Inferência Estatística. Teoria da Estimação

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1 Inferência Estatística Teoria da Estimação

2 Os procedimentos básicos de inferência Estimação: usamos o resultado amostral para estimar o valor desconhecido do parâmetro Teste de hipótese: usamos o resultado amostral para avaliar se uma afirmação sobre o parâmetro (uma hipótese) é sustentável ou não

3 Objetivo Obter informações da população a partir dos resultados de uma amostra

4 Considere uma indústria de produtos de cabelo que pretende investigar a aceitação, entre as mulheres, de seu novo produto tonalizante. Para tanto, foi selecionado uma amostra aleatória de mulheres que utilizaram o produto e verificamos qual é o percentual de aprovação desse produto na amostra. Um psiquiatra interessado em determinar o tempo de reação de um medicamento antidepressivo em crianças. Uma amostra aleatória de crianças que utilizaram o medicamento é obtida e analisamos o tempo médio de reação. Determinar o valor de um parâmento por meio da avaliação de uma amostra

5 Conceitos básicos de inferência estatística Parâmetro: é uma medida numérica, em geral desconhecida, que descreve uma característica de interesse de uma população. (média populacional), (desvio-padrão populacional) e (proporção populacional ) Estatística: é qualquer valor calculado a partir dos dados populacionais (média amostral), (desvio-padrão amostral) e (proporção amostral) Estimador: uma estatística destinada a estimar um parâmetro Estimativa: Dada uma amostra, o valor assumido pelo estimador

6 Identificação dos alunos Tabela 1: População de alunos Idade em anos completos Sexo feminino (f); masculino (m) 1 22 f 2 19 f 3 19 m 4 20 f 5 22 m 20,4 anos σ 1,84 anos² 1,36 anos 40% dos alunos são homens Proporção de homens é =0,40

7 Parâmetros que descrevem a população de alunos Idade média Desvio padrão de idade Proporção de homens

8 Estimar: por (idade média amostral) por (proporção amostral de homens)

9 Tabela 2. Todas as possíveis amostras aleatórias simples com reposição de tamanho 2, da população de alunos Amostra Alunos Selecionados Dados amostrais 1 1 e 1 22 f, 22 f 22,0 0,0 2 1 e 2 22 f, 19 f 20,5 0,0 3 1 e 3 22f, 19 m 20,5 0,5 4 1 e 4 22 f, 20 f 21,0 0,0 5 1 e 5 22 f, 22m 22,0 0,5 6 2 e 1 19 f, 22 f 20,5 0,0 7 2 e 2 19 f, 19 f 19,0 0,0 8 2 e 3 19 f, 19 m 19,0 0,5 9 2 e 4 19 f, 20 f 19,5 0, e 5 19 f, 22 m 20,5 0, e 1 19 m, 22 f 20,5 0, e 2 19 m, 19 f 19,0 0, e 3 19 m, 19 m 19,0 1, e 4 19 m, 20 f 19,5 0, e 5 19 m, 22m 20,5 1,0

10 Amostra Alunos Selecionados Dados amostrais 16 4 e 1 20 f, 22 f 21,0 0, e 2 20 f, 19 f 19,5 0, e 3 20f, 19 m 19,5 0, e 4 20 f, 20 f 20,0 0, e 5 20 f, 22m 21,0 0, e 1 22 m, 22 f 22,0 0, e 2 22 f, 19 f 20,5 0, e 3 22 m, 19 m 20,5 1, e 4 22 f, 20 f 21,0 0, e 5 22 f, 22 m 22,0 1,0

11 Média dos estimadores e! "# $ =20,4= %&! "# $ =0,4=

12 Variância de Variância de ² ' (1)* '

13 Distribuição Amostrais Tabela 2: Distribuição amostral da idade média Possíveis valores de Probabilidades 19,0 0,16 19,5 0,16 20,0 0,04 20,5 0,32 21,0 0,16 22,0 0,16 Total 1,00

14 Por que é tão importante conhecer a distribuição de? Vamos lembrar que estamos procurando um bom estimador para quando o erro amostral, ), for pequeno Como é desconhecido não é possível mensurar o erro amostral Vamos por um limite para esse erro amostral e vamos denotá-lo por, O erro pode ser cometido para mais ou para menos A probabilidade que devemos calcular é -(),.).,*

