Intervalos de Confiança

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Intervalos de Confiança"

Transcrição

1 Intervalos de Confiança INTERVALOS DE CONFIANÇA.1 Conceitos básicos.1.1 Parâmetro e estatística Parâmetro é a descrição numérica de uma característica da população. Estatística é a descrição numérica de uma característica da amostra. Parâmetro Estatística Média populacional (µ ). Média amostral ( x ). Variância populacional (σ ). Variância amostral (s ). Desvio-padrão populacional (σ). Desvio-padrão amostral (s). Na Estatística Indutiva, fazemos afirmações sobre os parâmetros da população a partir de estatísticas obtidas de amostras da população. Em geral, os valores obtidos da média amostral e do desviopadrão amostral são diferentes dos valores da média populacional e do desvio-padrão populacional, respectivamente..1. Estimativa pontual e intervalar Estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. 6

2 ESTATÍSTICA INDUTIVA Estimativa Intervalar é um intervalo de valores para estimar um parâmetro populacional..1.3 Nível de confiança Nível de confiança é a probabilidade de que um intervalo estimado contenha o parâmetro populacional.. Intervalos de confiança para a média Considerando uma amostra casual simples com n elementos, dizemos que a média dos dados da amostra é uma estimativa da média da população. Para termos uma idéia mais precisa dessa estimativa, devemos encontrar um intervalo de confiança para a média...1 Intervalos de confiança para a média (n > 30) Para determinar um intervalo de confiança para a média populacional, devemos primeiramente estabelecer um nível de confiança. Para dado tamanho da amostra: 1 --Quanto maior o nível de confiança, maior será o intervalo. 0 --Quanto maior o intervalo, menor será a precisão da estimativa... Erro para a média Dado um nível de confiança, o erro (E) da estimativa é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro a ser estimado. 7

3 Para calcularmos esse erro, usamos a fórmula: E = z. c σ n Z c : valor crítico. σ: desvio-padrão populacional. n: número de elementos da amostra. Encontramos o valor crítico na tabela de distribuição normal reduzida. Tabela 1. Distribuição Normal Reduzida. Nível de confiança 90% 9% 99% Z c 1,64 1,96,7 No caso em que n > 30, substituímos σ (desvio-padrão populacional) por s (desvio-padrão amostral). Um intervalo de confiança c para a média populacional µ é dado por: x - E < µ < x + E Nesse caso, dizemos que a probabilidade de que o intervalo de confiança contenha a média populacional µ é c. Leitura Complementar: Distribuição Normal: A distribuição normal é amplamente utilizada para modelar medidas biológicas, medidas de produtos fabricados em série, etc. Características da Distribuição Normal I. A variável aleatória pode assumir qualquer valor real. 8

4 ESTATÍSTICA INDUTIVA II. O gráfico é uma curva em forma de sino. A curva é simétrica em relação à média (µ ). σ µ = 0 σ = µ 1 3 x III. A área sob a curva normal é igual a 1. Essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória assumir qualquer valor real. Teorema do Limite Central: Quando são retiradas amostras (com 30 ou mais elementos) de uma população qualquer, a distribuição amostral das médias das amostras terá uma distribuição aproximadamente normal, mesmo quando os dados da população não forem normalmente distribuídos. Devemos observar que, quanto maior o tamanho da amostra, melhor será a aproximação. Exemplo 1. Uma amostra aleatória de 40 elementos retirados de uma população aproximadamente normal forneceu média de x =1,4 e desvio-padrão s=,1. Construir um intervalo de confiança de 9% para a média dessa população. s Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula: E = zc, pois n > 30 e σ s. n c= 9%, então Z c =1,96 (vide tabela anterior). n=40 s=,1 E = 196,,. 1 = 0,

5 O intervalo de confiança é dado por: x - E < µ < x + E 1,4-0,67 < µ < 1,4 + 0,67 11,78 < µ < 13,1. Portanto, com 9% de confiança, podemos dizer que a média populacional está entre 11,78 e 13,1...3 Intervalos de confiança para a média (n < 30) Quando desconhecemos o desvio-padrão da população e também não temos acesso a uma amostra com 30 ou mais elementos, construímos um intervalo de confiança para a média utilizando a distribuição t de Student. Leitura Complementar. Distribuição t de Student. As propriedades da curva t são: - A curva tem a forma de um sino. - A área total sob a curva é igual a 1. - A curva t é simétrica em torno da média. - A distribuição t é uma família de curvas; cada uma delas depende de um parâmetro denominado grau de liberdade. Quando usamos a distribuição t para estimar a média populacional, o número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1 (g.l.=n-1). g1=6 g1=3 30

6 ESTATÍSTICA INDUTIVA A distribuição t é uma família de curvas. Cada uma delas depende de um parâmetro denominado grau de liberdade. Quando utilizamos a distribuição t para estimar a média populacional, o número do grau de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1. (g.l.=n-1). s Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula: E = tc, n onde o valor de t c é encontrado na tabela da distribuição t. Tabela. Distribuição t. Liberdade (n-1) c=90% c=9% c=99% 1 6,314 1,706 63,67,90 4,303 9,9 3,33 3,18,841 4,13,776 4,604,01,71 4,03 6 1,943,447 3, ,89,36 3, ,860,306 3,3 9 1,833,6 3,0 1,81,8 3, ,796,01 3,6 1 1,78,179 3,0 13 1,771,160 3, ,761,14, ,73,131, ,746,, ,740,1, ,734,1, ,79,093, ,7,086,84 1 1,71,080,831 1,717,074, ,714,069,807 31

