Carlos Antonio Filho

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1 Estatística II - Seção 04 Carlos Antonio Filho ESAGS 2 o semestre de 2017 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

2 Comparação de médias de duas populações Vamos ver como comparar as médias de duas populações através de Testes de Hipóteses e Intervalos de Confiança. A estatística usada dependerá de qual das quatro situações tivermos: Amostras pareadas (ou dependentes, ou emparelhadas) variâncias conhecidas Amostras independentes variâncias desconhecidas e iguais variâncias desconhecidas e diferentes Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

3 Amostras pareadas versus Amostras independentes Amostras pareadas Cada membro de uma amostra corresponde a um membro da outra amostra. Exemplo: Amostra 1: Ritmo cardíaco, em descanso, de 35 indivíduos, antes de tomar café. Amostra 2: Ritmo cardíaco dos mesmos indivíduos, depois de beber duas xícaras de café. Amostras independentes As amostras selecionadas das duas populações não são relacionadas. Exemplo: Amostra 1: Nota em um teste para 35 estudantes de Estatística. Amostra 2: Nota no mesmo teste para 42 estudantes de Biologia. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

4 Amostras pareadas Exemplo Cinco operadores de certo tipo de máquina são treinados em máquinas de duas marcas diferentes, A e B. O tempo gasto por cada um deles para a realização de uma mesma tarefa, em cada uma das máquinas, é medido para analisar se a tarefa, em média, demora mais para ser realizada na máquina A, em relação à máquina B. Nesse caso, as amostras são pareadas (ou dependentes, ou emparelhadas), ou seja, cada elemento da amostra da máquina A tem o seu correspondente na amostra da máquina B (no caso, cada elemento da amostra da máquina A é o tempo gasto por um operador com a máquina A, ao qual corresponde o tempo gasto pelo mesmo operador na máquina B). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

5 Amostras pareadas (continuação) Então temos duas variáveis: e X = tempo gasto na realização da tarefa na máquina A Y = tempo gasto na realização da tarefa na máquina B e respectivas amostras X 1, X 2,..., X n e Y 1, Y 2,..., Y n, que na verdade são observações pareadas: X 1 e Y 1 são os tempos gastos pelo 1 o operador nas máquinas A e B, respectivamente; X 2 e Y 2 são os tempos gastos pelo 2 o operador nas máquinas A e B, respectivamente; e assim sucessivamente. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

6 Amostras pareadas (continuação) Definimos então a variável D = X Y que mede a diferença entre o tempo gasto na máquina A e o tempo gasto na máquina B por um mesmo operador e obtemos uma amostra D 1, D 2,..., D n da variável D: Operador X Y D = X - Y 1 X 1 Y 1 D 1 = X 1 Y 1 2 X 2 Y 2 D 2 = X 2 Y n X n Y n D n = X n Y n Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

7 Amostras pareadas (continuação) Observe que reduzimos o problema a um problema com uma única variável, a variável D. O nosso interesse passa a ser o de estudar a média µ D = µ X µ Y da variável D, a qual estimamos pela média amostral D = D 1 + D D n n Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

8 Amostras pareadas (continuação) Como o nosso interesse é testar se há diferença entre as médias das variáveis X e Y, então nossa hipótese nula será sempre Contra a hipótese alternativa H 0 : µ D = 0 H 1 : µ D 0 ou H 1 : µ D > 0 ou H 1 : µ D < 0 dependendo se queremos testar apenas se há diferença entre as médias, ou se a média de X é maior ou menor que a média de Y. Os procedimentos para a realização do teste de hipóteses de comparação de médias, no caso de amostras pareadas, é semelhante ao caso em que testávamos a média de uma população. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

9 Amostras pareadas (continuação) Se não conhecemos a variância σd 2, fazemos o teste t-pareado, usando a estatística T = D µ D S D n t n 1 com a variância amostral S 2 D = 1 n 1 n i=1 ( Di D ) 2 = 1 n 1 [( n i=1 D 2 i ) n ( D ) ] 2 A variável T tem distribuição t-student com n 1 graus de liberdade. Observação n é o número de pares de valores das amostras. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

10 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ D = 0 versus H 1 : µ D 0 (2) Nível de significância do teste: α (3) Estatística do teste (sob H 0, ou seja, µ D = 0): T = D S D n t n 1 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

11 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valores críticos: t c e t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = α 2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

12 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (continuação) (5) Decisão estatística: t obs = d obs s Dobs n Se t obs > t c ou t obs < t c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se t c < t obs < t c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

13 Exemplo de teste bilateral Um médico deseja saber se uma certa droga altera a pressão arterial média. Para isso mediu a pressão arterial em cinco voluntários, antes e depois da ingestão da droga, obtendo os dados abaixo. Existe evidência estatística de que a droga altera a pressão arterial? Suponha que a pressão arterial segue uma distribuição Normal e use um nível de significância de 10%. Voluntário Antes Depois Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

14 Exemplo de teste bilateral (continuação) Em primeiro lugar calculamos as diferenças entre as pressões arteriais medidas para cada voluntário: Voluntário Antes Depois D = Antes - Depois De onde se obtém d obs = 4, 2 e s Dobs = 4, 49. D = diferença entre as pressões arteriais antes e depois da ingestão da droga, tem distribuição Normal Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