15 Distribuição amostral de Consideremos que uma amostra aleatória de tamanho ' é selecionada da população de interesse, para observar a variável aleatória contínua,, com distribuição Normal de média e desvio-padrão. A média amostral,, tem distribuição Normal com média e desviopadrão / ' Tanto que, 0 12, tem distribuição Normal Padrão. 3/ 4

16 Figura 1. Distribuição de quando tem distribuição normal, para alguns tamanhos de amostra.

17 Se é desconhecido, a teoria de probabilidade mostra que, mesmo assim, é possível obter uma distribuição amostral para, utilizando uma distribuição, denotada 6 de Student. Esta distribuição tem forma parecida com a da Normal Padrão. A dispersão da distribuição 6 de Student é maior Essa dispersão varia com o tamanho da amostra, sendo bastante dispersa para amostras pequenas, mas se aproximando da Normal padrão para amostras grandes. A distribuição 6 de Student tem apenas um parâmetro, denominado graus de liberdade, 78

18 Se uma variável aleatória X tem distribuição Normal com média, então 9 ) / ' tem distribuição 6 de Student com ')1 graus de liberdade, sendo é o estimador de, o desvio-padrão de.

19 Figura 2. Densidade de 9 e 0

20 Teorema Central do Limite (TCL) Seja uma variável aleatória contínua com média e desvio-padrão. Uma amostra aleatória de tamanho ' é selecionada da população de interesse, para observar Quando ' é grande o suficiente (em geral, ';30), a média amostral,, tem uma distribuição aproximadamente Normal com média e desvio padrão 3 4. Assim, 12 tem aproximadamente distribuição Normal padrão 3/ 4 Se é desconhecido, pode ser substituído por sua estimativa, o desvio-padrão amostral, e mesmo assim, podemos então dizer que 12 tem aproximadamente distribuição Normal </ 4 Padrão

21 Exemplo 1 Consideramos uma amostra aleatória de ' 100 trabalhadores imigrantes, com a informação sobre, salário mensal dessa amostra de trabalhadores. O salário médio mensal da amostra,, é de 1500 reais e é estimativa de, o salário médio mensal de todos os trabalhadores imigrantes. E o desviopadrão amostral de salário,, é de 1200 reais. Os responsáveis pela pesquisa consideram que uma boa estimativa para o salário médio mensal deve ter no máximo um erro, de 200 reais. Qual a probabilidade do erro máximo ser de 200 reais?

22 Estimação de Parâmetros Estimação Pontual: é usada quando a partir da amostra procura-se obter um único valor de certo parâmetro populacional, ou seja, obter estimativas a partir dos valores amostrais Estimação Intervalar: uma outra maneira de se calcular uma estimativa de um parâmetro desconhecido, é construir um intervalo de confiança para esse parâmetro com uma probabilidade de 1-= (nível de confiança) de que o intervalo contenha o verdadeiro parâmetro. Dessa maneira = será o nível de significância, isto é, o erro que se estará cometendo ao afirmar que o parâmetro está entre o limite inferior e o superior calculado.

23 Tópicos a serem visto em Estimação Intervalar Intervalo de Confiança para a média () Com variância conhecida (²) Com variância desconhecida (²* Intervalo de Confiança para Proporções Intervalo de Confiança para Variância Intervalo de Confiança para a diferença entre duas médias Determinação do Tamanho da Amostra (')

24 Intervalo de Confiança para a média () com variância (²) conhecida ('>30 0) Seja ~ A(,²* tem distribuição normal de média e desvio padrão 3² 4 ~ A, ² ' / 4 tem distribuição A(0,1*

25 - )B.0.B 1)= - )B '.. CB ' 1)= (População Infinita) - )B ' A)' A)1.. CB ' A)' A)1 1)= (População Finita de tamanho D)

26 - )B.0.B 1)= Erro (,) - )B '.. CB ' 1)= (População Infinita) - )B ' A)' A)1.. CB ' A)' A)1 1)= (População Finita de tamanho D)

27 Os níveis de confiança mais usados são: (Dados retirados da tabela) 1)= 90% z H1,64 1)= 95% z H1,96 1)= 99% z H2,58 1)= 85% z=?