7 4 1,711,064,797 1,708,060, ,706,06, ,703,0, ,701,048, ,699,04,76 1,64 1,960,76 O valor de t c é visualizado na intersecção da linha (que representa o grau de liberdade) e da coluna (que representa o valor de c). Veja, a seguir, o caso em que n= (g.l=-1=9) e c=90%. Liberdade (n-1) c=90% c=9% c=99% 1 6,314 1,706 63,67,90 4,303 9,9 3,33 3,18,841 4,13,776 4,604,01,71 4,03 6 1,943,447 3, ,89,36 3, ,860,306 3,3 9 1,833,6 3,0 1,81,8 3,169 Exemplo. Uma amostra de elementos, extraída de uma população com distribuição normal, forneceu média x =3,4 e desvio-padrão s=0,7. Construir um intervalo de confiança de 90% para a média dessa população. s Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula: E = tc. n s=0,7 c=90% n= e grau de liberdade=-1=9. t c = 1,833 (veja a tabela a seguir). 3

8 ESTATÍSTICA INDUTIVA Liberdade (n-1) c=90% c=9% c=99% 6 1,943,447 3, ,89,36 3, ,860,306 3,3 9 1,833,6 3,0 1,81,8 3,169 E = ,,. 7 = 0,43 O intervalo de confiança é dado por: x - E < µ < x + E 3,4-0,43 < µ < 3,4 + 0,43 3,0 < µ < 3,88. Portanto, com 90% de confiança, podemos dizer que a média populacional está entre 3,0 e 3,88..3 Intervalos de confiança para a variância e desvio-padrão Muitas vezes, o pesquisador pode estar interessado em verificar a variabilidade de um determinado processo. Para essa necessidade, utiliza a distribuição (lê-se qui-quadrado). Leitura Complementar: Distribuição qui-quadrado: A distribuição qui-quadrado é uma família de curvas, cada uma das quais determinada pelo número de graus de liberdade. Quando usamos a distribuição para estimar a variância populacional, o número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1 (g.l.= n-1). A área sob cada uma das curvas é igual a 1. c 1 33

9 Para encontrarmos um intervalo de confiança para a variância, devemos encontrar os valores de 1 tabela de distribuição qui-quadrado. e na 1 Calculamos 1 = c e, conforme o grau de liberdade, encontramos o valor de 1 na tabela. 1 Calculamos = + c e, conforme os graus de liberdade encontramos o valor de na tabela. Tabela 3. Distribuição (qui-quadrado). liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0,00 1 0,001 0,004 3,841,04 7,879 0,0 0,01 0,3,991 7,378,97 3 0,07 0,16 0,3 7,81 9,348 1, ,07 0,484 0,711 9,488 11,143 14,860 0,41 0,831 1,14 11,071 1,833 16,70 6 0,676 1,37 1,63 1,9 14,449 18,48 7 0,989 1,690,167 14,067 16,013 0,78 8 1,344,180,733 1,07 17,3 1,9 9 1,73,700 3,3 16,919 19,03 3,89,16 3,47 3,940 18,307 0,483,188 11,603 3,816 4,7 19,67 1,90 6,77 1 3,074 4,404,6 1,06 3,337 8, ,6,009,89,36 4,736 9, ,07,69 6,71 3,68 6,119 31, ,601 6,6 7,61 4,996 7,488 3,801 16,14 6,908 7,96 6,96 8,84 34,67 17,697 7,64 8,67 7,87 30,191 3, ,6 8,31 9,390 8,869 31,6 37, ,844 8,907,117 30,144 3,8 38,8 0 7,434 9,91,81 31,4 34,170 39,997 34

10 ESTATÍSTICA INDUTIVA 1 8,034,83 11,91 3,671 3,479 41,401 8,643,98 1,338 33,94 36,781 4, ,6 11,689 13,091 3,17 38,076 44, ,886 1,401 13,848 36,41 39,364 4,9,0 13, 14,611 37,6 40,646 46, ,160 13,844 1,379 38,88 41,93 48, ,808 14,73 16,11 40,113 43,194 49,64 8 1,461 1,308 16,98 41,337 44,461 0, ,11 16,047 17,708 4,7 4,7, ,787 16,791 18,493 43,773 46,979 3, ,707 4,433 6,09,78 9,34 66, ,991 3,37 34,764 67,0 71,40 79, ,34 40,48 43,188 79,08 83,98 91, ,7 48,78 1,739 90,31 9,03 4,1 80 1,17 7,13 60,391 1,879 6,69 116, ,196 6,647 69,16 113,14 118,136 18, , 77,99 14,34 19,61 140,169 Veja um exemplo para o cálculo de 1 e. Para um nível de confiança de 90% (c=90%) e amostra n=0, temos: = 1 c =, = 0, Grau de liberdade =n-1=0-1=19. Logo, o valor de 1 =30,144 liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0,00 17,697 7,64 8,67 7,87 30,191 3, ,6 8,31 9,390 8,869 31,6 37, ,844 8,907,117 30,144 3,8 38,8 0 7,434 9,91,81 31,4 34,170 39,997 = 1 + c = +, = 0,9. 3

11 Grau de liberdade =n-1=0-1=19. Logo o valor de =,117. liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0,00 17,697 7,64 8,67 7,87 30,191 3, ,6 8,31 9,390 8,869 31,6 37, ,844 8,907,117 30,144 3,8 38,8 0 7,434 9,91,81 31,4 34,170 39,997 Após encontrarmos os valores de 1 e, utilizamos as fórmulas a seguir para determinarmos os intervalos. ( n 1). s ( n 1). s < σ < 1 (variância populacional). ( n 1). s ( n 1). s < σ < 1 (desvio-padrão populacional). Exemplo 3. Uma amostra de 1 elementos, extraída de uma população com distribuição normal, forneceu desvio-padrão de 0,89. Construir intervalos de confiança de 9% para a variância populacional e o desvio-padrão populacional. Para um nível de confiança de 9% (c=0,9) e amostra n=1, temos: = 1 c =, = 0, Grau de liberdade=n-1=1-1=14. Logo, o valor de 1 1 =6,119. liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0,00 11,603 3,816 4,7 19,67 1,90 6,77 1 3,074 4,404,6 1,06 3,337 8, ,6,009,89,36 4,736 9, ,07,69 6,71 3,68 6,119 31, ,601 6,6 7,61 4,996 7,488 3,801 = 1 + c = +, = 0,97. 36

