuição normal com média e variância. Dessa forma: Logo, o desvio padrão amostral é dado por. Assim, se ~ ; ~ ;. Para padronizar a variável aleatória, temos: e

4 4 ~0;.. Distribuição amostral da proporção Outro parâmetro populacional de interesse em estudos estatísticos é a proporção (p). Exemplo: para detectar o apoio popular a um projeto governamental de reforma agrária, foram entrevistadas 400 pessoas espalhadas em varias capitais. A amostra consiste das 400 pessoas que responderam sim (concordam com o projeto) ou não (discordam). Neste caso, a informação desejada é a PROPORÇÃO das pessoas que concordam com o referido projeto. Então, o parâmetro de interesse é p (proporção) e seu estimador é dado por: Genericamente, em que n é o tamanho da amostra., Quando, ; em que e. ú 400 ú í Note que a variância da proporção amostral é a variância da população dividida pelo número de elementos na amostra, e para n grande, Exemplo dado em sala de aula. 0, 3. Teoria da Estimação 3.. Propriedades dos Estimadores Algumas propriedades dos estimadores são desejáveis no processo de inferência. A escolha de um estimador de um parâmetro θ qualquer em detrimento de outro, depende de uma criteriosa avaliação dessas propriedades. São elas:

5 5 (a) Ausência de Vício (viés) Um estimador θ é não viciado ou não viesado para um parâmetro θ se θ θ. Em outras palavras, um estimador é não viciado se seu valor esperado coincide com o parâmetro de interesse. (b) Consistência Um estimador θ é consistente se à medida que o tamanho da amostra aumenta, seu valor esperado converge para o parâmetro de interesse e sua variância converge para zero. Ou seja, θ é consistente se as duas propriedades são satisfeitas: (i) lim θ θ (ii) lim θ 0 Note que na definição de consistência estamos implicitamente usando o fato de que o estimador depende de n, o tamanho da amostra. Na definição de vício, o resultado deve valer para qualquer que seja o valor de n, isto é, θ θ n. (c) Eficiência :Um estimador eficiente θ é aquele, dentre os estimadores não viciados de θ, que possui a menor variância. Dados dois estimadores θ e θ não viesado para um parâmetro de interesse θ. Dizemos que θ é mais eficiente que θ se θ θ. Em todas as áreas do conhecimento existe a necessidade de se obter conclusões a respeito dos parâmetros de uma população. Para tanto, é necessário estimar os parâmetros em questão. Existem dois tipos de estimação: a estimação pontual e a estimação intervalar. 3.. Estimação Pontual: Quando a estimativa de um parâmetro é representada apenas por um valor. A principal desvantagem é que a estimativa pontual é pouco informativa. Ela não fornece nenhuma idéia do erro que se comete ao assumir o valor da estimativa como igual ao verdadeiro valor do parâmetro desconhecido. O Método da Máxima Verossimilhança: O método da Máxima Verossimilhança foi introduzido por R.A. Fisher em 9. Esse método exige que a função de verossimilhança seja conhecida ou pressuposta. A função de verossimilhança é a distribuição de probabilidade da amostra aleatória dada, em geral, pelo produtório das distribuições de probabilidade individualmente.

6 6 Para apresentar o conceito vamos considerar,,, uma amostra de uma população com densidade, determinada pelos parâmetros,,,3,. Inicialmente, vamos considerar a situação específica de apenas um parâmetro. Para uma amostra aleatória particular,,,, o estimador de máxima verossimilhança, θ, do parâmetro é aquele que maximiza a função de verossimilhança conjunta de,,,. Pelo fato de os valores amostrais,,,, é possível definir a densidade conjunta da função de verossimilhança pelo produtório das densidades de cada,,,3,. Assim, a função de verossimilhança PE dada por: O estimador de máxima verossimilhança (EMV) é aquele que maximiza. Para obtermos tal estimador, basta tomarmos a primeira derivada de em relação ao parâmetro, igualar a zero e resolver para. Quando se tem mais de um parâmetro, tomam-se as derivadas parciais de com respeito a cada um deles, iguala-se cada derivada a zero e resolve-se o sistema formado, obtendo-se o EMV dos parâmetros. Algumas propriedades matemáticas da função garantem a possibilidade de se usar a função suporte ln em seu lugar, já que apresentam o mesmo máximo para o valor de. Isso é feito para facilitar a obtenção do máximo, uma vez que o produtório se transforma em somatório. Exemplo em sala 3.3. Estimação Intervalar A estimação pontual não fornece a idéia da margem de erro que se comete ao estimar um parâmetro de interesse. A estimação por intervalo procura corrigir essa lacuna a partir da criação de um intervalo que garanta uma alta probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro desconhecido. Uma da maneira de se expressar a precisão da estimação é estabelecer limites da forma [a,b], que com certa probabilidade, incluam o verdadeiro valor do parâmetro de interesse. Sendo assim, a estimação por intervalo consiste na fixação de dois valores, a e b, tais que seja a probabilidade de que o intervalo, por eles determinado, contenha o real valor de. O intervalo [a,b] pode ser constituído a partir das distribuições amostrais. Ou seja, utilizando as distribuições de amostragem, podemos obter expressões do tipo:

7 7 Tais expressões podem ser interpretadas da seguinte maneira: Existe 00(- )% de confiança que o verdadeiro valor de ou ( ) esteja contido no intervalo [a,b]. Logo, [a,b] pode ser considerado uma estimativa para ou ( ) em que a probabilidade (- ) ou 00(- )% expressa o grau de confiança que se tem na estimação. Se [a,b] é uma estimativa com 00(- )% de confiança para θ, então, i. O intervalo [a,b] é chamado intervalo de confiança para θ. ii. a e b são chamados limite inferior e limite superior do intervalo de confiança para θ. iii. A probabilidade (- ) = 00(- )% é chamada coeficiente de confiança. iv. A probabilidade é chamada nível de significância Intervalo de Confiança para a média populacional () com variância ( ) Assim, conhecida. Seja ~ ;, logo, ~ ; então, o desvio padrão amostral é dado por. Então temos que, ~0; Sendo assim, o intervalo com -α ou 00(- )% de confiança para com conhecida é:

8 8 ; Obs: os níveis de confiança de confiança mais usados são: -α = 90% -α = 95% -α = 99% Exemplo dado em sala,64,96, Distribuição t de Student Foi visto que ~ ; e que ~0;. No entanto, quando não se conhece a variância populacional, situação mais comum na prática, se as amostras forem pequenas (n < 30) e s (variância da amostra), sujeita a variação amostral for utilizada como estimador de, os valores estandartizados, de uma população normal: ~ Em palavras, segue uma distribuição t com (n-) graus de liberdade. Características da distribuição t - simétrica em relação a media; - forma de sino; - quando, a distribuição t se torna equivalente a distribuição normal; - possui (n-) graus de liberdade Intervalo de Confiança para a média populacional () com variância ( ) desconhecida. em que: Um intervalo com -α ou 00(- )% de confiança para será: s é o desvio padrão amostral ; ; ; ; é o valor tabelado da distribuição t de Student.

9 9 Exercícios. Por meio de uma amostra aleatória simples referente ao numero de ocorrências criminais num certo bairro na cidade de São Paulo, coletada durante 30 dias, obteve-se os seguintes valores: Construa um intervalo de confiança com: a) 90% b) 95% c) 99% Intervalo de confiança para diferença de médias ( µ µ ) conhecidas. Seja X N ( µ ; σ ) e X N ( µ ; σ ) com variâncias σ e σ variáveis aleatórias associadas às populações e. Os estimadores por intervalo para µ µ, obtidos a partir de amostras n e n retiradas dessas populações serão dados pelos seus intervalos de confiança. Para σ e σ conhecidos, temos: σ σ σ σ IC( ) ( µ µ ) = ( X X ) zα ;( X X ) z α + + α + n n n n Em que X é a média da amostra n e X é a média da amostra n.