28 Os níveis de confiança mais usados são: (Dados retirados da tabela) 1)==90% z=h1,64 1)==95% z=h1,96 1)==99% z=h2,58 1)==85% Z=H1,28

29 Exemplo 2 Seja a duração da vida de uma peça de equipamentos tal 5 horas. Admita que 100 peças foram ensaiadas fornecendo uma duração de vida média de 500 horas e que se deseja obter um intervalo de 95% para a verdadeira média populacional.

30 Intervalo de Confiança para a média () com variância (²) desconhecida ('.30) ²= K "# 1 ², onde ')1 é grau de liberdade 41L ~ A, 3² </ 4 Esta distribuição é conhecida como distribuição t de Student, no caso com (78 ')1) graus de liberdade

31 - )6.9.6 =1)= - )6 '.. C6 ' =1)= (População Infinita) - )6 ' A)' A)1.. C6 ' A)' A)1 =1)= (População Finita de tamanho D)

32 - )6.9.6 =1)= Erro (,) - )6 '.. C6 ' =1)= (População Infinita) - )6 ' A)' A)1.. C6 ' A)' A)1 =1)= (População Finita de tamanho D)

33 Exemplo 3 A seguinte amostra: 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de uma população aproximadamente normal. Construir um intervalo de confiança para com nível de 95%.

34 Atenção!!!! Quando '>30 e for desconhecido usa como uma boa estimativa de. Esta estimação será melhor for o tamanho da amostra

35 Intervalo de Confiança para Proporções () Sendo o estimador de, onde segue uma distribuição normal ~ A, %&(L1%&* 4 ~A, %&(L1%&* 4 U14 U1L (População Infinita) (População Finita) - )B 1) '.. CB (1) * ' 1)= (População Infinita) - )B 1) ' A)' A)1.. CB 1) ' A)' A)1 1)= (População Finita)

36 Intervalo de Confiança para Proporções () Sendo o estimador de, onde segue uma distribuição normal ~ A, %&(L1%&* 4 (População Infinita) Erro (,) ~A, %&(L1%&* 4 U14 U1L (População Finita) - )B 1) '.. CB (1) * ' 1)= (População Infinita) - )B 1) ' A)' A)1.. CB 1) ' A)' A)1 1)= (População Finita)

37 Exemplo 4 Uma centena de componentes eletrônicos foram ensaiados e 93 deles funcionaram mais que 500 horas. Determine um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção populacional sabendo que os mesmos foram retirados de uma população de 1000 componentes.

38 Intervalo de Confiança para Variância (²) Como o estimador de ² é ² pode-se considerar que distribuição Qui-Quadrado 41L <² 3² tem χ 41L ~0 <² 3²

39 - (')1*² χ VW%.². (')1*² =1)= χ X4Y

40 Exemplo 5 A seguinte amostra:9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de uma população aproximadamente normal. Construir um intervalo de confiança para ² com nível de 95%.

41 Determinação do Tamanho da Amostra (') Supondo que há condições para aplicação do Teorema Central do Limite, as fórmulas para o cálculo de ' são obtidas, fixando o erro máximo (,), e o nível de confiança (1)=). A determinação de ' também depende do plano amostral adotado e do parâmetro a ser estimado que podem ser: Fórmula de ' para a estimação de, B 3 4 Fórmula de ' para a estimação, B %& L1%& 4

42 Fórmula de ' para a estimação de ' B, Sugestão para estimação de 1. Usar estimativas de, de um estudo similar feito anteriormente ou de uma amostra piloto; 2. Em muitas situações, podemos considerar que Z[%\X]W^_. Essa aproximação não deve ser usada se a variável em estudo for muito assimétrica `

43 Exemplo 6 Qual é o tamanho de amostra necessário para estimar a renda média mensal das famílias de uma pequena comunidade, com um erro máximo e 100 reais com 95% de confiança, usando amostragem aleatória simples? Sabe-se que a renda familiar está entre 50 e 1000 reais.

44 Fórmula de ' para a estimação de ' B² (1)*,² Sugestão para estimação de 1. Usar estimativas de, de um estudo similar feito anteriormente ou de uma amostra piloto; 2. Substituir o produto (1)* por 0,25.