12 ESTATÍSTICA INDUTIVA liberdade =n-1=1-1=14. Logo, o valor de =,69. liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0,00 11,603 3,816 4,7 19,67 1,90 6,77 1 3,074 4,404,6 1,06 3,337 8, ,6,009,89,36 4,736 9, ,07,69 6,71 3,68 6,119 31, ,601 6,6 7,61 4,996 7,488 3,801 Para encontrarmos um intervalo de confiança para a variância, utilizamos a fórmula: ( n 1). s ( n 1). s < σ < 1 n=1 s=0,89, onde: 1 =6,119 e =,69. ( 1 1). 0, 89 6, 119 0, 4 < σ < 197,. ( 1 1). 0, 89 < σ <, 69 Portanto, com 9% de confiança, podemos dizer que a variância populacional está entre 0,4 e 1,97. Para encontrarmos um intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional, utilizamos a fórmula: 1 ( n 1). s ( n 1). s < σ < 1 0, 4 < σ < 197, 0, 6 < σ < 140,. 37

13 Portanto, com 9% de confiança, podemos dizer que o desvio-padrão populacional está entre 0,6 e 1,40..4 Exercícios resolvidos 1. A altura dos alunos de uma academia apresenta uma distribuição aproximadamente normal. Para estimar a altura média dessa população, foi observada a altura de 30 alunos, obtendo-se x =17 cm e s=1 cm. Determine: a--um intervalo de confiança de 99% para a média populacional. b--um intervalo de confiança de 99% para a variância. 1 c--um intervalo de confiança de 99% para o desvio-padrão populacional. s a) Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula: E = zc, pois n > 30 e σ s. n c= 99%, então Z C =,7 (vide tabela1). n=30 s=1 cm. E =, 7. 1 = 7, O intervalo de confiança é dado por: x - E < µ < x + E , 0 < µ < , 0 167, 9 < µ < 18, 0. Portanto, com 99% de confiança, podemos dizer que a média populacional está entre 167,9 cm e 18,0 cm. b) Para um nível de confiança de 99% (c=0,99) e amostra n=30, temos: = 1 c =, = 0,

14 ESTATÍSTICA INDUTIVA Grau de liberdade=n-1=30-1=9. Logo, o valor de 1 =,336. liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0, ,160 13,844 1,379 38,88 41,93 48, ,808 14,73 16,11 40,113 43,194 49,64 8 1,461 1,308 16,98 41,337 44,461 0, ,11 16,047 17,708 4,7 4,7, ,787 16,791 18,493 43,773 46,979 3,67 = 1 + c = +, = 0,99. Grau de liberdade=n-1=30-1=9. Logo o valor de =13,11. liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0, ,160 13,844 1,379 38,88 41,93 48, ,808 14,73 16,11 40,113 43,194 49,64 8 1,461 1,308 16,98 41,337 44,461 0, ,11 16,047 17,708 4,7 4,7, ,787 16,791 18,493 43,773 46,979 3,67 Para encontrarmos um intervalo de confiança para a variância, utilizamos a fórmula: ( n 1). s ( n 1). s < σ < n=30 s=1 1, onde: 1 =,336 e ( 30 1). 1, 336 =13,11. ( 30 1). 1 < σ < 13, 11 14, 68 < σ < 497, 9. 39

15 Portanto, com 99% de confiança, podemos dizer que a variância populacional está entre 14,68 cm e 497,9 cm. Para encontrarmos um intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional, utilizamos a fórmula: ( n 1). s ( n 1). s < σ < 1 14, 68 < σ < 497, , < σ <, 3 Portanto, com 99% de confiança, podemos dizer que o desvio-padrão populacional está entre 11,17 cm e,3 cm Os salários dos funcionários de uma fábrica de tecidos têm uma distribuição aproximadamente normal. Para estimar o salário médio desta população, foram observados os salários de 0 funcionários, obtendo-se x = 80 reais e s = reais. Determine: a--um intervalo de confiança de 9% para a média populacional. b--um intervalo de confiança de 9% para a variância. c--um intervalo de confiança de 9% para o desvio-padrão populacional. s a) Para encontrarmos o erro utilizamos a fórmula: E = tc. n s= reais c=9% n=0 e graus de liberdade=0-1=19. t C =,093 (veja a tabela a seguir). 40

16 ESTATÍSTICA INDUTIVA Liberdade (n-1) c=90% c=9% c=99% 17 1,740,1, ,734,1, ,79,093, ,7,086,84 E =, 093. = 6, 16 0 O intervalo de confiança é dado por: x - E < µ < x + E 80 6, 16 < µ < , , 84 < µ < 906, 16. Portanto, com 9% de confiança, podemos dizer que a média populacional dos salários está entre 793,84 reais e 906,16 reais. b) Para um nível de confiança de 9% (c=0,9) e amostra n=0, temos: = 1 c =, = 0,0 1 1 Grau de liberdade=n-1=0-1=19. Logo, o valor de 1 =3,8. liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0,00 16,14 6,908 7,96 6,96 8,84 34,67 17,697 7,64 8,67 7,87 30,191 3, ,6 8,31 9,390 8,869 31,6 37, ,844 8,907,117 30,144 3,8 38,8 0 7,434 9,91,81 31,4 34,170 39,997 = 1 + c = +, = 0,97. 41

17 Grau de liberdade=n-1=30-1=9. Logo, o valor de =8,907. liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0,00 16,14 6,908 7,96 6,96 8,84 34,67 17,697 7,64 8,67 7,87 30,191 3, ,6 8,31 9,390 8,869 31,6 37, ,844 8,907,117 30,144 3,8 38,8 0 7,434 9,91,81 31,4 34,170 39,997 Para encontrarmos um intervalo de confiança para a variância, utilizamos a fórmula: ( n 1). s ( n 1). s < σ < 1 n=0 s=, onde: 1 =3,8 e =8,907. ( 0 1). 3, 8 ( 0 1). < σ < 8, , 6 < σ < , Portanto, com 9% de confiança, podemos dizer que a variância populacional está entre 8.38,6 reais² e ,41 reais². Para encontrarmos um intervalo de confiança para o desvio-padrão utilizamos a fórmula: ( n 1). s ( n 1). s < σ < , 6 < σ < , , < σ < 17, 6 4

