Estatística. Guia de Estudos P1

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1 Estatística Guia de Estudos P1

2 1. Introdução O objetivo principal do curso de estatística é dar as ferramentas necessárias para o aluno saber analisar e manipular dados e, a partir deles, extrair conclusões com base estatística. Esse trabalho consiste em fazer intervalos de confiança, testes de hipótese e análises de variância. Desse modo, o estudante poderá calcular, por exemplo, a probabilidade de erro ao aceitar uma condição qualquer em determinado projeto ou atividade. Este curso abrange desde o básico de Estatística Descritiva como cálculo de medidas de posição e dispersão aos cálculos de regressão e correlação. 2. Estatística Descritiva As medidas de posição e dispersão são fundamentais para o curso. No caso de dados não agrupados, é recomendável aprender a realizar os cálculos em calculadora. É importante ressaltar que os valores calculados a partir das distribuições são valores amostrais. Mais para frente, utilizaremos esses parâmetros amostrais para estimar os populacionais. Média: x = & %'( $ % ) à x = x * p * A mediana trata-se do ponto médio da distribuição. Após ordenar os valores, observar qual elemento ocupa a posição central. No caso de uma distribuição com número par, realiza-se a média aritmética dos termos centrais. A moda é o termo mais frequente. Variância: s 2 = $* - $. )-/ 1

3 Desvio padrão: s = s. 3. Estatística Descritiva Dados agrupados Média: x = & %'( ) $ % 1 % Mediana = L i + (3. -45) 178 h Moda = L i + 8/ (8/:8.) h Variância: s 2 = 1* $* - $. )-/ = $* < 1*- 3-/ =%>% <? 4. Estimadores de Máxima Verossimilhança Esse tópico marca o início da estatística de gente grande. Até então, os conceitos apresentados já eram superficialmente conhecidos, visto que são cobrados no vestibular. Realizar B C 8C e isolar o θ. L θ = f x * 2

4 5. Intervalo de Confiança Conceito extremamente importante que consiste em utilizar os valores amostrais obtidos através das fórmulas de Estatística Descritiva para encontrar estimativas para os parâmetros populacionais. A vantagem de fazer isso é obter uma visão mais ampla e confiável da sua população de estudo e facilitar a tomada de decisões. Para fazer isso, utilizam-se diversas tabelas (normal, t de Student, Quiquadrado, entre outras) e os graus de liberdade relacionado ao tamanho da amostra. Basicamente, quanto maior a sua amostra, mais confiável vai ser sua estimativa, pois você aproximou-se mais do tamanho da população. Cuidado: nos intervalos de confiança, trabalha-se com o valor bicaudal das tabelas estatísticas. Apenas em Teste de Hipóteses serão usados casos monocaudais. Média com desvio padrão conhecido: μ = x ± z σ N Média com desvio padrão desconhecido: μ = x ± t s N Fração da população: p = p ± z NO ) Variância: 3-/ P < Q( R < ) σ. 3-/ P< Q(/- R < ) Diferença entre medias: x 5 x U ± z V W < < + V Y 3/ 3. Diferença entre frações populacionais: p 5 p U ± N WO W 3 W + N YO Y 3 Y 3

5 6. Teste de Hipótese de uma população O teste de hipótese é utilizado para tomada de decisões. De forma geral, comparam-se duas hipóteses complementares, uma sendo a H0 hipótese nula - e a outra a H1, que é a hipótese desejada. É essencial deixar claro quais as suas hipóteses no início de cada exercício. O que dificulta nessa parte são os testes bicaudais vs monocaudais. Resumidamente, utilizamos monocaudal quando o teste é do tipo {<,>} e bicaudal quando o teste é {=, }. Média com desvio padrão conhecido: Z obs = $ - \ V ) Média com desvio padrão desconhecido: t obs = $ - \ P Variância: X 2 = 3-/ P< ]5^_` 7. Teste de Hipótese de duas populações Médias com σ igual e conhecido: z = $ ( - $ < - a V / 3/ : / 3. ) Médias com σ igual e desconhecido: t = Sp 2 = 3 (-/ P ( < : 3 < -/ P < < 3 ( :3 < -. $ ( - $ < - a PN / 3/ : / 3. Médias com σ desigual e desconhecido: t = $ ( - $ < - a P ( < 3/ : P < < 3. 4

6 Graus de Liberdade para σ desigual e desconhecido V = (b ( :b < ) c( <?(d( : c <?<d( e w = P< 3 Comparação de Variâncias: F obs = P ( < P < < 5

7 Exercícios P1 1. Estimadores de Máxima Verossimilhança Dada uma amostra de N elementos seguindo a distribuição de Poisson, encontre o estimador de máxima verossimilhança de µ. f(x) = fg h ij 2. Teste de Hipóteses com duas populações Uma empresa está testando o desempenho de duas abordagens de venda. Para tanto ela selecionou 10 vendedores e pediu para cada um deles usar em uma semana a abordagem A, e, em outra semana, usar a abordagem B. Um analista coletou o volume de peças vendidas de cada um dos vendedores em cada uma destas duas semanas e organizou a tabela abaixo. k! Observação Amostra A Amostra B

8 a. É possível afirmar, com 1% de significância, que a abordagem A é melhor que a abordagem B? b. Com os dados do exercício anterior, o analista responsável percebeu que cometeu um erro no registro das vendas e que os dados da tabela não estão de fato emparelhados. Assim, ele decide testar ao nível de 5% se as médias das duas abordagens de venda são diferentes. Verifique se há igualdade entre as variâncias populacionais ou não, e compare as duas médias populacionais. 3. Média, Desvio Padrão e Intervalo de Confiança Prova 2015 As Linhas Aéreas Botucatu (LAB) estão fazendo um estudo sobre a ocupação de suas aeronaves, cuja capacidade máxima é de 50 passageiros. Os últimos 100 voos da empresa revelaram os seguintes dados: Passageiros Voos Ponto Médio xifi Xi 2 fi 20 < x < x < x < x < x < x Total 100 a. Calcule a média e a variância da quantidade de passageiros transportados. 7

9 b. Para ter lucro, a empresa deve ter um mínimo de 36 passageiros por voo. Estimar, com 95% de confiança, a proporção mínima de voos com mais de 36 passageiros. c. Sabe-se que no máximo 10% dos passageiros que fizeram reserva não comparecem ao voo (no show). Qual o tamanho de amostra necessário para estimar esta proporção, com precisão de 0,01 e com confiança de 99%? 4. Intervalo de Confiança Lista de Exercícios Qual deve ser o tamanho da amostra de forma que a semi amplitude do intervalo de confiança não seja superior a 0,6 e o nível de confiança seja de 99%? Neste caso, o desvio padrão populacional não é conhecido. Coletou-se uma amostra piloto de N=16 para estimar o desvio padrão (s=2,1). Dica: estime o t a partir da amostra piloto. 8

10 z raus raus Tabelas disponibilizadas pela disciplina PRO3200 9

11 Gabarito 1. µ = kr s 2. a. Tcrit = 2,821 e Tcalc = 4,41. A é melhor que B. b. Não é possível rejeitar a igualdade das variâncias. Fcalc = 1,15. Fcrit = 4,03 3. a. Média = 43,45 ; Variância = 38,43 b. p = 0,815 c. n = N =

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