15 Exemplo de teste bilateral (continuação) (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ D = 0 versus H 1 : µ D 0 (2) Nível de significância do teste: α = 10% = 0, 1 (3) Estatística do teste: T = D = D t n S D 5 S 4 D Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

16 Exemplo de teste bilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valores críticos: t c e t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = 0, 05, com 4 graus de liberdade, de onde t c = 2, 132. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

17 Exemplo de teste bilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: Ou seja, t c < t obs = 2, 09 < t c. t obs = d obs s Dobs = 4, 2 n 4,49 = 2, 09 5 Portanto, não rejeitamos H 0 ao nível de significância de 10%, ou seja, a droga não altera a pressão arterial. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

18 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ D = 0 versus H 1 : µ D > 0 (ou H 1 : µ D < 0) (2) Nível de significância do teste: α (3) Estatística do teste (sob H 0, ou seja, µ D = 0): T = D S D n t n 1 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

19 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Caso H 1 : µ D > 0 Valor crítico: t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = α Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

20 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Caso H 1 : µ D < 0 Valor crítico: t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = α Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

21 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (continuação) (5) Decisão estatística: t obs = d obs s Dobs n Caso H 1 : µ D > 0 Se t obs > t c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se t obs < t c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Caso H 1 : µ D < 0 Se t obs < t c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se t obs > t c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

22 Exemplo de teste unilateral Para verificar se um novo tipo de gasolina aumenta o rendimento de motores de carros, selecionou-se 12 carros de um mesmo modelo e mediu-se o consumo de combustível. Depois, abasteceu-se os carros por 5 semanas com a nova gasolina e mediu-se novamente o consumo. Sendo X o consumo de um carro, em km/l, com gasolina convencional e Y o consumo com o novo tipo de gasolina, e assumindo normalidade das variáveis em estudo, qual a conclusão ao nível de significância de 5%? Veículo X Y 1 8,1 11,6 2 7,9 8,8 3 6,8 9,9 4 7,8 9,5 5 7,6 11,6 6 7,9 9,1 Veículo X Y 7 5,7 10,6 8 8,4 10,8 9 8,0 13,4 10 9,5 10,6 11 8,0 10,5 12 6,8 11,4 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

23 Exemplo de teste unilateral (continuação) Em primeiro lugar calculamos as diferenças entre os consumos para cada carro (D = X Y ): Veículo X Y D 1 8,1 11,6-3,5 2 7,9 8,8-0,9 3 6,8 9,9-3,1 4 7,8 9,5-1,7 5 7,6 11,6-4,0 6 7,9 9,1-1,2 Veículo X Y D 7 5,7 10,6-4,9 8 8,4 10,8-2,4 9 8,0 13,4-5,4 10 9,5 10,6-1,1 11 8,0 10,5-2,5 12 6,8 11,4-4,6 d obs = 2, 9 e s Dobs = 1, 55 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

24 Exemplo de teste unilateral (continuação) D = X Y = km/l da gasolina velha - km/l da gasolina nova, tem distribuição Normal (1) Hipóteses do teste: (2) Nível de significância do teste: (3) Estatística do teste: H 0 : µ D = 0 versus H 1 : µ D < 0 α = 5% = 0, 05 T = D = n S D D S D 12 t 11 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

25 Exemplo de teste unilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valor crítico: t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = 0, 05, com 11 graus de liberdade, de onde t c = 1, 796. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

26 Exemplo de teste unilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: Ou seja, t obs < t c. t obs = d obs s Dobs = 2, 9 n 1,55 = 6, Portanto, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%, de onde conclui-se que µ D < 0, ou seja, a média da diferença D = X Y é menor que zero, logo a gasolina Y é mais eficiente. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

27 Observação Para n > 30, pode-se usar, por aproximação, a estatística Z = onde usamos a estimativa σ D = s Dobs. D s Dobs n N(0, 1) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

28 Intervalo de Confiança É possível construir-se um intervalo de confiança para µ D, de maneira análoga ao caso da média de uma população. Usando a estatística T : IC µd = [ ] D t γ SD 2 n ; D + t γ SD 2 n onde t γ 2 é tal que P ( ) t γ < T < t γ = γ 2 2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

29 Intervalo de Confiança (continuação) Usando a estatística Z (n > 30): onde z γ 2 é tal que IC µd = [ ] D z γ SD 2 n ; D + z γ SD 2 n ( ) P 0 < Z < z γ 2 = γ 2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

30 Teste por Valor-p H 0 : µ D = 0 versus H 1 : µ D > 0 valor-p = P(T > t obs ) H 0 : µ D = 0 versus H 1 : µ D < 0 valor-p = P(T < t obs ) H 0 : µ D = 0 versus H 1 : µ D 0 se t obs < 0: valor-p = 2.P(T < t obs ) se t obs > 0: valor-p = 2.P(T > t obs ) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

31 Teste por Valor-p (continuação) Para α > valor-p, rejeitamos H 0. Para α < valor-p, não rejeitamos H 0. Para n > 30, pode-se usar, por aproximação, a estatística Z = adotando σ D = s Dobs, e, portanto D s Dobs n N(0, 1) valor-p = P(Z > z obs ) ou valor-p = P(Z < z obs ) ou valor-p = 2.P(Z < z obs ) ou valor-p = 2.P(Z > z obs ) em cada um dos casos. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

32 Exercícios Exercícios 1 e 2 dos Exercícios de Aula - Seção 04. PS /1 - Exercício 6 PS /2 - Exercício 7 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

