Parte 8 Testes de hipóteses Comparação de dois grupos

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1 Parte 8 Testes de hipóteses Comparação de dois grupos

2 Um objetivo frequente em estudos de diferentes áreas é a comparação de dois ou mais grupos (ou populações). Alguns exemplos: o Comparação dos salários de homens e mulheres que tenham cargos e formações semelhantes; o Comparação dos tempos de sobrevida de pacientes com câncer submetidos a dois tratamentos diferentes (um convencional e outro original); 2

3 o Comparação das proporções das proporções de cura sob três abordagens terapêuticas distintas... Para qualquer um dos exemplos relacionados, poderíamos expressar alguma percepção (ou desconfiança) acerca dos grupos que estão sendo comparados por meio da definição de hipóteses: o Homens são mais valorizados do que mulheres no ambiente profissional (hipótese científica); o ganho médio dos homens é superior ao ganho médio das mulheres (hipótese estatística); 3

4 o O tratamento original tem eficácia superior ao tratamento convencional (hipótese científica); o tempo mediano de sobrevida é maior para pacientes submetidos ao tratamento original em relação aos submetidos ao tratamento convencional (hipótese estatística); o As três abordagens terapêuticas apresentam eficiências distintas (hipótese científica); as proporções de pacientes curados pelas três abordagens são diferentes (hipótese estatística)... 4

5 Observe que as hipóteses estatísticas se referem a parâmetros das populações (grupos) sob estudo; Um teste de hipóteses é um procedimento estatístico que nos permite avaliar (comprovar ou não) hipóteses referentes a populações com base em dados fornecidos por amostras. Vamos nos ater aos testes de hipóteses referentes à comparação de dois grupos quando a variável sob estudo é contínua (comparando as médias dos dois grupos) ou dicotômica (comparando as respectivas proporções). 5

6 Elementos básicos de um teste estatístico de hipóteses 1) Suposições: Há uma grande variedade de testes de hipóteses. No entanto, a validade da aplicação de um particular tipo de teste dependerá de fatores como: o Da escala de medida da variável - Há testes apropriados para variáveis contínuas, outros para variáveis dicotômicas, outros para variáveis com escala ordinal... 6

7 o Da forma da distribuição dessa variável na população Alguns testes exigem, por exemplo, que a(s) população(ões) sob estudo tenha(m) distribuição normal; o Do método de amostragem métodos específicos devem ser adotados para delineamentos amostrais por conglomerados, em múltiplos estágios... (não trataremos disso nesta disciplina); o Do tamanho de amostra alguns testes somente se aplicam para amostras suficientemente grandes. 7

8 2) Hipóteses: Num teste de hipóteses, são formuladas duas hipóteses referentes aos parâmetros sob investigação: o Hipótese nula: A hipótese nula em geral expressa a inexistência de diferença entre os grupos (ou, mais especificamente, entre seus parâmetros); o Hipótese alternativa: A hipótese alternativa expressa a existência de diferença entre os grupos (ou, mais especificamente, entre seus parâmetros), no sentido em que se deseja comprovar (grupo 1 8

9 superior ao grupo 2; ou grupo 1 inferior ao grupo 2; ou grupo1 diferente do grupo 2). É usual denotar a hipótese nula pelo símbolo H 0 e a hipótese alternativa por H 1. Exemplos: o O ganho médio dos homens é superior ao ganho médio das mulheres: H µ µ µ > µ 0 : H = M vs H1 : H M. 9

10 o O tempo mediano de sobrevida é maior para pacientes submetidos ao tratamento original em relação aos submetidos ao tratamento convencional: H > 0 : MedOrig = MedConv vs H1 : MedOrig MedConv. o As proporções de pacientes curados entre três abordagens terapêuticas (A, B e C) são diferentes: H 0 : = 1 pa = pb pc vs H : pelo menos um par de proporções difere. 10