18 ESTATÍSTICA INDUTIVA Portanto, com 9% de confiança, podemos dizer que o desvio-padrão populacional está entre 91,6 reais e 17,6 reais. 3. Em certo dia, numa maternidade foi feita uma pesquisa sobre altura em centímetros, em bebês recém-nascidos do sexo masculino. Os resultados estão listados a seguir. Altura, em cm, de recém-nascidos do sexo masculino na Maternidade A a--determine um intervalo de confiança de 90% para a média populacional. b--determine um intervalo de confiança de 90% para a variância populacional. c--determine um intervalo de confiança de 90% para o desvio-padrão populacional. a) Primeiramente, devemos calcular a média amostral e o desvio-padrão amostral utilizando as fórmulas: xi x = e n ( xi x) s =. n 1 Altura, em cm. (x i - x) 4 (4-48) = (-3) = 9 48 (48-48) = 0 = 0 4 (4-48) = (-6) = 36 4 (4-48) = (-3) = 9 0 (0-48) = = 4 44 (44-48) = (-4) = (49-48) = 1 = 1 4 (4-48) = 6 = 36 1 (1-48) = 3 = 9 ( - 48) = 4 = 16 x i = 480 (x i - x) = x = = 48 cm e s = = 3, 89 cm. 9 43

19 s Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula: E = tc. n s=3,89 c=90% n= e grau de liberdade=-1=9. t C = 1,833 (veja a tabela abaixo). Liberdade (n-1) c=90% c=9% c=99% 6 1,943,447 3, ,89,36 3, ,860,306 3,3 9 1,833,6 3,0 1,81,8 3,169 E = ,,. 89 =,6 O intervalo de confiança é dado por: x - E < µ < x + E 48, 6 < µ < 48 +, 6 4, 74 < µ < 0, 6 Portanto, com 90% de confiança, podemos dizer que a média populacional está entre 4,74 e 0,6 cm. b) Para um nível de confiança de 90% (c=0,90) e amostra n=, temos: = 1 c =, = 0, Grau de liberdade=n-1=-1=9. Logo, o valor de 1 =16,919. liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0,00 7 0,989 1,690,167 14,067 16,013 0,78 8 1,344,180,733 1,07 17,3 1,9 9 1,73,700 3,3 16,919 19,03 3,89,16 3,47 3,940 18,307 0,483,188 11,603 3,816 4,7 19,67 1,90 6,77 = 1 + c = +, = 0,9. 44

20 ESTATÍSTICA INDUTIVA Grau de liberdade=n-1=-1=9. Logo, o valor de =3,3. liberdade 0,99 0,97 0,90 0,0 0,0 0,00 7 0,989 1,690,167 14,067 16,013 0,78 8 1,344,180,733 1,07 17,3 1,9 9 1,73,700 3,3 16,919 19,03 3,89,16 3,47 3,940 18,307 0,483,188 11,603 3,816 4,7 19,67 1,90 6,77 Para encontrarmos um intervalo de confiança para a variância, utilizamos a fórmula: ( n 1). s ( n 1). s < σ < 1 n= s=3,89 cm, onde: 1 =16,919 e =3,3. ( 1). 3, 89 16, 919 ( 1). 3, 89 < σ < 3, 3 9 1, < <, σ 16, 919 3, 3 136, , 1889 < σ < 16, 919 3, 3 8, 0 < σ < 40, 96 Portanto, com 90% de confiança, podemos dizer que a variância populacional está entre 8,0 e 40,96 (cm²). 4

21 c) Para o desvio-padrão populacional basta usar a fórmula: ( n 1). s ( n 1). s < σ < 1 8, 0 < σ < 40, 96, 84 < σ < 6, 40 Portanto, com 90% de confiança, podemos dizer que o desvio-padrão populacional está entre,84 e 6,40 cm. 3 TESTES DE HIPÓTESES Na grande maioria das vezes, o pesquisador tira conclusões para toda uma população, tendo observado apenas uma amostra. Este processo é denominado inferência. 1 Tomar decisões para uma população tendo como base apenas uma amostra pode ocasionar erros. Para atenuar esses erros, aplicamos testes de hipóteses. O teste de hipótese deve ser utilizado para tomar decisões sobre o valor de um parâmetro de uma população, tais como a média, a variância e o desvio-padrão. Em um teste de hipótese, existem duas hipóteses a serem analisadas: -Hipótese Nula (H 0 ): Hipótese a ser testada. 0 -Hipótese Alternativa (H a ): Hipótese a ser considerada como uma alternativa à hipótese nula. A aplicação de um teste de hipóteses pode levar a erros que podem ser classificados como: -Erro tipo I: Ocorre quando rejeitamos a hipótese nula e aceitamos a hipótese alternativa, porém a hipótese nula era a verdadeira. 46

22 ESTATÍSTICA INDUTIVA -Erro tipo II: Ocorre quando aceitamos a hipótese nula quando ela é falsa. Ao testar uma hipótese, a probabilidade máxima de ocorrer um erro do tipo I é chamada de nível de significância (). Usualmente utilizamos níveis de significância de %, % ou 1%. Existem diversos testes utilizados na Estatística Indutiva; fica a critério do pesquisador utilizar o mais apropriado para a situação. 3.1 Teste de Qui-Quadrado O teste de Qui-Quadrado ( ) verifica as hipóteses de Aderência e de Independência Teste de Qui-Quadrado ( ) Aderência Neste caso, o pesquisador verifica se os dados coletados experimentalmente, numa população, estão de acordo com os dados que seriam obtidos em uma determinada teoria. 1 Para a aplicação do teste de Qui-Quadrado ( ) de Aderência, seguimos os seguintes passos: 1. Estabelecemos um nível de significância.. Calculamos o valor do qui-quadrado, dado pela fórmula: n O i Ei c = ( ) i= 1 Ei 0 O i : representa as freqüências observadas e E i : representa as freqüências esperadas. 47

