Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2016/2

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1 Estatística (MAD231) Turma: IGA Período: 2016/2 Aula #02 de Inferência Estatística: 28/11/2016 1

2 Intervalos de Confiança Vamos começar com um exemplo. Suponha que se deseja estimar a média µ de uma população qualquer e que para isso usaremos a média amostral X de uma amostra aleatória de tamanho n. Usando o TCL, supondo n 30 temos que X µ σ/ n a N(0, 1). Logo, usando a tabela da normal padrão, podemos escrever, por exemplo, P ( 1, 96 < X µ σ X com σ X = σ n. < 1, 96) = 0, 95 2

3 Por meio de operações algébricas, é possível reescrever a equação anterior na forma P ( X 1, 96σ X < µ < X + 1, 96σ X) = 0, 95 e, essa equação nos fornece os limites de 95% de confiança de µ, a saber, X ± 1, 96σ X Notação: IC(µ, 0.95) : X ± 1, 96σ X com σ X = σ n. 3

4 Interpretação do intervalo: a figura a seguir é útil na interpretação. Resumindo: Se pudéssemos construir uma quantidade grande de intervalos da forma X±1, 96σ X, todos baseados em amostras aleatórias de tamanho n da população, 95% deles conteriam o parâmetro µ. 4

5 No exemplo que acabamos de apresentar, 95% é dito ser o nível ou coeficiente de confiança do intervalo. É claro que podemos usar um nível de confiança qualquer e que, em geral fará sentido, níveis de confiança altos, próximos de 1. 1,96 é o quantil da distribuição normal padrão tal que P ( 1, 96 < Z < 1, 96) = 0, 95. Vamos adotar a seguinte notação seja z (γ) tal que 0 < γ < 1. P ( z (γ) < Z < z (γ) ) = γ, 5

6 Observe que com essa notação z (0.95) = 1, 96. E também que um intervalo de nível de confiança γ para µ é dado por X ± z (γ) σ X. 6

7 Intervalos de Confiança com nível de confiança γ para a média populacional 1. Amostras da distribuição normal ou amostras suficientemente grandes n 30 IC(µ, γ) : X }{{} média amostral ±z (γ) σ n }{{} erro padrão Observação: se o valor de σ não for conhecido substitua-o na expressão acima por uma estimativa. 2. Amostras da distribuição normal, σ desconhecido, n < 30 IC(µ, γ) : X }{{} média amostral ±t (γ,n 1) s n }{{} erro padrão de X 7

8 Em (2) na tela anterior a notação t (γ,n 1) é similar à notação usada na distribuição normal, conforme a figura a seguir. A diferença é que agora usamos uma distribuição t com n 1 graus de liberdade. 8

9 Intervalos de Confiança para a proporção populacional No caso de intervalos para a proporção, se fossemos usar a expressão dada em (1) teríamos IC(p, γ) : }{{} ˆp ±z (γ) proporção amostral p(1 p) n }{{} erro padrão de ˆp No entanto o valor de p não é conhecido e aparece na expressão do erro padrão. Nesse contexto costuma-se adotar duas estratégias. A primeira, conservadora, trabalha com o pior cenário possível e substitui p na fórmula do erro padrão por 1/2, que produz o intervalo mais largo possível. A segunda, que pode ser usada para tamanhos amostrais suficientemente grandes, substitui p por ˆp. 9

10 Assim temos, Alternativa conservadora: IC(p, γ) : ˆp ± z (γ) 1 4n Outra alternativa: IC(p, γ) : ˆp ± z (γ) ˆp(1 ˆp) n 10

11 Exemplo 1: (Pinheiro e outros - Estatística Básica: a arte de trabalhar com dados - Cap. 7- ex. 7.6) Levando em conta simultaneamente as respostas dadas por 200 clientes de uma empresa a todos os itens de um questionário, foi calculado um índice de satisfação global correspondente a cada respondente. Este índice varia de 0 (totalmente insatisfeito) a 100 (totalmente satisfeito). Com respeito a esse índice de satisfação foi construído um intervalo de 95% de confiança para o nível médio de satisfação da população de clientes dessa empresa e que resultou nos seguintes limites IC(µ, 95%) : (43, 5 ; 63, 9). Quais das afirmações a seguir estão corretas e quais não estão? Justifique cada uma de suas respostas. 11