11 A lógica de um teste de hipóteses consiste em verificar se os dados amostrais fornecem um grau evidência contrária à hipótese nula que seja suficiente para rejeitá-la em favor da hipótese alternativa; Observe que a lógica é semelhante à de julgamentos criminais, em que parte-se da pressuposição de inocência (hipótese nula), verificando-se se há evidências contrárias ao indivíduo em quantidade suficiente para rejeitar tal pressuposição e comprovar sua culpa (hipótese alternativa). 11

12 3) Estatística teste: é alguma estatística calculada com base nas amostras que será usada para quantificar a discrepância entre os resultados amostrais e aquilo que se esperaria sob a hipótese nula; 4) Regra de decisão - consiste num critério a ser estabelecido segundo o qual definiremos para quais valores da estatística teste haverá evidência estatisticamente significativa para rejeitar a hipótese nula e comprovar a hipótese alternativa; 12

13 5) Conclusão A conclusão do teste baseia-se na aplicação da regra de decisão para o valor da estatística teste, calculada com base nas amostras. Conclusões possíveis: o Se o valor da estatística teste, segundo a regra de decisão, for suficientemente discrepante em relação à hipótese nula, então rejeitamos a hipótese nula e comprovamos a hipótese alternativa; o Se o valor da estatística teste, segundo a regra de decisão, não for suficientemente discrepante em relação à hipótese nula, então 13

14 dizemos que não há evidência amostral suficiente para rejeitar a hipótese nula. Observe que comprovar (ou aceitar) a hipótese nula não é, em quaisquer circunstâncias, uma conclusão válida para um teste de hipóteses. 14

15 Erros de decisão em um teste de hipóteses É importante ter em mente que um teste estatístico de hipóteses permite julgar afirmações referentes a parâmetros populacionais com base em dados de amostras. Dessa forma, a conclusão produzida por um teste de hipóteses pode ou não ser correta, gerando um dos quatro cenários apresentados na Tabela 8.1: 15

16 Tabela 8.1 Conclusões possíveis em um teste de hipótese Realidade Decisão (desconhecida) Não rejeitar H o Rejeitar H o H o é verdadeira Decisão correta Erro Tipo I H o é falsa Erro Tipo II Decisão correta 16

17 A regra de decisão de um teste de hipóteses pode ser definida com base nas probabilidades admissíveis para os erros de decisão (em particular quanto ao erro do tipo 1). Denominamos nível de significância de um teste (denotado por α ) a probabilidade de decidirmos pela rejeição de H o dado que ela é verdadeira (probabilidade do erro do tipo I). Podemos estabelecer a regra de decisão fixando o nível de significância desejado para o teste. 17

18 Os níveis de significância mais usuais são 1, 5 e 10%; Quanto menor o nível de significância estabelecido para um teste, maior evidência amostral será necessária para a rejeição de H o (e, consequentemente, comprovação da diferença entre grupos). Adicionalmente, chamamos valor p (ou p-value) o menor nível de significância para o qual não se rejeitaria a hipótese H o. Uma escala de evidência contrária a H o, baseada no valor p, é dada na sequência: 18

19 Tabela 8.2 Escala de evidência contrária a H o baseada no valor p. Valor p Força da evidência contrária a H o p > 0,10 Evidência insuficiente 0,05 < p < 0,10 Evidência moderada 0,01 < p < 0,05 Evidência forte 0,001 < p < 0,01 Evidência muito forte p < 0,001 Evidência fortíssima 19

20 Testes de hipóteses para comparação das médias de dois grupos Duas situações distintas serão consideradas, de acordo com as amostras disponíveis: o Amostras pareadas (ou dependentes) quando há algum tipo de relação um a um entre os indivíduos das duas amostras. Exemplos Pares de irmãos gêmeos que são designados a tratamentos diferentes; uso de um creme em uma das mãos; os mesmos indivíduos avaliados antes e após uma intervenção... 20

21 o Amostras não pareadas (ou independentes) quando não há nenhum tipo de relação um a um entre os indivíduos das duas amostras (as amostras são compostas independentemente). Pergunta Quais as vantagens (e desvantagens) de se usar amostras pareadas? Nota Os testes para comparação de médias apresentados são apropriados quando os grupos sob comparação apresentam distribuição normal (embora possam ser aplicados mesmo sem normalidade, considerando grandes amostras). 21