23 3. Comparamos o valor calculado de com o valor da tabela, ao nível de significância estabelecida e com n-1 graus de liberdade. Em geral, o teste de aderência indica: Se o valor de c calculado for maior que o t tabelado, a hipótese nula (H O ) é rejeitada. Se o valor de c calculado for menor que o t tabelado, a hipótese nula (H 0 ) não é rejeitada. Tabela 1. Tabela de Qui-quadrado. Liberdade 0, 0,0 0,01 1,706 3,841 6,63 4,60,991 9, 3 6,1 7,81 11,34 4 7,779 9,488 13,77 9,36 11,071 1,086 6,64 1,9 16,81 7 1,017 14,067 18, ,36 1,07 0, ,684 16,919 1,666 1,987 18,307 3, ,7 19,67 4,7 1 18,49 1,06 6, ,81,36 7, ,064 3,68 9,141 1,307 4,996 30, ,4 6,96 3, ,769 7,87 33,409 18,989 8,869 34, ,04 30,144 36, ,41 31,4 37,66 1 9,61 3,671 38,93 30,813 33,94 40,89 48

24 ESTATÍSTICA INDUTIVA 3 3,007 3,17 41, ,196 36,41 4,980 34,38 37,6 44, ,63 38,88 4, ,741 40,113 46, ,916 41,337 48, ,087 4,7 49, ,6 43,773 0, ,80,78 63, ,167 67,0 76, ,397 79,08 88, ,7 90,31 0, ,78 1,879 11, ,6 113,14 14, ,498 14,34 13,807 Veja o exemplo a seguir: Exemplo 1. Em um período de seis meses, uma empresa de autopeças teve 80 acidentes de trabalho. O responsável pelo setor de segurança do trabalho deseja verificar se o número de acidentes de trabalho muda conforme o dia da semana. O número de acidentes de trabalho para cada dia da semana está listado a seguir: Tabela. Número de acidentes por dia da semana. Dia da Semana Número de Acidentes Segunda 14 Terça 1 Quarta 17 Quinta 16 Sexta 18 Total: 80 Quais as conclusões que podem ser obtidas desses dados ao nível de significância =%? 49

25 Vamos, primeiramente, verificar as hipóteses a serem testadas. H 0 : O número de acidentes não muda conforme o dia da semana. H a : O número de acidentes muda conforme o dia da semana. O total de acidentes por semana é de 80, o valor esperado para cada dia da semana é: 80 = 16. Dia da Semana Número de Acidentes Observados (O i ). Número de Acidentes Esperados (E i ). Segunda Terça 1 16 Quarta Quinta Sexta Total: O Cálculo do : i Ei c = ( ) E n i= 1 i Dia da Semana ( O E ) (O i ). (E i ). (O i - E i ) i i E i Segunda (14-16) = 4 Terça 1 16 (1-16) = 1 Quarta (17-16) = 1 Quinta (16-16) = 0 Sexta (18-16) = 4 4 = 0, = 0, = 0,06 0 = = 0, 16 n Oi Ei = i= 1 Ei ( ) = 0, 6 O valor de c é de 0,6. 0

26 ESTATÍSTICA INDUTIVA Para encontrar o valor de t utilizamos a tabela 1, com g.l=-1=4 com =%. t =9,488. Liberdade 0, 0,0 0,01 1,706 3,841 6,63 4,60,991 9, 3 6,1 7,81 11,34 4 7,779 9,488 13,77 9,36 11,071 1,086 6,64 1,9 16,81 7 1,017 14,067 18,47 Como c (0,6)< t (9,488), a hipótese nula não é rejeitada (ou seja, o número de acidentes não muda conforme o dia da semana) Teste de Qui-Quadrado ( ) Independência Por meio do Teste de Qui-Quadrado, é possível verificar se existe dependência entre duas variáveis. O teste de independência é semelhante ao de aderência, porém no caso de independência são utilizadas tabelas de dupla entrada com a intenção de estudar a relação entre duas variáveis. 1 Quanto maior for o valor de c, maior a dependência entre as duas variáveis. O número de graus de liberdade para o teste de independência é calculado pelo produto entre o número de linhas (m) da tabela menos um e o número de colunas (n) menos um. 1

27 Grau de Liberdade=(m - 1) x (n - 1). Veja o exemplo a seguir: Exemplo. A tabela abaixo indica o número de telespectadores de emissoras de Televisão X e Y em cada um dos dois tipos de programação: Novela e Noticiário. Ao nível de % de significância, testar a independência entre a escolha da emissora pelos telespectadores e sua programação. Tabela 3. Programação por emissora. Programação: Novela Programação: Noticiário Totais Emissora X 4 46 Emissora Y Totais 48 0 Vamos, primeiramente, verificar as hipóteses a serem testadas. H 0 : A escolha da emissora não depende da programação. H a : A escolha da emissora depende da programação. Pela tabela podemos verificar que de um total de 0 telespectadores, preferem novelas. Ou seja = 0, ou 0 1 % dos telespectadores preferem novela. Caso esta proporção seja mantida, seriam esperados 46x0,=3,9 telespectadores da Emissora X e 48x0,=4,96 telespectadores da Emissora Y.