45 Exemplo 7 Líderes estudantis de uma faculdade querem conduzir uma pesquisa para determinar a proporção de estudantes a favor de uma mudança no horário de aulas. Como é impossível entrevistar os 2000 estudantes em um tempo razoável, decide-se fazer uma amostragem aleatória simples de estudantes:

46 Exemplo 7 (a) Determinar o tamanho da amostra (número de estudantes a serem entrevistados necessário para estimar com um erro máximo de 0,05 e nível de confiança de 95%. Assumir que não há nenhuma informação a priori disponível para estimar.

47 Exemplo 7 (b) Os líderes estudantis também querem estimar a proporção de estudantes que sentem que a representação estudantil atende adequadamente as suas necessidades. Com um erro máximo de 7% e nível de confiança de 95%, determinar o tamanho de amostra para estimar. Utilizar a informação de uma pesquisa similar conduzida a alguns anos, quando 60% dos estudantes acreditavam que estavam bem representados.

48 Exemplo 7 (c) Qual o tamanho da amostra adequadas para atingir ambos os objetivos da pesquisa?

49 Tamanho de N é conhecido Quando A (tamanho da população) é conhecido, o valor ' para estimar e pode ser corrigido (' ): ' A' AC' Notamos que se A é muito maior que ', então ' é aproximadamente '.

50 Exemplo 8 Determinar o tamanho de amostra necessário para estimar o volume médio de vendas de carros novos nacionais entre as concessionária, fixando um nível de confiança de 99% para um erro de estimação igual a 1 automóvel. É conhecido que existem 200 concessionárias na região em estudo. Em uma pesquisa similar feita 5 anos antes, o desvio-padrão amostral foi igual a 2,8. Supor que foi feita uma amostragem aleatória simples.

51 TESTES DE HIPÓTESES 51

52 HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Definição (HIPÓTESE ESTATÍSTICA): Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre os parâmetros de uma ou mais populações. 52

53 HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Exemplo: Suponha que estejamos interessados na taxa de queima de um propelente sólido, usado para fornecer energia aos sistemas de escapamentos de aeronaves. A taxa de queima é uma variável aleatória que pode ser descrita por uma distribuição de probabilidades. Suponha que nosso interesse esteja focado na taxa média de queima (um parâmetro dessa distribuição). 53

54 HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Exemplo (continuação): Especificamente, estamos interessados em decidir se a taxa média de queima é ou não 50 cm por segundo. Podemos expressar isso formalmente como: H 0 : µ = 50 cm/s H 1 : µ 50 cm/s Hipótese Nula Hipótese Alternativa Bilateral 54

55 HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Uma vez que a hipótese alternativa H 1 especifica valores de µ que poderiam ser maiores ou menores do que 50 (ou seja, diferente de 50) ela é chamada de uma hipótese alternativa bilateral. Em algumas situações, podemos desejar formular uma hipótese alternativa unilateral, como em: H 0 : µ = 50 cm/s ou H 0 : µ < 50 cm/s H 0 : µ = 50 cm/s H 0 : µ > 50 cm/s Hipótese alternativa unilateral 55

56 HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Nota: Hipóteses são sempre afirmações sobre a população ou distribuição sob estudo, e não afirmações sobre a amostra. 56

57 HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Um procedimento levando a uma decisão acerca de uma hipótese particular é chamado de teste de uma hipótese. Procedimentos de teste de hipóteses se apoiam no uso de afirmações de uma amostra aleatória proveniente da população de interesse. 57

58 HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Testar uma hipótese envolve: 1) Considerar uma amostra aleatória. 2) Calcular uma estatística de teste a partir dos dados amostrais 3) Usar a estatística de teste para tomar uma decisão a respeito da hipótese nula (H 0 ). 58

59 Testes de hipóteses estatísticas Considere o problema do propelente apresentado no exemplo anterior, com as seguintes hipóteses (usando uma amostra de tamanho n = 10): H 0 : µ = 50 cm/s H 1 : µ 50 cm/s A média amostral é a estatística do teste, neste caso. Ainda, a média amostral pode assumir muitos valores diferentes. Suponha que, se 48,5 51,5, não rejeitaremos H 0 : µ = 50 cm/s, e se < 48,5 ou >51,5 rejeitaremos a hipótese H 0 em favor de H 1 : µ