33 Amostras independentes Quando, por exemplo, deseja-se comparar a altura média da população de duas cidades, o que se faz é coletar uma amostra aleatória em cada cidade e calcular a média observada em cada amostra para realizar a comparação. Não há como estabelecer uma relação de paridade entre as amostras nesse caso. Temos então um caso de amostras independentes. Eventualmente, as amostras podem até ser de tamanhos diferentes. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

34 Amostras independentes (continuação) Neste caso, temos duas variáveis X e Y (por exemplo, alturas em cada cidade), ambas com distribuição Normal, e queremos testar: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y 0 (ou H 1 : µ X µ Y < 0 ou H 1 : µ X µ Y > 0) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

35 Amostras independentes (continuação) Nesse caso, temos duas amostras independentes X 1, X 2,..., X n1 é uma amostra de X Y 1, Y 2,..., Y n2 é uma amostra de Y e usamos a estimativa para µ X µ Y. X Y = X 1 + X X n1 n 1 ( ) Y1 + Y Y n2 n 2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

36 Amostras independentes (continuação) Ao comparar as médias de duas populações com amostras independentes, temos 3 casos: (I) Variâncias Conhecidas (II) Variâncias Desconhecidas e Iguais (III) Variâncias Desconhecidas e Diferentes Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

37 1 o Caso - Variâncias Conhecidas Nesse caso, se ou seja, e X N(µ X, σ 2 X ) e Y N(µ Y, σ 2 Y ), X tem distribuição Normal com média µ X e variância σ 2 X Y tem distribuição Normal com média µ Y e variância σ 2 Y, e sendo X 1, X 2,..., X n1 e Y 1, Y 2,..., Y n2 amostras independentes então ( ) X Y N µ X µ Y, σ2 X n1 + σ2 Y n2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

38 1 o Caso - Variâncias Conhecidas (continuação) Portanto a estatística de teste será (assumindo H 0 verdadeira, ou seja, que µ X µ Y = 0): σ 2 X n 1 Z = X Y (µ X µ Y ) + σ2 Y n2 = X Y σ 2 X n 1 + σ2 Y n2 N(0, 1) (Z tem distribuição Normal com média 0 e variância 1.) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

39 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y 0 (2) Nível de significância do teste: α (3) Estatística do teste (sob H 0, ou seja, µ X µ Y = 0): Z = X Y σ 2 X n 1 + σ2 Y n2 N(0, 1) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

40 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valores críticos: z c e z c onde z c é o valor tal que P(0 < Z < z c ) = 0, 5 α 2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

41 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (continuação) (5) Decisão: σ 2 X n 1 z obs = x obs y obs + σ2 Y n2 Se z obs > z c ou z obs < z c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se z c < z obs < z c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

42 Exemplo de teste bilateral Uma empresa avaliadora de imóveis está estudando as regiões central e oeste da cidade de São Paulo, para verificar se o preço médio, para imóveis comerciais de um dado tamanho, é o mesmo nas duas áreas. De levantamentos anteriores, a empresa sabe que os desvios padrões são de 0,82 UPC (unidade padrão de construção) na região oeste e 0,71 UPC na região central. Uma amostra de tamanho 18 foi coletada na região oeste, assim como uma de tamanho 20 na região central, obtendo médias de 36,7 e 40,2 UPC, respectivamente. Ao nível de significância de 5%, qual a conclusão? Suponha normalidade das variáveis. X = preço de um imóvel na região oeste N(µ X, σ 2 X = (0, 82)2 ) Y = preço de um imóvel na região central N(µ Y, σ 2 Y = (0, 71)2 ) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

43 Exemplo de teste bilateral (continuação) (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y 0 (2) Nível de significância do teste: α = 5% = 0, 05 (3) Estatística do teste: Z = X Y σ 2 X n 1 + σ2 Y n2 = X Y (0,82) (0,71)2 20 N(0, 1) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

44 Exemplo de teste bilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valores críticos: z c e z c onde z c é o valor tal que P(0 < Z < z c ) = 0, 475, de onde z c = 1, 96. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

45 Exemplo de teste bilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: Ou seja, z obs < z c. σ 2 X n 1 z obs = x obs y obs = + σ2 Y n2 36, 7 40, 2 (0,82) (0,71)2 20 = 14 Portanto, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%, de onde conclui-se que µ X µ Y 0, ou seja, os imóveis situados nas regiões central e oeste de São Paulo têm preços médios diferentes. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

46 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y > 0 (ou H 1 : µ X µ Y < 0) (2) Nível de significância do teste: α (3) Estatística do teste (sob H 0, ou seja, µ X µ Y = 0): Z = X Y σ 2 X n 1 + σ2 Y n2 N(0, 1) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

47 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Caso H 1 : µ X µ Y > 0 Valor crítico: z c onde z c é o valor tal que P(0 < Z < z c ) = 0, 5 α Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

48 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Caso H 1 : µ X µ Y < 0 Valor crítico: z c onde z c é o valor tal que P(0 < Z < z c ) = 0, 5 α Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

49 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: Caso H 1 : µ X µ Y > 0 σ 2 X n 1 z obs = x obs y obs + σ2 Y n2 Se z obs > z c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se z obs < z c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Caso H 1 : µ X µ Y < 0 Se z obs < z c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se z obs > z c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