10 0 OBS: a intenção nesse caso é concluir se há diferença entre as duas médias. Assim, se o intervalo de confiança contiver o valor zero, não temos evidencias significativas para afirmar que uma média difere da outra. Exemplo: duas variáveis aleatórias X e X seguem distribuições normais com variâncias σ = 3,64 e σ = 4,03. Construa um intervalo de confiança para a diferença de médias sabendo que em amostras recolhidas obteve-se: AMOSTRA AMOSTRA n = 3 X = 6, 0 n = 40 X = 4,85 RESOLUÇÃO: 3,64 4,03 3,64 4,03 IC ( 95% ) ( µ µ ) = ( 6, 0 4, 85), 96 + ;( 6, 0 4, 85) +, IC µ µ ( ) ( ) = 95% [ 0,44;,6] COMO O INTERVALO DE CONFIANÇA NÃO CONTEM O ZERO, PODEMOS DIZER QUE HÁ EVIDENCIAS ESTATÍSTICAS PARA AFIRMAR QUE EXISTE DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAS Intervalo de confiança para diferença de médias ( µ µ ) desconhecidas, porém iguais ( σ = σ ). Neste caso, um intervalo de confiança ( α ) com variâncias σ e 00 % de confiança para µ µ será: σ IC( ) ( µ µ ) = ( X X ) t s p ;( X X ) t s α α + + α p + n + n ; n n n ; n + n n em que s é a variância amostral ponderada s p = p ( ) + ( ) n s n s n + n Intervalo de confiança para diferença de médias ( µ µ ) desconhecidas, porém diferentes ( σ σ ). com variâncias σ e σ

11 Neste caso, um intervalo de confiança ( α ) 00 % de confiança para µ µ será: s s s s IC( ) ( µ µ ) = ( X X ) t ;( X X ) t α α + + α + v; n v; n n n Em que, os graus de liberdade são dados pela fórmula de Satterthwaite, 946. v s n s + n = s s n n + n n Intervalos de Confiança para a Proporção Um intervalo com ( α ) 00 % de confiança para p é dado por: ( ) ( ) p( p) p( p) IC p = p z ; p z α α + α n n Exemplo: Pretende-se estimar a proporção p de cura, através do uso de certo medicamento em doentes contaminados com cercaria, que é uma das formas da esquistossomose. Um experimento consistiu de aplicar o medicamento em 00 pacientes, escolhidos ao acaso, e observou-se que 60 deles foram curados. O que podemos dizer da proporção pna população em geral? Uma estimativa pontual para p é ,8. entretanto, podemos dizer mais que isso. Apesar da proporção amostral não ter distribuição Normal, o Teorema Central do Limite nos garante que, para um tamanho de amostra grande, podemos aproximá-la para a Normal. Desse modo, segue que: ~ ; Assim, um intervalo de confiança para a proporção com 95% de confiança é dado por:

12 IC ( ) ( p 0,95 ) Assim, 0,8( 0, ) 0,8( 0, ) = 0,8, 96 ; 0,8 +, IC( ) ( p 0,95 ) = [ 0, 745;0,855] Exercícios. Retiramos de uma população uma amostra de 00 elementos e encontramos 0 sucessos. Sendo %, determine um intervalo de confiança para a proporção real de sucessos na população. Resposta: IC( ) ( p 0,99% ) = [ 9, 7%;30, 8% ]. Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis a modificação do currículo escolar, tomou-se uma amostra de 00 alunos, dos quais, 80 foram favoráveis. Construa um intervalo de confiança a 96% para a proporção de todos os alunos favoráveis a modificação. Resposta: IC( ) ( p 0,96% ) = [ 7,8%;88, % ] Parte II Testes de Hipóteses Trata-se de uma técnica estatística para se fazer inferência. A partir de um teste de hipóteses, realizado com os dados amostrais, pode-se fazer inferência sobre a população e tomar decisões. No caso dos intervalos de confiança, buscava-se cercar o parâmetro de interesse. Agora serão formuladas hipóteses quanto ao valor dos parâmetros populacionais, e pelos elementos amostrais, é realizado um teste, que indicará a aceitação ou rejeição das hipóteses formuladas.. Principais conceitos

13 3 a) Hipótese estatística: trata-se de uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional, ou quanto à natureza da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória populacional. Exemplos: (i) A altura média da população brasileira é,65m, ou seja, :,65. (ii) A variância populacional dos salários num determinado país é de $5.000,00, ou seja, b) Teste de hipótese: é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base nos elementos de uma amostra. c) Tipos de hipóteses: designa-se por, chamada hipótese nula, a hipótese a ser testada, e por ou, a hipótese alternativa. A hipótese nula expressa uma igualdade, enquanto a hipótese alternativa é dada por uma desigualdade. Exemplos: (i) :,65 versus :,65 Esse tipo de formulação dará origem a um teste bicaudal ou bilateral. (ii) :,65 versus :,65 Esse tipo de formulação dará origem a um teste unicaudal ou unilateral à direita. (iii) :,65 versus :,65 Esse tipo de formulação dará origem a um teste unicaudal ou unilateral à esquerda. OBS : Estabelecer e depende exclusivamente da natureza do problema. OBS : A rejeição de implicará na aceitação de. d) Tipos de Erros: como a tomada de decisões sobre a aceitação ou rejeiçã ode uma hipótese estatística é baseada apenas nas informações contidas numa amostra, dois tipos de erros podem ser cometidos: (i) Erro Tipo I: rejeitar quando ela é verdadeira. (ii) Erro Tipo II: aceitar quando ela é falsa.

