Lista de Exercícios #8 Assunto: Teste de Hipóteses

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1 . ANPEC 8 - Questão 5 Indique se as seguintes considerações sobre a teoria dos testes de hipótese são verdadeiras (V) ou falsas (F): () No teste de hipótese para proporções, se a variância da proporção populacional for desconhecida, a estatística t de Student com n- graus de liberdade (n é o tamanho da amostra) é a indicada para o teste; () O erro do tipo II é definido como o erro que se comete ao se rejeitar uma hipótese nula verdadeira; () No teste de hipótese para a média (H : μ = b contra H a : μ b), adotando nível de significância α, se o intervalo de confiança com α de probabilidade contiver μ = b, não se poderá rejeitar H ; (3) A probabilidade do erro tipo I é definida como a probabilidade de não se rejeitar uma hipótese nula quando esta for falsa; (4) A potência de um teste de hipótese é a probabilidade de não se cometer um erro do tipo II.. ANPEC 8 - Questão 8 Uma empresa produz computadores de dois tipos, tipo A (mais barato) e tipo B (mais caro), e garante a devolução do valor pago se qualquer computador apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos computadores tem distribuição normal, sendo que, no tipo A, com média de meses e desvio padrão de meses, e no tipo B, com média de meses e desvio padrão de 3 meses. Os computadores de tipo A e B são produzidos com lucro de R$. e R$., respectivamente, e, caso haja restituição, com prejuízo de R$.5 e R$ 7., respectivamente. Talvez sejam úteis as seguintes informações: P(Z > ) =,977 e P(Z >,67) =,955. () A probabilidade de restituição do computador do tipo A é maior que 3%; () A probabilidade de restituição do computador do tipo B é menor que 5%; () O lucro esperado do computador tipo A é inferior a R$.8,; (3) O lucro esperado do computador tipo B é menor que R$.7,; (4) Baseando-se no lucro esperado, a empresa deveria incentivar as vendas do computador tipo B.

2 3. ANPEC 4 - Questão Duas turmas do curso de estatística fazem o mesmo exame final. Duas amostras aleatórias de tamanho 9 e 4 são selecionadas da turma A e da turma B, respectivamente. A amostra da turma A teve nota média amostral ( X ) de 7 e variância amostral ( S ) de 6. A amostra da turma B teve nota média amostral ( X ) de 76 e variância amostral ( S ) de 5. Vamos assumir que as notas da turma A têm distribuição normal com média e variância. As notas da turma B têm uma distribuição normal com média e variância. [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se t tem distribuição t-student, Pr( t >3,5)=,5, e se Z tem uma distribuição normal padrão, Pr( Z >,96)=,5 ] () O professor da turma A encontra um intervalo de 95% para as notas da sua turma de [53;97]; () Suponha que queremos testar se os desempenhos das turmas A e B são iguais. Para isso, fazemos o seguinte teste de hipótese: H : = vs H :. Para realizar o teste acima, podemos usar a seguinte estatística de teste: ( X X ) t = ; ( n ) S + ( n ) S n + n () A estatística t no item () segue uma distribuição t-student com 3 graus de liberdade; (3) Para encontrar a região de rejeição para o teste acima, fixamos o nível de significância α em determinado valor e encontramos o valor crítico que determina a partir de quais valores rejeitamos a hipótese nula; (4) Suponha que o professor da turma A queira testar a seguinte hipótese: H 6 vs H : 6. Neste caso, se ele utilizar a seguinte estatística de teste rejeitar a hipótese nula a 5% de significância. n ( X : = 6), ele irá S