50 Exemplo de teste unilateral Um estudo envolve a avaliação de um novo sistema operacional de computador, desenvolvido para crianças com idades entre 8 e 12 anos. Afirma-se que o novo sistema é mais rápido do que o atual, ĺıder de mercado. Para testar essa afirmação, foram selecionados dois grupos, com 15 crianças cada, sem conhecimento prévio relacionado ao uso de computadores, para realizar uma certa tarefa, que teve seu tempo anotado. O primeiro grupo, trabalhou com o sistema operacional convencional, com um tempo médio de 179,73 min, enquanto que o segundo grupo, trabalhando com o novo sistema operacional, levou, em média, 89,86 min para realizar a tarefa. Ao nível de significância de 5%, qual a conclusão? Suponha normalidade das variáveis e desvio padrão populacional de 10 min em ambos os casos. X = tempo gasto no sistema convencional N(µ X, σ 2 X = 102 ) Y = tempo gasto no novo sistema N(µ Y, σ 2 Y = 102 ) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

51 Exemplo de teste unilateral (continuação) (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y > 0 (2) Nível de significância do teste: α = 5% = 0, 05 (3) Estatística do teste: Z = X Y σ 2 X n 1 + σ2 Y n2 = X Y N(0, 1) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

52 Exemplo de teste unilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valor crítico: z c onde z c é o valor tal que P(0 < Z < z c ) = 0, 45, de onde z c = 1, 64. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

53 Exemplo de teste unilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: Ou seja, z obs > z c. σ 2 X n 1 z obs = x obs y obs = + σ2 Y n2 179, 73 89, = 24, 62 Portanto, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%, de onde conclui-se que µ X µ Y > 0, ou seja, o novo sistema operacional é mais eficiente. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

54 Intervalo de Confiança É possível construir-se um intervalo de confiança para a diferença entre as médias µ X µ Y de maneira semelhante ao caso da média de uma população. Usando a estatística Z, se z γ 2 é tal que ( ) P 0 < Z < z γ = γ 2 2 ( ou ) P z γ < Z < z γ = γ 2 2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

55 Intervalo de Confiança (continuação) Então z γ < Z < z γ 2 2 σ 2 X n 1 z γ < X Y (µ X µ Y ) 2 + σ2 Y n2 < z γ 2 de onde Logo X Y z γ 2 IC µx µ Y = σ 2 X n 1 + σ2 Y n2 [ X Y z γ σ 2 X 2 n 1 < µ X µ Y < X Y z γ σ 2 X 2 n 1 + σ2 Y n2 ; X Y + z γ σ 2 X 2 n 1 + σ2 Y n2 ] + σ2 Y n2 Onde o intervalo construído tem probabilidade γ de conter µ X µ Y. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

56 Teste por Valor-p H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y > 0 valor-p = P(Z > z obs ) H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y < 0 valor-p = P(Z < z obs ) H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y 0 se z obs < 0: valor-p = 2.P(Z < z obs ) se z obs > 0: valor-p = 2.P(Z > z obs ) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

57 Teste por Valor-p (continuação) Para α > valor-p, rejeitamos H 0. Para α < valor-p, não rejeitamos H 0. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

58 Exercícios Exercícios 3 e 4 dos Exercícios de Aula - Seção 04. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

59 Variâncias Desconhecidas Em geral, não conhecemos as variâncias das variáveis X e Y e precisamos estimá-las: SX 2 = 1 n 1 n 1 1 ( Xi X ) [( n1 ) ] 2 1 = n 1 1 Xi 2 n 1 X 2 i=1 i=1 e S 2 Y = 1 n 2 1 n 2 j=1 ( Yj Y ) 2 1 = n 2 1 n 2 Yj 2 j=1 n 2 Y 2 onde, novamente, X 1, X 2,..., X n1 e Y 1, Y 2,..., Y n2 são amostras independentes das variáveis X e Y, respectivamente, que admitimos possuírem distribuição Normal. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

60 Variâncias Desconhecidas (continuação) Como veremos posteriormente, apesar de não conhecermos as variâncias σx 2 e σ2 Y, é possível testar se elas são iguais ou não. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

61 2 o Caso - Variâncias Desconhecidas e Iguais No caso de igualdade, temos σ 2 X = σ2 Y = σ2 e usa-se a estimativa agrupada (variância agrupada): S 2 p = (n 1 1)S 2 X + (n 2 1)S 2 Y (n 1 1) + (n 2 1) Nesse caso, a estatística de teste será (assumindo H 0 verdadeira, ou seja, que µ X µ Y = 0): T = X Y (µ X µ Y ) S p 1 n n 2 = X Y S p 1 n n 2 t (n1 +n 2 2) (T tem distribuição t-student com n 1 + n 2 2 graus de liberdade.) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

62 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y 0 (2) Nível de significância do teste: α (3) Estatística do teste (sob H 0, ou seja, µ X µ Y = 0): T = X Y S p 1 n n 2 t (n1 +n 2 2) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

63 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valores críticos: t c e t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = α 2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

64 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: t obs = x obs y obs s pobs 1 n n 2 Se t obs > t c ou t obs < t c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se t c < t obs < t c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