22 Teste de hipóteses para duas médias Caso 1 Amostras pareadas Suponha que se deseja comparar dois grupos A e B, havendo algum tipo de vínculo um a um entre os elementos que compõem as amostras dos dois grupos. Neste caso, calculamos as diferenças dos valores da variável de interesse dentro de cada par e as utilizamos como base para testar a diferença entre os grupos. 22

23 Tabela 8.3 Representação dos dados em um delineamento com amostras pareadas. Par Grupo 1 Grupo 2 Diferenças 1 x x x 3 3 y d1 = y1 x1 y d2 = y2 x2 y d3 = y3 x3 M M M M n x n y n d n = y n x n 23

24 Hipóteses: H 0 : µ 1 = µ 2 vs H1 : µ 1 µ 2; Estatística do teste: d tobs = s n, d sendo d n = d i 1 i = e n ( d d ) amostral das diferenças, respectivamente. n i 2 1 = i= sd a média e o desvio padrão n 1 24

25 Regra de decisão: Devemos rejeitar H o se o valor (em módulo) da estatística do teste for suficientemente grande. Fixado um nível de significância α, devemos rejeitar H o se t obs t ; / 2, onde t n 1; α / 2 é o > n 1 α valor da tabela t, com n 1 graus de liberdade, que delimita uma probabilidade α 2 à direita. 25

26 Nota É sempre importante complementar o resultado de um teste de hipótese com estimativas (pontual, intervalar) para a diferença das médias nos dois grupos. A estimativa pontual para µ 2 µ 1 é a média das diferenças (d ). Já um intervalo de confiança 1 α para µ 2 µ 1 pode ser calculado da seguinte forma: d sd ± tn 1; α / 2, n sendo t ; / 2 o valor da tabela t, com n 1 graus de liberdade, que delimita n 1 α uma probabilidade α 2 à direita (é o mesmo valor usado para um teste com nível de significância α ). 26

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32 Teste de hipóteses para duas médias Caso 2 Amostras independentes Para o caso em que as amostras são independentes, vamos denotar por x 1, x2,..., x n a amostra de n observações do grupo 1 e y, y 2,..., y m 1 a amostra de m observações do grupo 2 (eventualmente, mas não obrigatoriamente, m = n). Vamos denotar por x e s 1 a média e o desvio padrão da primeira amostra e por y e s 2 a média e o desvio padrão da segunda amostra. 32

33 Hipóteses: H 0 : µ 1 = µ 2 vs H1 : µ 1 µ 2; Estatística do teste: t obs y x =, s 1 n +1 m p sendo s p uma estimativa combinada para o desvio padrão populacional: 2 ( n 1) s + ( m 1) 2 1 s2 s p =. n + m

34 Nota O uso deste teste vale caso as variâncias nos dois grupos sejam iguais. Recomendo que você veja, na bibliografia sugerida, como testar a igualdade de variâncias e como fica o teste de comparação de médias quando as variâncias nos dois grupos são diferentes. Regra de decisão: Devemos rejeitar H o se o valor (em módulo) da estatística do teste for suficientemente grande. Fixado um nível de significância α, devemos rejeitar H o se t obs > t n + m ; / 2 n+m 2; α / 2 2 α, onde t é o valor da tabela t, com n + m 2 graus de liberdade, que delimita uma probabilidade α 2 à direita. 34

35 Nota A estimativa pontual para µ 2 µ 1 é a diferença das médias amostrais ( y x ). Já um intervalo de confiança 1 α para µ 2 µ 1 pode ser calculado da seguinte forma: ( y x) ± t s 1 n m m+ n 2 ; α / 2 p + 1, sendo t ; / 2 o valor da tabela t, com n + m 2 graus de liberdade, que n+m 2 α delimita uma probabilidade α 2 à direita (é o mesmo usado para um teste com nível de significância α ). 35

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