28 ESTATÍSTICA INDUTIVA Podemos verificar os resultados a seguir: Resultado Observado Proporção (Tabela) Resultado Esperado = 0, 0, x 46=3,9 0 = 0, 0, x 4=8, = 0, 48 0,48 x 46=, = 0, 48 0,48 x 4=,9 0 O Cálculo do i Ei c = ( ) : E n i= 1 i Resultado Observado (O i ) Resultado Esperado (E i ) ( O E ) (O i - E i ) i i E i 4 3,9 (4-3,9) = 0,08 = 0, ,08 (8-8,08) = (-0,08 ) = 0,0064,08 ( -,08) = (-0,08 ) = 0,0064 6,9 (6 -,9) = 0,08 = 0,0064 0, 0064 = 0,0007 3, 9 0, 0064 = 0,0003 8, 08 0, 0064 = 0,0009, 08 0, 0064 = 0,000, 9 n = ( O i E i ) i= 1 Ei = 0,004 O valor de c é de 0,004. Para encontrarmos o valor de t utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a e o número de colunas 3

29 da tabela é igual a, temos: grau de liberdade =(-1) x (-1)=1 com =%=0,0. t =3,841. Liberdade 0, 0,0 0,01 1,706 3,841 6,63 4,60,991 9, 3 6,1 7,81 11,34 4 7,779 9,488 13,77 9,36 11,071 1,086 6,64 1,9 16,81 7 1,017 14,067 18,47 Como c (0,004)< t (3,841) a hipótese nula não é rejeitada (ou seja a escolha da emissora não depende do programa). Exemplo. Os conceitos obtidos nas disciplinas Física e Matemática foram os seguintes, para um grupo de 00 estudantes do Ensino Médio. Tabela 4. Conceitos em Física e Matemática. Conceito em Matemática: A Conceito em Matemática: B Conceito em Matemática: C Conceito em Física: A Conceito em Física: B Conceito em Física: C Totais Totais Os conceitos em Matemática e Física são dependentes (usar = %)? 4

30 ESTATÍSTICA INDUTIVA Vamos, primeiramente, verificar as hipóteses a serem testadas. H 0 : Os conceitos em Matemática e Física não são dependentes. H a : Os conceitos em Matemática e Física são dependentes. Resultado Observado Proporção (Tabela) Resultado Esperado = 0, 3 0,3 x 138=31, = 0, 3 0,3 x 138=73,14 00 = 0, 4 0,4 x 138=33, = 0, 3 0,3 x 40=, = 0, 3 0,3 x 40=17,0 00 = 0, 4 0,4 x 40=7, = 0, 3 0,3 x 1=8, = 0, 3 0,3 x 1=64, = 0, 4 0,4 x 1=9,8 00

31 Cálculo do O i Ei c = ( ) : E n i= 1 i Resultado Observado (O i ) Resultado Esperado (E i ) ( Oi Ei) E i 4 31, , ,1 46, ,0 34 7,60 1 8, ,66 7 9,8 ( , ) 3174, ( 70 73, 14) 7314, ( 14 33, 1) 331, ( 46, 0), 0 ( , 0) 17, 0 ( 34 7, 60) 7, 60 ( 1 8, 06) 8, 06 ( 3 64, 66) 64, 66 ( 7 9, 8) 9, 8, 6 49, 076 = = = 1, , 3174, ( 314, ) 9, 896 = = = 0, , 7314, ( 19, 1) 36, 744 = = = 11, , 331, ( 9, ) 84, 64 = = = 1333,, 0, 0 3, 8 7, 84 = = = 8, , 0 17, 0 ( 3, 6) 6, 96 = = = 9, , 60 7, 60 ( 13, 06) 170, 636 = = = 6, 078 8, 06 8, 06 ( 9, 66) 879, 716 = = = 13, , 66 64, 66 4, 7 184, 9984 = = = 6, 39 9, 8 9, 8 n = ( O i E i ) i= 1 Ei = 18,478 O valor de c é de 18,478. Para encontrarmos o valor de t utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a 3 e o número de colunas 6

32 ESTATÍSTICA INDUTIVA da tabela é igual a 3, temos: grau de liberdade =(3-1) x (3-1)=4 com =%=0,. t =7,779. Liberdade 0, 0,0 0,01 1,706 3,841 6,63 4,60,991 9, 3 6,1 7,81 11,34 4 7,779 9,488 13,77 9,36 11,071 1,086 6,64 1,9 16,81 7 1,017 14,067 18,47 Como c (18,478)> t (7,779) a hipótese nula é rejeitada (ou seja, os conceitos são dependentes). 3. Exercícios resolvidos 1. Em 30 lançamentos de uma moeda, foram observados os seguintes resultados: caras e 0 coroas. Teste com nível de significância = % se a moeda é considerada honesta. Neste exemplo, devemos lembrar que no lançamento de uma moeda a probabilidade de sair cara é de 0% e a probabilidade de sair coroa é de 0%. Em 30 lançamentos, temos: 0% de 30 = 1 caras e 1 coroas (esses são os dados esperados para que uma moeda seja considerada honesta). Resultado Observado Resultado Esperado caras 0% de 30=1 0 coroas 0% de 30=1 7

33 O Para calcular o valor de i Ei c = ( ), utilizaremos a i= 1 E tabela a seguir: i n ( O E ) (O i ) (E i ) (O i - E i ) i i E i 1 ( - 1) = (-) = 0 1 ( - 1) = = 1 =1,67 1 =1,67 n = ( O i E i ) i= 1 Ei = 3,34 O valor de c é de 3,34. Para encontrarmos o valor de t, utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a, temos grau de liberdade = -1=1 com =%=0,. t =,706. Liberdade 0, 0,0 0,01 1,706 3,841 6,63 4,60,991 9, 3 6,1 7,81 11,34 4 7,779 9,488 13,77 Como c (3,34)> t (,706), a hipótese nula é rejeitada (ou seja, a moeda não pode ser considerada honesta para o nível de significância de %). 1. Em 60 lançamentos de uma moeda, foram observados os seguintes resultados: 3 caras e 8 coroas. Teste com nível de significância =% se a moeda é considerada honesta. Neste exemplo, devemos lembrar que no lançamento de uma moeda a probabilidade de sair cara é de 0% e a probabilidade de sair coroa é de 0%. 8