65 Exemplo de teste bilateral Digitadores são treinados em uma empresa em duas turmas distintas. Na primeira turma usa-se um método japonês de ensino, ao passo que na segunda turma usa-se um método alemão. Para comparar os dois métodos, 16 alunos de cada turma foram escolhidos aleatoriamente e uma mesma tarefa foi atribuída a cada aluno. No processo, dois computadores usados por alunos da primeira turma e três usados pela segunda turma apresentaram problemas que impediram a realização da tarefa, reduzindo os tamanhos das amostras para 14 e 13, respectivamente para a primeira turma e a segunda turma. Se os alunos selecionados da primeira turma realizaram a tarefa com um tempo médio de 11,57 min e variância de 4, 1min 2 ao passo que os alunos da segunda turma realizaram a tarefa com tempo médio de 15,38 min e variância de 4, 3min 2, qual a conclusão ao nível de significância de 1%? Suponha normalidade das variáveis em estudo. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

66 Exemplo de teste bilateral (continuação) X = tempo gasto por um aluno do método japonês, tem distribuição Normal Y = tempo gasto por um aluno do método alemão, tem distribuição Normal (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y 0 (2) Nível de significância do teste: (3) Estatística do teste: α = 1% = 0, 01 T = X Y 1 S p t 25 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

67 Exemplo de teste bilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valores críticos: t c e t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = 0, 005, com 25 graus de liberdade, de onde t c = 2, 787. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

68 Exemplo de teste bilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: s pobs = (n 1 1)sX 2 obs + (n 2 1)sY 2 obs (n 1 1) + (n 2 1) = = 2, 05 t obs = Ou seja, t obs < t c. x obs y obs s pobs 1 n n 2 = (14 1)4, 1 + (13 1)4, 3 (14 1) + (13 1) 11, 57 15, 38 = 4, 83 2, Portanto, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 1%, de onde conclui-se que µ X µ Y 0, ou seja, os tempos médios gastos usando os dois métodos são diferentes. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

69 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y > 0 (ou H 1 : µ X µ Y < 0) (2) Nível de significância do teste: α (3) Estatística do teste (sob H 0, ou seja, µ X µ Y = 0): T = X Y S p 1 n n 2 t (n1 +n 2 2) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

70 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Caso H 1 : µ X µ Y > 0 Valor crítico: t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = α Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

71 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (cont.) (4) Região de rejeição do teste: Caso H 1 : µ X µ Y < 0 Valor crítico: t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = α Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

72 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (cont.) (5) Decisão: t obs = x obs y obs s pobs 1 n n 2 Caso H 1 : µ X µ Y > 0 Se t obs > t c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se t obs < t c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Caso H 1 : µ X µ Y < 0 Se t obs < t c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se t obs > t c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

73 Exemplo de teste unilateral Duas técnicas de venda são aplicadas por dois grupos de vendedores: a técnica A por 12 vendedores e a técnica B por 15 vendedores. Espera-se que a técnica B produza melhores resultados. No final de um mês obtiveram-se os resultados abaixo: Dados Técnica A Técnica B Média Variância Vendedores Vamos testar, ao nível de significância de 5% se a técnica B é de fato melhor. Informações adicionais permitem supor que as vendas sejam normalmente distribuídas, com mesma variância, desconhecida. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

74 Exemplo de teste unilateral (continuação) X = vendas usando técnica A, tem distribuição Normal Y = vendas usando técnica B, tem distribuição Normal (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y < 0 (2) Nível de significância do teste: (3) Estatística do teste: α = 0, 05 (5%) T = X Y 1 S p t 25 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

75 Exemplo de teste unilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valor crítico: t c, onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = 0, 05, com 25 graus de liberdade, de onde t c = 1, 708. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

76 Exemplo de teste unilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: (n 1 1)sX 2 s pobs = obs + (n 2 1)sY 2 obs = (n 1 1) + (n 2 1) t obs = Ou seja, t obs < t c. x obs y obs s pobs 1 n n 2 = (12 1)50 + (15 1)75 = 8 (12 1) + (15 1) = 2, 58 Portanto, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%, de onde conclui-se que µ X µ Y < 0, ou seja, a técnica B deve ser melhor. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

77 Intervalo de Confiança Como no caso anterior, é possível construir um intervalo de confiança para a diferença entre as médias µ X µ Y. Usando a estatística T : Se t γ é tal que 2 ou ( ) P 0 < T < t γ 2 ( ) P T > t γ 2 = γ 2 = 1 γ 2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

78 Intervalo de Confiança (continuação) Então t γ < T < t γ 2 2 t γ < X Y (µ X µ Y ) < t γ 2 S 1 p n n 2 de onde X Y t γ S 1 p n1 n2 Logo IC µx µ Y = [ X Y t γ S 1 p n1 n2 < µ X µ Y < X Y + t γ 2 S p 1 n n 2 ; X Y + t γ 2 S p 1 n n 2 Onde o intervalo construído tem probabilidade γ de conter µ X µ Y. ] Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

79 Exercícios Exercícios 5 e 6 dos Exercícios de Aula - Seção 04. P2-2012/1 - Exercício 18 P2-2012/2 - Exercício 4 PS /1 - Exercício 5 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

80 3 o Caso - Variâncias Desconhecidas e Diferentes Nesse caso, usa-se o teste T com variâncias separadas, ou seja, a estatística (assumindo H 0 verdadeira, ou seja, que µ X µ Y = 0): S 2 X n 1 T = X Y (µ X µ Y ) + S2 Y n2 = X Y S 2 X n 1 + S2 Y n2 cuja distribuição pode ser aproximada por uma t-student com ν graus de liberdade, onde sendo ν = (A + B)2 A 2 n B2 n 2 1 A = S2 X n1 e B = S2 Y n2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