14 4 A probabilidade de se cometer Erro do Tipo I é denotada por e é chamada nível de significância do teste. A probabilidade se cometer Erro do Tipo II é denotada por. Sendo assim, P(Erro Tipo I) = P(rejeitar H H verdadeira) = P(Erro Tipo II) = P(aceitar H H falsa) = O quadro a seguir resume a natureza dos erros envolvidos no processo de tomada de decisões por meio de testes de hipóteses: H verdadeira H falsa Rejeição de H Erro Tipo I () Decisão correta (- ) Aceitação de H Decisão correta (- ) Erro Tipo I () O tomador de decisões deseja, obviamente, reduzir ao mínimo a probabilidade de se cometer os dois tipos de erro. Tarefa difícil, pois, para um determinado tamanho de amostra, a probabilidade de se cometer Erro Tipo II aumenta à medida que diminui a probabilidade de se cometer Erro Tipo I e vice versa. A redução simultânea dos dois tipos de erros só poderá ser alcançada pelo aumento do tamanho da amostra.. Testes de Significância Os passos para a execução de um teste de hipótese são: (i) (ii) (iii) (iv) (v) Formular as hipóteses e seguindo a natureza do problema em estudo. Especificar o nível de significância Estabelecer a estatística adequada (z, t,, F), segundo as informações disponíveis e determinar as regiões de rejeição e aceitação de. Calcular o valor da estatística que definirá a decisão. Se o valor da estatística pertencer à região de aceitação de, aceita-se a hipótese nula, caso contrário, rejeita-se com nível de significância... Teste de hipótese para a média () de uma população Normal com variância ( ) conhecida:

15 5 (i) Formular as hipóteses : : uma das alternativas : (teste bilateral) : (teste unilateral à direita) : (teste unilateral à esquerda) (ii) Nível de significância. (iii) Se :, então: Estatística do teste: ~0; Se :, então, Se :, então,

16 6 em que é a região de rejeição de e é a região de aceitação de. (iv) (v) Sob calcular Rejeita-se com nível de significância se Exemplo: técnicas do INMETRO desejam avaliar um processo para conservar alimentos enlatados, cuja principal variável de interesse é o tempo de duração dos alimentos. O tempo segue uma distribuição normal com variância 00. A indústria que utiliza o processo afirma que o tempo médio de duração é de 70 dias. Foi retirada uma amostra de 5 latas e a média encontrada foi 60 dias. O que se pode concluir sobre o tempo médio de duração dos enlatados? Utilize : 70 : 70 Então,

17 Conclusão: existe evidencia estatística para rejeitar : 70 ao nível 0.0. Portanto, pode-se concluir que o tempo médio de duração dos enlatados é menor que 70 dias... Teste de hipótese para a média () de uma população Normal com variância ( ) desconhecida: (i) : : uma das alternativas : (teste bilateral) : (teste unilateral à direita) : (teste unilateral à esquerda) (ii) Nível de significância. (iii) Estatística do teste: ~ Se :, então:

18 8 Se :, então, Se :, então, em que é a região de rejeição de e é a região de aceitação de. (vi) (vii) Sob calcular Rejeita-se com nível de significância se Exemplo: Deseja-se investigar certa moléstia que ataca o rim, alterando o consumo de oxigênio desse órgão. Para indivíduos sadios, admite-se que esse consumo tem distribuição Normal com média cm 3 /min. Os valores medidos em cinco pacientes com a moléstia foram: 4,4;,9; 5,0; 3,7; 3,5. Qual seria a conclusão ao nível de % de significância? E a 5%? : a moléstia não altera a média do consumo renal de oxigenio : indivíduos portadores da moléstia tem média alterada. Ou seja: : 70 : 70

19 9 0.0 Então, 5 3,90 0,8 5 5,8 Conclusão: existe evidencia estatística para rejeitar ao nível 0.0. Portanto, pode-se concluir que a moléstia tem influencia sobre o consumo renal médio de oxigênio.