34 ESTATÍSTICA INDUTIVA Em 60 lançamentos temos: 0% de 60 = 30 caras e 30 coroas (esses são os dados esperados para que uma moeda seja considerada honesta). Resultado Observado Resultado Esperado 3 caras 0% de 60=30 8 coroas 0% de 60=30 O Para calcular o valor de i Ei c = ( ), utilizaremos a tabela a seguir: i= 1 Ei n ( O E ) (O i ) (E i ) (O i - E i ) i i E i 3 30 (3-30) = = (8-30) = (-) = = 0, = 0,13 n = ( O i E i ) i= 1 Ei = 0,6 O valor de c é de 0,6. Para encontrarmos o valor de t, utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a, temos graus de liberdade = -1=1 com =%=0,0. t =3,841. Liberdade 0, 0,0 0,01 1,706 3,841 6,63 4,60,991 9, 3 6,1 7,81 11,34 4 7,779 9,488 13,77 Como c (0,6)< t (3,841), a hipótese nula não é rejeitada (ou seja, a moeda pode ser considerada honesta para o nível de significância de %). 9

35 3. Em uma academia foi feita uma pesquisa com pessoas sobre o tipo de esporte praticado. Os resultados obtidos estão listados a seguir. Tabela. Esporte praticado Musculação Hidroginástica Totais Sexo masculino Sexo feminino Totais 0 70 Testar se o esporte praticado depende do sexo do entrevistado, usando = %. Vamos, primeiramente, verificar as hipóteses a serem testadas. H 0 : A escolha do esporte praticado não dependente do sexo. H a : A escolha do esporte praticado dependente do sexo. Resultado Observado Proporção (Tabela) Resultado Esperado = 0,4 0,4 x 8 = 4,36 70 = 0,8 0,8 x 8 = 33,64 0 = 0,4 0,4 x 6 = 6,04 70 = 0,8 0,8 x 6 = 3,96 60

36 ESTATÍSTICA INDUTIVA n Cálculo do = ( O i E i ) E : i= 1 i ( O E ) (O i ) (E i ) (O i - E i ) i i E i 3 4,36 (3-4,36) =,64 =113, ,64 (3-33,64) = (-,64) =113, ,04 (1-6,04) = (-11,04) =11, ,96 (47-3,96) = (-11,04) =11, , 096 = 4,6474 4, , 096 = 3,363 33, , = 4,6806 6, , = 3,3894 3, 96 n = ( O i E i ) i= 1 Ei = 16,087 O valor de c é de 16,087 Para encontrarmos o valor de t, utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a e o número de colunas da tabela é igual a, temos: graus de liberdade = (-1) x (-1) =1 com = % = 0,0. t = 3,841. Liberdade 0, 0,0 0,01 1,706 3,841 6,63 4,60,991 9, 3 6,1 7,81 11,34 4 7,779 9,488 13,77 Como c (16,087)> t (3,841), a hipótese nula é rejeitada (ou seja, a escolha do esporte dependente do sexo). 61

37 4. Estão sendo estudados os defeitos em peças fabricadas pela Empresa x. Há 3 tipos de defeitos: A, B e C. A empresa trabalha em turnos: diurno e noturno. Para essa finalidade foi recolhida uma amostra com 80 peças defeituosas, e os resultados obtidos estão descritos a seguir: Tabela 6. Quantidade de defeitos por tipo e turno. Defeito tipo A Defeito tipo B Defeito tipo C Totais Turno Diurno Turno Noturno Totais Teste a independência entre o número de defeitos e o turno trabalhado. Use = 1%. Vamos, primeiramente, verificar as hipóteses a serem testadas. H 0 : O número de defeitos não depende do turno de trabalho. H a : O número de defeitos depende do turno de trabalho. Resultado Observado Proporção (Tabela) Resultado Esperado = 0,3 0,3 x =3, = 0,3 0,3 x =3, = 0,4 0,4 x =4, = 0,3 0,3 x 98=, = 0,3 0,3 x 98=34, = 0,4 0,4 x 98=41,

38 ESTATÍSTICA INDUTIVA O Cálculo do i Ei c = ( ) : E n i= 1 i ( O E ) (O i ) (E i ) (O i - E i ) i i E i 6 3,46 ( 6 3, 46) =, 4 = 6, ,70 ( 3 3, 70) = ( 3, 7) = 13, ,84 ( 44 4, 84) = 116, = 1346, 0,4 ( 0, 4) = (, 4) = 6, ,30 ( 38 34, 30) = 3, 7 = 13, ,16 ( , ) = ( 116, ) = 1346, 6, 416 = 0,70 3, 46 13, 69 = 0,383 3, , = 0,0314 4, 84 6, 416 = 0,86, 4 13, 69 = 0, , , = 0, , n = ( O i E i ) i= 1 Ei = 1,4079 O valor de c é de 1,4079. Para encontrarmos o valor de t utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a e o número de colunas da tabela é igual a 3, temos: grau de liberdade = (-1) x (3-1) = com =1%=0,01. t = 9,. Liberdade 0, 0,0 0,01 1,706 3,841 6,63 4,60,991 9, 3 6,1 7,81 11,34 4 7,779 9,488 13,77 Como c (1,4079)< t (9,), a hipótese nula não é rejeitada (ou seja, o número de defeitos não depende do turno. 63

39 Referências Bibliográficas LARSON e FARBER. Estatística Aplicada. São Paulo: Prentice Hall, 004. LEVIN, J. e FOX, J.A. Estatística para ciências humanas. São Paulo: Prentice Hall, 004. MOORE, D. A Estatística Básica e sua prática. Rio de Janeiro: LTC, 000. NEUFELD, J. L. Estatística aplicada à Administração usando excel. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 003. PEREIRA, P. H. Noções de Estatística. São Paulo: Papirus, 004. SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. Rio de Janeiro: Campus,

O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão.