81 3 o Caso - Variâncias Desconhecidas e Diferentes Como esse valor, geralmente, não é inteiro, arredondamos para o inteiro mais próximo para obter o número de graus de liberdade. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

82 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y 0 (2) Nível de significância do teste: α (3) Estatística do teste (sob H 0, ou seja, µ X µ Y = 0): T = X Y S 2 X n 1 + S2 Y n2 t ν Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

83 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valores críticos: t c e t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = α 2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

84 Teste por Região de Rejeição - teste bilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: t obs = x obs y obs s 2 X obs n 1 + s2 Y obs n 2 Se t obs > t c ou t obs < t c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se t c < t obs < t c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

85 Exemplo de teste bilateral Queremos testar as resistências de dois tipos de vigas de aço, A e B. Tomando-se 16 vigas de cada tipo, obtemos os valores na tabela abaixo: Tipo de viga Média Variância A 70,5 81,6 B 84,3 161,5 Vamos testar, ao nível de significância de 10% se há diferença entre os dois tipos de vigas, supondo normalidade das variáveis. Realizando um teste prévio, rejeitamos a hipótese de variâncias iguais. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

86 Exemplo de teste bilateral (continuação) X = resistência de uma viga do tipo A, tem distribuição Normal Y = resistência de uma viga do tipo B, tem distribuição Normal (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y 0 (2) Nível de significância do teste: α = 10% = 0, 1 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

87 Exemplo de teste bilateral (continuação) (3) Estatística do teste: onde T = X Y S 2 X n 1 + S2 Y n2 t ν com ν = (A + B)2 A 2 n B2 n 2 1, A = s2 X obs n 1 = 81,6 16 = 5, 1 e B = s2 Y obs n 2 = 161,5 16 = 10, 1 ou seja ν = Tomamos ν = 27. (5, , 1)2 (5,1) (10,1)2 15 = 231, 04 1, , 8 = 27, 07, Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

88 Exemplo de teste bilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valores críticos: t c e t c onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = 0, 05 com 27 graus de liberdade, de onde t c = 1, 703. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

89 Exemplo de teste bilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: t obs = x obs y obs = + s2 Y obs n 2 s 2 X obs n 1 Ou seja, t obs < t c. 70, 5 84, 3 81, ,5 16 = 13, 8 5, , 1 = 3, 54 Portanto, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 10%, de onde conclui-se que µ X µ Y 0, ou seja, as resistências das vigas diferem em média. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

90 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y > 0 (ou H 1 : µ X µ Y < 0) (2) Nível de significância do teste: α (3) Estatística do teste (sob H 0, ou seja, µ X µ Y = 0): T = X Y S 2 X n 1 + S2 Y n2 t ν Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

91 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (cont.) (4) Região de rejeição do teste: Caso H 1 : µ X µ Y > 0 Valor crítico: t c, onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = α Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

92 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (cont.) (4) Região de rejeição do teste: Caso H 1 : µ X µ Y < 0 Valor crítico: t c, onde t c é o valor tal que P(T > t c ) = α Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

93 Teste por Região de Rejeição - teste unilateral (cont.) (5) Conclusão do teste: t obs = x obs y obs s 2 X obs n 1 + s2 Y obs n 2 Caso H 1 : µ X µ Y > 0 Se t obs > t c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se t obs < t c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Caso H 1 : µ X µ Y < 0 Se t obs < t c, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se t obs > t c, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

94 Exemplo de teste unilateral Para comparar as médias de duas populações Normais, amostras aleatórias foram obtidas. Sabe-se que as variâncias populacionais são diferentes, sendo seus valores desconhecidos. Amostra I Amostra II Pode-se dizer que a média da primeira população é menor que a da segunda, com α = 5%? Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

95 Exemplo de teste unilateral (continuação) X = um valor da população I, tem distribuição Normal Y = um valor da população II, tem distribuição Normal Da tabela, obtém-se: x obs = 7, 43, sxobs = 2, 7, y obs = 7 e s Yobs = 5, 08 (1) Hipóteses do teste: H 0 : µ X µ Y = 0 versus H 1 : µ X µ Y < 0 (2) Nível de significância do teste: α = 5% = 0, 05 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

96 Exemplo de teste unilateral (continuação) (3) Estatística do teste: onde T = X Y S 2 X n 1 + S2 Y n2 t ν com ν = (A + B)2 A 2 n B2 n 2 1, A = s2 X obs n 1 = (2,7)2 7 = 1, 04 e B = s2 Y obs n 2 = (5,08)2 7 = 3, 69 ou seja Tomamos ν = 9. (1, , 69)2 ν = = (1,04) (3,69)2 6 22, 37 0, , 27 = 9, 13, Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

97 Exemplo de teste unilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: t c é o valor tal que P(T > t c ) = 0, 05, com 9 graus de liberdade, de onde t c = 1, 833. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

98 Exemplo de teste unilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: t obs = x obs y obs = + s2 Y obs n 2 s 2 X obs n 1 Ou seja, t obs > t c. 7, 43 7 (2,7) (5,08)2 7 = 0, 43 1, , 69 = 0, 09 Portanto, não rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5% (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância de 5%, de que as médias das duas populações sejam diferentes. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

99 Exercícios Exercício 7 dos Exercícios de Aula - Seção 04. P2-2012/1 - Exercício 20 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