12 (a) A probabilidade de que µ esteja entre 43,5 e 63,9 é 95%. (b) Se fosse extraída uma outra amostra, também com 200 clientes, a probabilidade de a média amostral dos índices de satisfação observados cairem entre 43,5 e 63,9 é 95%. (c) Se fossem extraídas 100 amostras de tamanho 200 e se usasse o mesmo procedimento que deu origem ao intervalo apresentado no enunciado para cada amostra, cerca de 95% dos intervalos obtidos conteriam o valor de µ. (d) O desvio padrão populacional do índice de satisfação é aproximadamente igual a 5,1. (e) Todos os entrevistados apresentaram índices de satisfação entre 43,5 e 63,9. 12

13 Exemplo 2: (Dancey e Reidy - Estatística sem Matemática para Psicologia. Capítulo 4. Exercício 2) O Dr. Doolittle finalmente desistiu da ideia de conversar com animais e decidiu tornar-se um psicólogo experimental de animais. Ele está particularmente interessado em descobrir se os gatos são ou não mais inteligentes que os cachorros. Para isso ele desenvolveu um teste de inteligência específico para esse estudo e testa amostras de gatos e cachorros. Ele foi cuidadoso para não introduzir qualquer tipo de vício no teste e acredita que criou um teste que não está associado às espécies, ou seja, pode ser u- sado em qualquer espécie. Dr, Dotlittle espera que exista uma diferença entre os escores de gatos e cachorros. No experimento ele trabalhou com duas amostras aleatórias de 10 gatos e 10 cachorros e, os resultados obtidos, estão na tabela a seguir. 13

14 gatos cachorros Construa intervalos de confiança de 95% de confiança para os escores médios de gatos e de cachorros. 2. Que suposições você usou para construir os intervalos do item anterior? 3. Você diria que o Dr. Doolittle está correto? Por que? 14

15 Exemplo 3: (Levine e outros - Estatística: Teoria e Aplicações - Cap. 6 - exercício 6.56) O diretor de pessoal de uma grande corporação deseja estudar o absenteísmo dos trabalhadores administrativos do escritório central da corporação durante o ano. Uma amostra aleatória de 25 empregados administrativos revelou o seguinte: x = 9, 7 dias, s = 4 dias 12 trabalhadores administrativos estiveram ausentes mais de 10 dias. (a) Construa um intervalo de 99% de confiança, para o número médio de ausências de trabalhadores administrativos no ano pasado. (b) Construa um intervalo de 95% de confiança para a proporção de trabalhadores administrativos que estiveram ausentes por mais de 10 dias durante o ano passado. 15

16 Como verificar se a suposição de normalidade dos dados é razoável? Existem ferramentas gráficas tais como os gráficos de probabilidade normal, que devem ter uma aparência linear, quando os dados de fato são normais e, os histogramas das distribuições de frequências, que devem ter uma forma unimodal aproximadamente simétrica em torno da média. Também existem vários testes estatísticos de verificação da suposição de normalidade. Vamos deixar esta discussão para uma aula posterior à próxima, na qual trabalharemos com as primeiras idieas de testes de hipóteses e alguns testes mais simples. 16

17 Exercícios recomendados do capítulo 11: 14 a 21, 23 a 25, 29, 30 17

18 Referências bibliográficas: (1) Busssab e Morettin - Estatística Básica. Editora Saraiva (2) Pinheiro e outros - Estatística Básica - a arte de trabalhar com dados - Elsevier (3) Thurman - Estatística - Saraiva (4) Dancey e Reidy - Estatística sem Matemática para Psicologia - Penso (5) Levine e outros. Estatística: Teoria e Aplicações. 18