60 Testes de hipóteses estatísticas Região Crítica ou Região de Rejeição Região de Aceitação Logo, Valores Críticos 60

61 Testes de hipóteses estatísticas EsseNão A procedimento rejeição rejeitar da a hipótese de decisão pode conduzir a uma de duas H 0 quando Hconclusões 0 quando ela ela for erradas: for falsa verdadeira é definida como é definida um Decisão como erro um tipo erro HII. 0 é tipo verdadeira I. H 0 é falsa Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0 Nenhum erro Erro tipo I Erro tipo II Nenhum erro 61

62 Testes de hipóteses estatísticas Como nossa decisão está baseada em variáveis aleatórias, probabilidades podem estar associadas com os erros tipo I e tipo II. Probabilidade do erro tipo I: α = P[erro tipo I] = P[rejeitar H 0 H 0 verdadeira] Nota: a probabilidade do erro tipo I é chamada de níveldesignificância ouerro α outamanhodoteste. 62

63 Testes de hipóteses estatísticas Probabilidade do erro tipo II: β = P[erro tipo II] = P[não rejeitar H 0 H 0 falsa] 63

64 Testes de hipóteses estatísticas Definição(Poder): O poder de um teste é a probabilidade de se rejeitar H 0 dado que uma hipótese alternativa específica H 1 é verdadeira. Nota: O poder de um teste pode ser calculado como 1 β, onde β é a probabilidade do erro tipo II. 64

65 Testes unilaterais e bilaterais Na construção de hipóteses, sempre vamos estabelecer a hipótese nula como uma igualdade de modo que a probabilidade do erro tipo I, α, pode ser controlado em um valor específico. A hipótese alternativa tanto pode ser unilateral como bilateral, dependendo da conclusão a ser retirada se H 0 é rejeitada. 65

66 Conexão entre testes de hipóteses e intervalos de confiança Se [l;u] for um intervalo de confiança de 100(1 α)% para o parâmetro θ, o teste de tamanho α das hipóteses H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ θ 0 Conduzirá a rejeição de H 0 se, e somente se, θ 0 não estiver no intervalo [l;u] de 100(1 α)%. 66

67 Conexão entre testes de hipóteses e intervalos de confiança Se [l;u] for um intervalo de confiança de 100(1 α)% para o parâmetro θ, o teste de tamanho α das hipóteses H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ θ 0 Conduzirá a rejeição de H 0 se, e somente se, θ 0 não estiver no intervalo [l;u] de 100(1 α)%. 67

68 Conexão entre testes de hipóteses e intervalos de confiança Exemplo: Considere um sistema de escape de um foguete. Considerando também que a taxa média de queima obtida de uma amostra de tamanho 16 foi de 51,3 e σ = 2,5. Teste a hipótese de que a taxa média de queima µ é igual a 50 cm/s, usando um intervalo de confiança de 95% para a taxa média de queima µ. 68

69 Procedimento geral para testes de hipóteses a) Enunciar as hipóteses H 0 e H 1 ; b) Fixar o limite do erro =, e identificar a variável do teste; c) Com o auxílio das tabelas estatísticas, considerando = e a variável do teste, determinar as RR (região de rejeição) e RA (região de aceitação) para H 0 ; d) Com os elementos amostrais, calcular o valor da variável do teste; e) Concluir pela aceitação ou rejeição do H 0 o pela comparação do valor calculado no 4º passo com RA e RR. 69

70 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Seja X 1, X 2,.., X n uma amostra aleatória retirada de uma população normal, com variância σ 2 conhecida. Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 (b) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 (c) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 70

71 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Estatística do teste: Z X µ sob H0 0 0 = ~ N(0;1) σ n 71

72 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Se o nível de significância α for adotado, temos: 72

73 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Se o nível de significância α adotado, temos: for 73

74 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Se o nível de significância α for adotado, temos: 74

75 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Teste para a média µ com σ 2 conhecida: Hipótese Nula: H 0 : µ = µ 0 Estatística do Teste: Hipótese Alternativa Z 0 = X µ 0 σ n Critério de Rejeição H 1 : µ µ 0 z 0 > z α/2 ou z 0 < z α/2 H 1 : µ > µ 0 z 0 > z α H 1 : µ < µ 0 z 0 < z α 75

76 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Exemplo:Uma amostra aleatória de cem registros de mortes nos EUA durante o ano passado mostrou uma expectativa de vida de 71,8 anos. Assumindo um desvio-padrão de 8,9 anos, isso parece indicar que a média da expectativa de vida hoje é maior do que 70 anos? Use um nível de significância de 0,05. 76