100 Comparação de médias de duas populações com amostras independentes - Teorema Central do Limite Em se tratando de comparação de duas médias com amostras independentes e variâncias desconhecidas, se os tamanhos das amostras são grandes, isto é, n 1 > 30 e n 2 > 30, podemos usar aproximação pela distribuição Normal, com SX 2 e S Y 2 (variâncias amostrais) no lugar das variâncias populacionais. Nesse caso, a estatística de teste será (assumindo H 0 verdadeira, ou seja, que µ X µ Y = 0): S 2 X n 1 Z = X Y (µ X µ Y ) + S2 Y n2 = X Y S 2 X n 1 + S2 Y n2 N(0, 1) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

101 Exercícios P2-2012/1 - Exercício 17 PS /1 - Exercício 6 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

102 Comparação de variâncias de duas populações Normais Quando temos amostras independentes e não conhecemos as variâncias populacionais (σx 2 e σ2 Y ), podemos testar a igualdade das mesmas, com base nas variâncias amostrais (SX 2 e S Y 2 ), para decidir então qual teste usar na comparação das médias. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

103 Comparação de variâncias (continuação) Sejam X e Y duas variáveis com distribuição Normal X N(µ X, σ 2 X ) e Y N(µ Y, σ 2 Y ), cujas variâncias σ 2 X e σ2 Y não conhecemos. Queremos testar H 0 : σ 2 X = σ2 Y versus H 1 : σ 2 X σ2 Y para saber qual teste de comparação de médias usar. Observação Eventualmente, pode haver o interesse em testar H 0 : σ 2 X = σ2 Y versus H 1 : σ 2 X < σ2 Y (ou H 1 : σ 2 X > σ2 Y ) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

104 Comparação de variâncias (continuação) Para isso, utilizaremos o estimador F = S 2 X S 2 Y do quociente σ2 X σy 2, e, assim, as hipóteses anteriores transformam-se em H 0 : σ2 X σ 2 Y = 1 versus H 1 : σ2 X σ 2 Y 1 (ou σx 2 σy 2 < 1 ou σx 2 σy 2 > 1) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

105 Comparação de variâncias (continuação) Lembrando que temos duas amostras independentes X 1, X 2,..., X n1 e Y 1, Y 2,..., Y n2 de X e Y, respectivamente, e que S 2 X = 1 n 1 1 n 1 i=1 ( Xi X ) [( n1 2 1 = n 1 1 i=1 X 2 i ) n 1 X 2 ] e S 2 Y = 1 n 2 1 n 2 j=1 ( Yj Y ) 2 1 = n 2 1 n 2 Yj 2 j=1 n 2 Y 2 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

106 Comparação de variâncias (continuação) Então pode ser mostrado que F = S 2 X S 2 Y F (n 1 1, n 2 1) ou seja, a variável aleatória F tem distribuição de Fisher-Snedecor (ou distribuição F) com n 1 1 graus de liberdade do numerador e n 2 1 graus de liberdade do denominador. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

107 Distribuição de Fisher - Snedecor Gráfico da função densidade de probabilidades da distribuição F : Observe que uma variável com distribuição F não assume valores negativos, ao contrário do que acontece com as distribuições t-student e Normal. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

108 Tabelas da distribuição F Se F F (a, b) então o corpo da tabela da distribuição F, de cauda de 5%, apresenta o valor f c tal que P(F > f c ) = 0, 05, sendo a a coluna e b a linha da tabela onde se localiza o valor f c. graus 1 de. liberdade b f c do denominador. graus de liberdade do numerador 1 2 a 120 Para cada valor de P(F > f c ) (por exemplo, 1%, 2,5%, 10% etc.), há uma tabela diferente. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

109 Se F F (15, 10) e P(F > f c ) = 5%, então f c = 2, 85. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

110 Procedimento para comparação de variâncias Temos que se F = S X 2 SY 2 F (n 1 1, n 2 1) então 1 F = S Y 2 SX 2 F (n 2 1, n 1 1) Isso significa que, se desejarmos descobrir o valor de f c tal que P(F < f c ) = 5%, podemos levar em consideração que F < f c 1 F > 1 ( 1, logo P(F < f c ) = P f c F > 1 ) f c Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

111 Por exemplo, se F = S X 2 SY 2 F (15, 10) então 1 F (10, 15), e F ( 1 P(F < f c ) = 5% P F > 1 ) = 5% f c de onde 1 f c = 2, 54, o que significa que f c = 1 2, 54 = 0, 39. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

112 Por questões práticas, para fazermos o teste bilateral de comparação das variâncias, procuraremos sempre colocar no numerador da estatística F, a maior variância, isto é: se S 2 X > S 2 Y então adotamos F = S 2 X S 2 Y se S 2 Y > S 2 X então adotamos F = S 2 Y S 2 X Então f obs será sempre maior ou igual a 1. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

113 Fazendo isso, no teste bilateral só será necessário encontrar o valor crítico da direita, pois o valor crítico da esquerda será sempre menor que 1 (o valor crítico da esquerda será sempre o inverso de um valor da tabela F e todos os valores da tabela F são maiores que 1). f obs não pertencerá ao lado esquerdo da região de rejeição, pois f obs > 1 e f 1 < 1, logo sempre f obs > f 1. Bastará, então, verificar se f obs é maior ou menor que f 2. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