3 4. ANPEC 3 - Questão 3 Suponha que o presidente de uma distribuidora de energia afirme que 8% dos seus consumidores estão muito satisfeitos com o serviço que recebem. Para testar esta afirmação, um jornal entrevista consumidores em um município, utilizando uma amostra aleatória. Entre os consumidores entrevistados, 73 afirmam que estão muito satisfeitos. (Dica: Na sequência, assuma que o tamanho da amostra é suficientemente grande para que utilizemos a distribuição normal.) É correto afirmar que: () Para aferir se a percentagem dos consumidores que estão muito satisfeitos é igual a 8%, é possível empregar um teste de hipótese bicaudal. () Assumindo que a variância da proporção é conhecida, a um nível de significância de 5%, é possível rejeitar a hipótese de que 8% dos consumidores estão muito satisfeitos com o serviço. [Nesta questão, pode ser útil saber que a 5% de significância a estatística é Z=,96]. () Assumindo que a variância da proporção é conhecida, se estivermos interessados em testar se a percentagem dos consumidores que não estão muito satisfeitos com o serviço é menor do que 8%, é possível rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 5%. [Nesta questão, pode ser útil saber que a 5% de significância a estatística é Z=-,645]. (3) Um intervalo de confiança de 95% para a proporção dos consumidores que estão muito satisfeitos com o serviço incluirá o valor de 8%. [Nesta questão, pode ser útil saber que a 5% de significância a estatística é Z=,96]. (4) Suponha que estejamos interessados em testar, a um nível de significância de 5%, se a proporção dos consumidores que estão muito satisfeitos com o serviço é menor do que 8%. A probabilidade do erro tipo II não dependerá do valor da proporção verdadeira de consumidores muito satisfeitos com o serviço. 5. ANPEC - Questão Julgue as afirmativas: () O erro tipo I é definido como a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é verdadeira. () O erro tipo II é definido como a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é verdadeira. () O nível de significância de um teste é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. (3) Se o p-valor de um teste é maior do que o nível de significância adotado, rejeita-se a hipótese nula. (4) Suponha que o objetivo seja testar a hipótese nula de que a média populacional μ é igual a. Se esta hipótese é rejeitada num teste monocaudal contra a hipótese alternativa de que >μ, ela também será rejeitada num teste bicaudal contra a hipótese alternativa de que μ, adotando-se o mesmo nível de significância. 3

4 6. ANPEC - Questão Suponha que as notas de matemática dos alunos em um exame nacional aplicado a todas as escolas do ensino médio sejam normalmente distribuídas com média 5 e variância. Um cursinho faz uma propaganda afirmando que pode melhorar as notas dos alunos em 3 pontos caso eles frequentem um curso noturno que resolve as questões dos exames anteriores. O órgão de defesa do consumidor quer testar se este curso noturno é de fato efetivo. O estatístico deste órgão de defesa do consumidor formula o seguinte problema: Seja M a nota que o aluno i obtém após frequentar o curso noturno, suponha que M é normalmente distribuído com média desconhecida μm e variância igual a. O teste de hipótese que ele gostaria de fazer é o seguinte: H: μm = 5 vs H: μm > 5. [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então Pr( Z >,645)=, e Pr( Z >,96)=,5.] Com base nos dados do problema, julgue as seguintes afirmativas: () O órgão de defesa do consumidor irá conduzir o estudo usando uma amostra aleatória de 4 alunos que frequentaram este curso noturno. Se μm = 53, a distribuição do teste escore médio deste grupo de 4 alunos é uma distribuição normal com média 53 e variância. () Após terminarem o curso, os 4 alunos fazem o exame nacional e obtêm na média uma nota de 5 em matemática. Neste caso, a estatística do teste sugerido pelo estatístico é t = =, e podemos afirmar que temos evidência para rejeitar a hipótese nula do teste proposto pelo estatístico ao nível de 5% de significância. () Após terminarem o curso, os 4 alunos fazem o exame nacional. Usando as notas destes 4 alunos no exame, calculamos o p-valor do teste sugerido pelo estatístico e obtemos o p-valor de,8. Neste caso, podemos rejeitar a hipótese nula ao nível de 5% de significância. (3) Mantendo o nível de significância fixo, para diminuir o poder do teste, o estatístico pode aumentar o tamanho da amostra. (4) Mantendo o tamanho da amostra fixo, se o estatístico quiser aumentar o poder do teste, ele deve aumentar o nível de significância do teste. 7. ANPEC - Questão Considere as seguintes afirmativas acerca de um teste de hipótese: () O erro tipo I é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é falsa. () O poder do teste é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é verdadeira. () O erro tipo II é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. (3) O p-valor de um teste é a probabilidade, sob a hipótese nula, de obter um valor da estatística pelo menos tão extremo quanto o valor observado. 4

