Distribuições Amostrais

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Distribuições Amostrais"

Heitor Gorjão Dias
5 Há anos
Visualizações:

1 Distribuições Amostrais Distribuição de Probabilidades de Estatísticas Amostrais Teorema Central do Limite

2 Na aula passsada, vimos que As estatísticas amostrais são variáveis. Seus valores variam de acordo com uma distribuição de probabilidade. As estatísticas amostrais são variáveis aleatórias

3 As propriedades da média amostral X valem para qualquer população e para qualquer tamanho de amostra n. X = E[ X ] = µ µ σ = dp[ X ] = σ n X Quanto à distribuição de probabilidades de X, é fácil encontrá-la quando a população é pequena. Mas, e quando a população for grande??

4 Para casos gerais, vamos precisar de um resultado muito importante em Estatística: o Teorema Central do Limite Mas, antes, vamos definir o que é uma Amostra Aleatória da variável aleatória X.

5 Amostra Aleatória Uma Amostra Aleatória da variável aleatória X é um conjunto de n variáveis aleatórias X 1, X 2,, X n, que têm a mesma distribuição de probabilidade de X.

6 Teorema Central do Limite Seja uma amostra aleatória, de uma variável aleatória com média µ e desvio padrão σ. À medida que n cresce, a distribuição de probabilidade de X X média µ e desvio padrão σ n. X, X,..., X 1 2 n aproxima-se de uma Normal com Z = X σ / µ Ou seja, aproxima-se de uma Normal (0 ;1). n

7 Entendendo o Teorema Central do Limite 1) Se pudéssemos retirar várias amostras da população e, para cada amostra, calculássemos o valor da média, esperaríamos que a média desses valores fosse igual à média populacional. (estimador não tendencioso) 2) Quanto maior for o tamanho da amostra, mais perto da média populacional estará o valor da média amostral.

8 Ilustração do Teorema Central do Limite Vamos realizar o seguinte experimento: Considere uma população de indivíduos cuja caratecterística de interesse tenha distribuição de probabilidade Normal com média igual a µ=75.0 e desvio-padrão igual a σ=19.7 Exemplos: produção semanal de leite, por animal, em litros; quantidade de peixe pescado por embarcação,por mês, em toneladas Valor do indivíduo

9 Ilustração do Teorema Central do Limite 1 2 Para vários tamanhos de amostra n, vamos retirar um número grande de amostras da população, digamos, amostras de mesmo tamanho n. Para cada amostra retirada, vamos calcular a média amostral,. X Ao final da retirada das amostras, teremos valores de X 3 Para verificar a distribuição desses valores, construiremos um histograma.

10 População Valor do indivíduo Histogram of medias n =10 n =

11 População Valor do indivíduo n = n =

12 Em escalas diferentes. n = 10 n = n = 30 n =

13 O que podemos observar a partir desta ilustração do TCL quando a população segue a distribuição Normal? 1 - O que acontece com a média da distribuição da média amostral à medida que n cresce? 2 - O que acontece com a variabilidade da distribuição da média amostral à medida que n cresce? 3 - O que acontece com a forma da distribuição da média amostral à medida que n cresce?

14 Teorema Central do Limite X, X,..., X 1 2 n Seja uma amostra aleatória, de uma X variável aleatória com média µ e desvio padrão σ. Z = X σ µ n ~ / n N(0,1) Observe que o TCL não fala nada sobre a distribuição de X, a variável aleatória associada à população de interesse.

15 Ilustração do Teorema Central do Limite Vamos visualizar o que acontece com a distribuição da média amostral X quando a população de interesse NÃO tem distribuição Normal. Distribuição Uniforme Distribuição Assimétrica Histogram of pop.lognormal Valor do indivíduo Valor do indivíduo

16 Ilustração do Teorema Central do Limite Vamos fazer um experimento igual ao anterior, mas agora com duas populações diferentes: Distribuição Uniforme Distribuição Assimétrica Histogram of pop.lognormal Valor do indivíduo Valor do indivíduo µ=100.0 µ=56.2

17 População n= Valor do indivíduo n=25 n=

18 População n = Valor do indivíduo n = 25 n =

19 Em escalas diferentes. População n= Valor do Individuo n=25 n=

20 O que podemos observar a partir desta ilustração do TCL quando a população NÃO segue a distribuição Normal? 1 - O que acontece com a média da distribuição da média amostral à medida que n cresce? 2 - O que acontece com a variabilidade da distribuição da média amostral à medida que n cresce? 3 - O que acontece com a forma da distribuição da média amostral à medida que n cresce?

21 Teorema Central do Limite (resumo) Distribuição de X Distribuição de X Tamanho de amostra µ σ N ( µ ; σ ) N( ; n) n qualquer Qualquer aproximadamente µ σ N( ; n) n > 30 (em geral)

22 Aplicações O nível de bilirrubina sérico em crianças nascidas com peso menor que 750g tem distribuição Normal com média µ=8.5 mg/dl e desvio-padrão σ=3.5 mg/d. Para uma amostra de tamanho n=16 crianças desta população, sabemos que X ~ N (8.5 ; ) Qual é a probabilidade de que a média amostral, para uma amostra de 16 crianças, esteja entre 6.79 e mg.dl? P[6.79 < X < 10.22] = X P < < 3.50 / / / 16 *O nível de bilirrubina no sangue é usado para diagnosticar doenças do fígado, entre outras.