114 Teste bilateral (1) Hipóteses do teste: ou seja H 0 : σ 2 X = σ2 Y versus H 1 : σ 2 X σ2 Y H 0 : σ2 X σ 2 Y = 1 versus H 1 : σ2 X σ 2 Y 1 Tome o cuidado de que sempre σx 2 (ou seja, a variância do numerador) seja a variância da variável com maior variância amostral (ou seja, SX 2 > S Y 2 ). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

115 Teste bilateral (continuação) (2) Nível de significância do teste: (3) Estatística do teste: α F = S 2 X S 2 Y F (n 1 1, n 2 1) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

116 Teste bilateral (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valores críticos: f 1 e f 2, onde f 1 é o valor tal que P(0 < F < f 1 ) = α 2 e f 2 é o valor tal que P(F > f 2 ) = α 2 Observação importante Na prática, procuraremos apenas o valor de f 2 na tabela. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

117 Teste bilateral (continuação) (5) Conclusão do teste: f obs = s2 X obs s 2 Y obs Se f obs > f 2 ou f obs < f 1, rejeitamos H 0 ao nível de significância α. Se f 1 < f obs < f 2, não rejeitamos H 0 (não há evidências estatísticas suficientes, ao nível de significância α, para rejeitar H 0 ). Observação importante Na prática, apenas observaremos se f obs > f 2 (e rejeitaremos H 0 nesse caso) ou se f obs < f 2 (e não rejeitaremos H 0 nesse caso). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

118 Observações Observação 1 No caso de teste bilateral, em função de restrições de tabelas, usaremos sempre α = 10%. Observação 2 No caso em que estamos comparando as médias de duas populações com variâncias desconhecidas, devemos inicialmente testar a igualdade das variâncias para decidir qual teste de comparação de médias devemos usar. Então, nessa comparação prévia de variâncias, estaremos sempre interessados em realizar um teste bilateral. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

119 Exemplo Um fabricante de esferas para rolamentos desenvolveu um novo método de produção, mais barato. Entretanto, ele desconfia que os novos lotes apresentam variabilidade diferente daqueles produzidos pelo método antigo (com relação ao diâmetro das esferas). Para cada método, ele selecionou 15 esferas, que forneceram variâncias amostrais de 0,03 e 0,19 para os métodos antigo e novo, respectivamente. Teste se há diferença entre as variâncias populacionais, com α = 10% e supondo normalidade dos diâmetros em ambos os métodos. X = diâmetro de uma esfera de rolamento fabricada pelo método novo N(µ X, σ 2 X ) Y = diâmetro de uma esfera de rolamento fabricada pelo método antigo N(µ Y, σ 2 Y ) Observe que a variância amostral do método novo (0,19) é maior que a do método antigo, por isso colocamos a do método novo no numerador. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

120 Exemplo (continuação) (1) Hipóteses do teste: H 0 : σx 2 = σ2 Y versus H 1 : σx 2 σ2 Y (2) Nível de significância do teste: α = 10% = 0, 1 (3) Estatística do teste: F = S 2 X S 2 Y F (14, 14) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

121 Exemplo (continuação) (4) Região de rejeição do teste: Valores críticos: f 1 e f 2, onde f 2 é o valor tal que P(F > f 2 ) = 0, 05, com 14 gl no numerador e 14 gl no denominador, de onde f 2 = 2, 48. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

122 Exemplo (continuação) (5) Conclusão do teste: Ou seja, f obs > f 2. f obs = 0, 19 0, 03 = 6, 33 Portanto, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 10%, de onde conclui-se que existem diferenças em relação à variabilidade dos diâmetros das esferas de rolamento, dependendo do método de fabricação. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

123 Exercícios Exercícios 8 e 9 dos Exercícios de Aula - Seção 04. P2-2012/1 - Exercício 14 P2-2013/1 - Exercícios 3 e 4 P2-2013/2 - Exercício 10 PS /2 - Exercício 11 PS /2 - Exercício 14 Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

124 Comparações de médias no Excel Vamos ver dois exemplos de realização de testes de comparação de médias de duas populações no Excel: um de amostras emparelhadas e um de amostras independentes. É preciso instalar o suplemento de Ferramentas de Análise de dados do Excel. (Ver link no site da disciplina.) Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

125 Exemplo 1 - Amostras Emparelhadas Feldspato é gerente de RH de uma empresa. Aplicou um programa de treinamento aos seus funcionários e quer saber se a sua produtividade aumentou com este treinamento. Para tanto, coletou a produção de um conjunto de 30 funcionários antes e depois do treinamento (planilha Feldspato - dados emparelhados; disponível no site). Usando a Análise de Dados do Excel, podemos fazer o Teste T: duas amostras em par para médias, usando um nível de significância de 5%, conforme indicado na figura a seguir (Não esqueça de indicar a hipótese da diferença das médias e marcar a caixa Rótulos). Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

126 Exemplo 1 - Amostras Emparelhadas - continuação Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137

127 Exemplo 1 - Amostras Emparelhadas - continuação Na figura do slide anterior, foram escolhidas (de acordo com os intervalos de células fornecidos na caixa de diálogo): Variável 1 = Depois Variável 2 = Antes Então está sendo testada a média µ D da variável E, portanto, o teste é: D = Depois Antes H 0 : µ D = 0 versus H 1 : µ D > 0 pois queremos saber se a produtividade aumentou com o treinamento. Carlos Antonio Filho (ESAGS) Estatística II - Seção 04 2 o semestre de / 137