5 (4) Se um intervalo de confiança de 95% para a média amostral, calculado a partir de uma amostra aleatória, excluir o valor, pode-se rejeitar a hipótese de que a média populacional seja igual a ao nível de significância de 5%. 8. ANPEC Questão 6 Sejam X, X,...,Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas, com média e variância σ². () Se σ =, a variável Y = ( X + X )/( X ) possui uma distribuição F com 3 n e n graus de liberdade, para n = e n =. () A variável W = possui uma distribuição t com graus de liberdade. ( X + X )/ X 3 () Defina Z = ( X + X ) /σ². Então E(Z - )³ =. (3) Suponha que σ = e que H seja uma variável aleatória independente de X e que P(H = ) = P(H = -) =,5. Então Y = HX ~ N(,). (4) Sabemos que Pr(Z>565,65)=,5, onde Z é uma variável aleatória com distribuição n 5. Suponha que n = 5. Defina X = n i = X i n e S = = ( X X ) /( n ) pode-se rejeitar a hipótese nula de que σ² = 5 ao nível de significância de 5%. i i. Se S² = 5,3, 9. ANPEC 9 - Questão 9 Avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas: () Para uma amostra de tamanho fixo, ao aumentar a probabilidade do erro tipo I aumentamos também o poder do teste. () O valor p é o menor nível de significância para o qual o valor observado da estatística de teste é significativo. () Se a estatística de teste é z =,75 e o valor crítico é z =,36, conseqüentemente o valor p é maior que o nível de significância em um teste bicaudal e bilateral. (3) O poder de um teste de hipóteses é a probabilidade de rejeitar corretamente uma hipótese nula falsa. (4) Para um teste de média com variância conhecida e igual a 4 para uma amostra aleatória de tamanho 6 e uma região crítica dada por [4,5, [, o poder do teste para Ha: μ = 5 é.84 (arredondando para duas casas décimas). 5

6 . ANPEC 8 - Questão 4 A respeito de testes de hipótese, é correto afirmar: () Potência de um teste é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for falsa. () O nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo I. () O teste F de significância conjunta dos parâmetros em um modelo de regressão linear é unilateral. (3) Se uma variável é significativa ao nível de %, então ela é significativa ao nível de 5%. (4) p-valor = - P(H falsa), em que P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer.. ANPEC 7 - Questão Julgue as afirmativas: () O valor p de um teste de hipótese é a probabilidade de a hipótese nula ser rejeitada. () O poder de um teste de hipótese é a probabilidade de se rejeitar corretamente uma hipótese nula falsa. () Considere n variáveis aleatórias independentes. Pela Lei dos Grandes Números, quando n cresce, a média amostral converge em distribuição para uma variável aleatória qui-quadrada. (3) Pela desigualdade de Chebyshev, a probabilidade mínima de que o valor de uma variável aleatória X esteja contido no intervalo μ ± σh é -/h. (4) Se duas variáveis aleatórias X e Y têm covariância nula, então elas são independentes.. ANPEC 6 - Questão 4 Com relação a testes de hipóteses, julgue as afirmativas: () Em um teste de hipóteses, comete-se um erro do tipo I quando se rejeita uma hipótese nula verdadeira. () O poder de um teste de hipóteses é medido pela probabilidade de se cometer o erro tipo II. () A soma das probabilidades dos erros tipo I e tipo II é igual a. (3) Quanto maior for o nível de significância de um teste de hipóteses maior será o valor-p a ele associado. (4) Se o valor-p de um teste de hipóteses for igual,5, a hipótese nula será rejeitada a 5%, mas não a %. 6