Aplicações P[6.79 < X < 10.22] = 1.71 1.72 P[ < Z < ] 0.88 0.88 = P[ 1.94 < Z < 1.95] = P[ Z < 1.95] P[ Z < 1.94] = 0.9744-0.0262 = 0.

23 Aplicações P[6.79 < X < 10.22] = P[ < Z < ] = P[ 1.94 < Z < 1.95] = P[ Z < 1.95] P[ Z < 1.94] = = A probabilidade de que a média amostral, para uma amostra de 16 crianças, esteja entre 6.79 e mg/dl é 94.82%

24 Aplicações (II) Em uma amostra de 16 crianças nascidas com peso menor que 750g, a média amostral do nível de bilirrubina sérico foi igual a 10.5 mg/dl. Considerando que a população tem distribuição Normal com média µ=8.5 mg/dl e desvio-padrão σ=3.5 mg/dl, qual é a probabilidade de obter amostras de 16 crianças com valores médios de bilirrubina sérico iguais ou mais extremos do que 10.5 mg/dl? P[ X > 10.5] = P Z > = P[ Z > 2.27] = P[ Z < 2.27] =

25 Distribuição Amostral de uma Proporção Uma proporção amostral pode ser vista com uma média amostral pˆ número de sucessos = = n n i= 1 n X i onde X i 1, se sucesso = 0, caso contrário Exemplo: estimar a proporção de eleitores contrários ao voto obrigatório. X i 1, se é contra o voto obrigatório = 0, se é a favor do voto obrigatório

26 Distribuição Amostral de uma Proporção ˆp é uma média de variáveis aleatórias X i ~ Binomial (m=1; p). [ ] Assim, µ = E X = p e σ = Var[ X ] = p(1 p) i Pelo Teorema Central do Limite, a distribuição amostral ˆp de pode ser aproximada por uma Normal com média p e desvio-padrão p(1 p) quando np 5 e n(1-p) 5. i Ou seja, Z = pˆ p aproximadamente ~ p(1 p) / n N (0,1)

27 Ilustração: o que acontece com a distribuição dos pˆ 0.50 valores de quando n cresce? Z = 0.50(1 0.50) / n População: X ~ Binomial (m=1 ;p=0.50) n = 1000

28 Aplicações (II) Um biólogo está estudando a preferência de uma espécie de aranha (espécie A) quanto ao local de confecção de sua teia em árvores: perto do tronco ou ao final dos galhos. Em 40 teias de aranha da espécie A, ele observou que 22 delas foram tecidas perto do tronco, ou seja, p ˆ = 22 / 40 = Para aranhas de uma espécie B, estudos mostram que a proporção das que preferem fazer teias perto do tronco é igual a Supondo que a proporção populacional das aranhas da espécie A que fazem teias perto do tronco também seja p=0.75, qual é a probabilidade de o resultado amostral ter ocorrido?

29 Aplicações (II) Como a proporção amostral é uma variável aleatória contínua, já sabemos que o cálculo de ˆ não faz sentido. P[ p = 0.55] Assim, vamos calcular a probabilidade de amostras com proporções ainda mais extremas do que a obtida. Ou seja, P[ p ˆ < 0.55] = P pˆ p < p(1 p) / n 0.75(1 0.75) / 40 [ 2.92] = P Z < = ˆp

30 Aplicações (II) Conclusão: Sob a hipótese de que a proporção populacional das aranhas da espécie A que fazem teias perto do tronco também seja p=0.75, a amostra coletada é pouco verossímil (probabilidade de ). Sendo assim, a hipótese de que as duas espécies têm a mesma proporção de aranhas que tecem suas teias perto do tronco deve ser revista.

31 Propriedades do Estimador Média Amostral _ f H XL, g H X L PDFsof X and X X _ n =3 =4 =5 =6 =7 =8 =9 =25 =1000 X s =0.100 X s =0.100 =0.071 =0.058 =0.050 =0.045 =0.041 =0.038 =0.035 =0.033 =0.032 =0.020 =0.010 =0.003 X _ X, X O que acontece com a distribuição de probabilidade de (em vermelho) quando n cresce? X

32 Para praticar Exercícios da Seção 8 Próxima aula: Exercícios.

33 Referências Bibliográficas As ilustrações do Teorema Central do Limite para o caso da proporção amostral e das propriedades do estimador média amostral foram elaboradas a partir dos arquivos do Demonstraction Project do Wolfram Mathematica ( Para a primeira ilustração, foi utilizado o arquivo SamplingDistributionOfTheSampleMean.nbd. Para a segunda ilustração, foi utilizado o arquivo IllustratingTheCentralLimitTheoremWithSumsOfBernoulli RandomV.nbd

Documentos relacionados

Teorema central do limite e es/mação da proporção populacional p

Teorema central do limite e es/mação da proporção populacional p 1 RESULTADO 1: Relembrando resultados importantes Seja uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável aleatória X, com média µ e variância