77 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Seja X 1, X 2,.., X n uma amostra aleatória retirada de uma população normal, com variância σ 2 desconhecida. Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 (b) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 (c) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 77

78 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Estatística do teste: T X s µ sob H0 0 0 = ~ tn 1 n 78

79 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Se o nível de significância α for adotado, temos: 79

80 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Se o nível de significância α for adotado, temos: 80

81 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Se o nível de significância α for adotado, temos: 81

82 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Teste para a média média µ com σ 2 desconhecida: Hipótese Nula: H 0 : µ = µ 0 Estatística do Teste: Hipótese Alternativa T 0 = X µ 0 s n Critério de Rejeição H 1 : µ µ 0 t 0 > t α/2; n 1 ou t 0 < t α/2; n 1 H 1 : µ > µ 0 t 0 > t α; n 1 H 1 : µ < µ 0 t 0 < t α; n 1 82

83 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Exemplo: Os dois registros dos últimos anos de um colégio, atestam para os calouros admitidos uma nota de 115 pontos (teste vocacional). Para testar a hipótese de que a média de uma nova turma é a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra de 20 notas, obtendo-se média de 118 e desvio padrão 20. Admita um nível de significância de 0,05 para efetuar o teste. 83

84 Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Exemplo: (continuação) Se uma amostra aleatória de 12 casas incluídas em um estudo planejado indica que os aspiradores de pó gastam uma média de 42 quilowatts/hora, isso sugere, num nível de significância de 0,05, que os aspiradores de pó gastam, em média, menos de 46 quilowatts/hora por ano? Assuma que a população dos quilowatts/hora seja normal. 84

85 Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Seja X 1, X 2,.., X n uma amostra aleatória de tamanho n tenha sido retirada de uma grande (possivelmente infinita) população e que X ( n) observações nessa amostra pertençam a uma classe de interesse. Então, = X/n é o estimador pontual da proporção populacional p de indivíduos que pertencem a essa classe. Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) (b) (c) H 0 : p = p 0 H 0 : p = p 0 H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0 85

86 Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Estatística do teste: Z 0 = X np np 1 0 p ( ) 0 0 sob H 0 ~ N(0;1) Nota: A distribuição amostral de Z 0 será uma N(0;1) se: (i) np 5, e (ii) n(1 p) 5. 86

87 Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Se o nível de significância α for adotado, temos: 87

88 Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Se o nível de significância α for adotado, temos: 88

89 Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Se o nível de significância α for adotado, temos: 89

90 Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Teste aproximado para uma proporção binomial: Hipótese Nula: H 0 : p = p 0 Z Estatística do Teste: 0 = X np np 0 ( 1 p ) 0 0 Hipótese Alternativa Critério de Rejeição H 1 : p p 0 z 0 > z α/2 ou z 0 < z α/2 H 1 : p > p 0 z 0 > z α H 1 : p < p 0 z 0 < z α 90

91 Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Exemplo: Acredita-se que uma droga comumente prescrita para aliviar a tensão nervosa tem apenas 60% de eficácia. Resultados experimentais com uma nova droga administrada em uma amostra aleatória de cem adultos que sofrem de tensão nervosa mostram que 70 deles sentiram alívio. Isso é evidencia suficiente para concluirmos que a nova droga é superior a usualmente prescrita? Use o nível de significância α = 0,02. 91

92 Amostra única: TESTE PARA σ 2 (e σ) DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Seja X 1, X 2,.., X n uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal. Considere, ainda, que estejamos interessados em testar se a variância σ 2 dessa população é igual a um valor específico σ 2 0. Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) (b) (c) H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 σ 2 0 H 1 : σ 2 > σ 2 0 H 1 : σ 2 < σ

93 Amostra única: TESTE PARA σ 2 (e σ) DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Estatística do teste: χ = n 1 s ( ) 2 sob H0 ~ 2 χ n 1 σ 0 93

94 Amostra única: TESTE PARA σ 2 (e σ) DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Se o nível de significância α for adotado, temos: 94

95 Amostra única: TESTE PARA σ 2 (e σ) DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Se o nível de significância α for adotado, temos: 95

96 Amostra única: TESTE PARA σ 2 (e σ) DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Se o nível de significância α for adotado, temos: 96

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