7 3. ANPEC 5 - Questão 4 Duas fábricas, A e B, produzem determinado tipo de lâmpada. Um comprador dessas lâmpadas decide verificar a origem de seu estoque. Para isso, seleciona uma amostra aleatória de unidades (de seu estoque) e verifica a duração de cada uma delas. Se a duração média for maior do que 7 horas, conclui que a lâmpada foi fabricada pela empresa B; caso contrário, que a lâmpada veio da empresa A. Os dois fabricantes asseguram que a duração de suas lâmpadas segue distribuição normal: a de A com média A = 69 horas e a da B com média B = 7 horas. As duas distribuições têm o mesmo desvio padrão = horas. Usando a tabela da normal padrão, anexa, julgue as afirmativas: () A probabilidade do erro Tipo I é,587. () A probabilidade do erro Tipo II é diferente de,587. () A regra de decisão, ao nível de significância de 5%, será: se a duração média for maior que 7,64 horas, as lâmpadas foram fabricadas pela empresa B; do contrário, pela empresa A. (3) A probabilidade do erro do Tipo II, para o nível de significância de 5%, é,7. (4) Para este teste de hipótese, a função poder do teste é crescente com a média, da distribuição sob a hipótese nula. 4. ANPEC 5 - Questão 6 Seja X...,, X, X3, X n uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal com média e variância. Julgue as afirmativas: () A probabilidade de a média populacional,, estar contida no intervalo de confiança [ X,96, X +,96 ] é igual a 95%. n n () Se a variância é desconhecida, o intervalo de confiança de 95% para a média será s s [ X tc, X + tc ], em que s é o desvio padrão da amostra, t c é calculado de forma que n n P ( t t ) =,95, e t segue uma distribuição de Student com n - graus de liberdade. c () Se construirmos vários intervalos de confiança para a média com amostras de idêntico tamanho, mesma variância e mesma margem de confiança, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude. (3) Num teste de hipótese H : = contra H a :, se o intervalo de confiança estimado para a média não contiver o valor de, então deve-se aceitar a hipótese de que = (4) Se a amostra aleatória X, X, X3,..., X n não provém de uma distribuição normal, não se pode construir um intervalo de confiança para a média, ainda que a amostra seja muito grande. 7

8 5. ANPEC 4 - Questão Sejam X, X,..., Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média μ e variância σ. Em relação ao teste de hipótese da média H : = contra H a :, são corretas as afirmativas: () Se o p-valor do teste for menor que o nível de significância, α, a hipótese H deve ser rejeitada. () Se a variância for conhecida, a estatística do teste segue a distribuição t-student. Caso contrário, a distribuição do teste será a Normal Padrão. () Dados os parâmetros da população: = 5 e = 9, suponha que a média de uma amostra aleatória de tamanho 36 retirada desta população seja X = 47. Neste caso, o nível de significância do teste, α, será igual a,743. (3) A função-potência para este teste de hipótese será uma função decrescente da média. (4) Se a hipótese alternativa fosse H a :, ainda assim a função-potência seria decrescente com a média. 6. ANPEC 3 - Questão 5 Com relação a testes de hipótese, é correto afirmar que: () o p-valor de um teste representa a probabilidade de aceitação da hipótese nula; () o nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo I; () a potência do teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo II; (3) em um modelo de regressão linear utiliza-se um teste bilateral para verificar se determinado coeficiente é estatisticamente diferente de zero; (4) o nível de significância de um teste de hipótese cresce com o tamanho da amostra. 7. ANPEC - Questão 5 Indique se as seguintes considerações sobre a teoria dos testes de hipótese são verdadeiras (V) ou falsas (F). () O erro do tipo II é definido como a probabilidade de não se rejeitar uma hipótese nula quando esta for falsa e o erro do tipo I é definido como a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for verdadeira. 8

9 () No teste de hipótese para proporções, se a variância da proporção populacional for desconhecida, a estatística t de Student com n- graus de liberdade (n é o tamanho da amostra) é a indicada para o teste. () Num teste de hipótese bi-caudal, o valor-p (ou valor de probabilidade) é igual a duas vezes a probabilidade da região extrema delimitada pelo valor calculado da estatística do teste. (3) Não se pode realizar um teste de hipótese para a variância populacional pois a estatística do teste, que segue uma distribuição Qui-quadrado com n - graus de liberdade (n é tamanho da amostra), não é simétrica. (4) No teste de hipótese para a média (H: μ = contra Ha: μ ), ao nível de significância, se o intervalo de confiança com - de probabilidade não contiver μ=, não se poderá rejeitar H. 8. ANPEC - Questão 7 Sobre testes de hipóteses, pode-se afirmar que: () O erro do tipo I consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. () Nível de significância é a probabilidade de se cometer erro do tipo II. () Por potência do teste entende-se a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for falsa. (3) A opção pelo teste unilateral ou bilateral decorre da expectativa teórica sobre o parâmetro que estiver sendo testado. (4) Um intervalo de confiança de (- )% também pode ser utilizado para o teste de significância de um parâmetro populacional, caso o teste seja bilateral. 9. ANPEC - Questão 5 Dadas as seguintes afirmativas sobre testes de hipóteses, é correto dizer que: () A probabilidade do erro tipo I é calculada utilizando-se a estatística de teste, para cujo cálculo presume-se que a hipótese nula é falsa. () Uma vez definida a região de confiança para um determinado parâmetro da população, várias hipóteses nulas podem ser testadas utilizando-se este intervalo de confiança. () Quanto maior o p-valor, maior a credibilidade da hipótese alternativa. (3) A aceitação de determinada hipótese nula implica que esta hipótese seja verdadeira. (4) O poder de um teste é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for falsa. 9

10 . ANPEC - Questão 9 Uma urna contém bolas azuis e bolas verdes. Para testar a hipótese de que a proporção de bolas azuis é igual a proporção de bolas verdes, obteve-se uma amostra de 64 bolas, com reposição, anotando-se as cores das bolas retiradas e adotando-se a seguinte regra: aceitar a hipótese de que a urna possui iguais proporções de bolas azuis e verdes se forem retiradas entre 8 e 36 (inclusive os extremos) bolas de uma mesma cor; rejeitá-la caso contrário. Calcule a probabilidade de se cometer um erro do tipo I. (Multiplique o resultado por e arredonde).. ANPEC Questão 7 O candidato X a governador de certo estado afirma que detém mais de 45% das intenções de voto do eleitorado na próxima eleição. Para verificar a veracidade da informação, o candidato Y mandou realizar um levantamento estatístico utilizando, para tanto, uma amostra aleatória de 65 eleitores. O resultado do levantamento foi o seguinte: Candidato X Y Outros Total Número de votos Com as informações dadas, podemos concluir que: () A afirmação do candidato X é verdadeira com base num teste de hipóteses, para um nível de significância de 5%. () Com uma confiança de 9%, o intervalo de confiança para a verdadeira proporção de intenções de voto para o candidato Y é (39%; 46%), arredondando para números inteiros as percentagens encontradas. () Com a mesma confiança de 9%, o intervalo estimado para a verdadeira proporção de intenções de voto para o candidato X é (38%; 44%), arredondando para números inteiros as percentagens encontradas. (3) A afirmação de que o candidato Y detém mais de 4% das intenções de voto é verdadeira, com base num teste de hipóteses com nível de significância de %.

11 . ANPEC Questão Lista de Exercícios #8 Com relação a teoria de Teste de Hipóteses, pode-se afirmar que : () Se o objetivo é testar a hipótese nula, H : =, contra a hipótese Alternativa de que, ˆ H a :, então deve-se rejeitar H quando C onde, o valor crítico, C dp(, é determinado da distribuição t-student ou da distribuição Normal em função do nível de significância. () Um teste de hipótese é dito o mais poderoso se tem o maior poder do que qualquer outro teste, ainda que os níveis de significâncias sejam diferentes. () Um teste de hipótese é não-viciado se seu poder é maior ou igual do que a probabilidade do erro do tipo I para todos os valores dos parâmetros. (3) A estatística t-student é utilizada nos testes de hipóteses para a média populacional quando a variância dos elementos da população,,não é conhecida. 3. ANPEC Questão 9 Uma máquina está sendo examinada com o objetivo de substituir a máquina antiga de certa indústria. Segundo o fabricante da nova máquina, a proporção (P) de peças defeituosas produzida é de 3% ou menos. Uma amostra de. peças foi examinada e foram encontradas 74 peças defeituosas. () As hipóteses para um teste estatístico de hipóteses devem ser H: P =,3 e HA: P <,3. () Ao realizarmos o teste de hipóteses para o problema, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula deve ser rejeitada. () Utilizando a proporção de peças defeituosas encontradas na amostra, a estimativa por intervalo para a verdadeira proporção de peças defeituosas produzida pela nova máquina, utilizando uma confiança de 95%, é (,87%; 4,53%). (3) Admitindo que a verdadeira proporção de peças defeituosas seja 3%, seria necessário uma amostra de 3. peças para que o erro máximo admissível entre a proporção estimada e a verdadeira não excedesse a %, com probabilidade de 95%.

12 (4) Se as probabilidade de que um intervalo de confiança contenha o verdadeiro parâmetro populacional é igual a ( - ), isto significa que se retirássemos um número infinito de amostras da população em estudo e se para cada uma das amostras calculássemos o intervalo de confiança do parâmetro, então em ( - )% destes intervalos conteriam o verdadeiro parâmetro.