O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão. ESTATÍSTICA INDUTIVA 1. CORRELAÇÃO LINEAR 1.1 Diagrama de dispersão O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão.

Leia mais

Estatística - aulasestdistrnormal.doc 13/10/05

Estatística - aulasestdistrnormal.doc 13/10/05 Distribuição Normal Introdução O pesquisador estuda variáveis. O estatístico diz que essas variáveis são aleatórias porque elas têm um componente que varia ao acaso. Por exemplo, a variabilidade dos pesos

Leia mais

6 Intervalos de confiança

6 Intervalos de confiança 6 Intervalos de confiança Estatística Aplicada Larson Farber Seção 6.1 Intervalos de confiança para a média (amostras grandes) Estimativa pontual DEFINIÇÃO: Uma estimativa pontual é a estimativa de um

Leia mais

PODER DO TESTE. Poder do Teste e Tamanho de Amostra para Testes de Hipóteses

PODER DO TESTE. Poder do Teste e Tamanho de Amostra para Testes de Hipóteses PODER DO TESTE Poder do Teste e Tamanho de Amostra para Testes de Hipóteses 1 Tipos de erro num teste estatístico Realidade (desconhecida) Decisão do teste aceita H rejeita H H verdadeira decisão correta

Leia mais

7. Testes de Hipóteses

7. Testes de Hipóteses 7. Testes de Hipóteses Suponha que você é o encarregado de regular o engarrafamento automatizado de leite numa determinada agroindústria. Sabe-se que as máquinas foram reguladas para engarrafar em média,

Leia mais

Unidade III ESTATÍSTICA. Prof. Fernando Rodrigues

Unidade III ESTATÍSTICA. Prof. Fernando Rodrigues Unidade III ESTATÍSTICA Prof. Fernando Rodrigues Medidas de dispersão Estudamos na unidade anterior as medidas de tendência central, que fornecem importantes informações sobre uma sequência numérica. Entretanto,

Leia mais

Licenciatura em Ciências Biológicas Universidade Federal de Goiás. Bioestatística. Prof. Thiago Rangel - Dep. Ecologia ICB

Licenciatura em Ciências Biológicas Universidade Federal de Goiás. Bioestatística. Prof. Thiago Rangel - Dep. Ecologia ICB Licenciatura em Ciências Biológicas Universidade Federal de Goiás Bioestatística Prof. Thiago Rangel - Dep. Ecologia ICB rangel.ufg@gmail.com Página do curso: http://www.ecologia.ufrgs.br/~adrimelo/bioestat

Leia mais

Estimativas e Tamanhos de Amostras

Estimativas e Tamanhos de Amostras Estimativas e Tamanhos de Amostras 1 Aspectos Gerais 2 Estimativa de uma Média Populacional: Grandes Amostras 3 Estimativa de uma Média Populacional: Pequenas Amostras 4 Tamanho Amostral Necessário para

Leia mais

Uma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se

Uma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se Estatística Uma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se X 1,..., X n é uma amostra, T = função(x 1,..., X n é uma estatística. Exemplos X n = 1 n n i=1 X i = X 1+...+X n : a média amostral

Leia mais

Poder do teste e Tamanho de Amostra

Poder do teste e Tamanho de Amostra Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 24 Poder do teste e Tamanho de Amostra APOIO: Fundação de Ciência

Leia mais

Estimando probabilidades

Estimando probabilidades A UA UL LA Estimando probabilidades Introdução Nas aulas anteriores estudamos o cálculo de probabilidades e aplicamos seu conceitos a vários exemplos. Assim, vimos também que nem sempre podemos calcular

Leia mais

Conceitos básicos, probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas

Conceitos básicos, probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas Conceitos básicos, probabilidade, distribuição normal e uso de tabelas padronizadas Prof. Marcos Vinicius Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais Alguns conceitos População: é o conjunto de todos

Leia mais

P. P. G. em Agricultura de Precisão DPADP0803: Geoestatística (Prof. Dr. Elódio Sebem)

P. P. G. em Agricultura de Precisão DPADP0803: Geoestatística (Prof. Dr. Elódio Sebem) Amostragem: Em pesquisas científicas, quando se deseja conhecer características de uma população, é comum se observar apenas uma amostra de seus elementos e, a partir dos resultados dessa amostra, obter

Leia mais

HEP Bioestatística

HEP Bioestatística HEP 57800 Bioestatística DATA Aula CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 05/03 Terça 1 Níveis de mensuração, variáveis, organização de dados, apresentação tabular 07/03 Quinta 2 Apresentação tabular e gráfica 12/03 Terça

Leia mais

NOÇÕES RÁPIDAS DE ESTATÍSTICA E TRATAMENTO DE DADOS

NOÇÕES RÁPIDAS DE ESTATÍSTICA E TRATAMENTO DE DADOS NOÇÕES RÁPIDAS DE ESTATÍSTICA E TRATAMENTO DE DADOS Prof. Érica Polycarpo Bibliografia: Data reduction and error analysis for the physica sciences (Philip R. Bevington and D. Keith Robinson) A practical

Leia mais

Testes de Hipóteses. Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM

Testes de Hipóteses. Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM Testes de Hipóteses Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM Testes de hipóteses O Teste de Hipótese é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese

Leia mais

TESTES DE HIPÓTESES. HIPÓTESES: São suposições que fazemos para testar a fixação de decisões, que poderão ser verdadeiras ou não.

TESTES DE HIPÓTESES. HIPÓTESES: São suposições que fazemos para testar a fixação de decisões, que poderão ser verdadeiras ou não. TESTES DE HIPÓTESES HIPÓTESES: São suposições que fazemos para testar a fixação de decisões, que poderão ser verdadeiras ou não. HIPÓTESES ESTATÍSTICA: Hipótese Nula (H 0 ): a ser validada pelo teste.

Leia mais

Hipóteses. Hipótese. É uma pressuposição de um determinado problema.

Hipóteses. Hipótese. É uma pressuposição de um determinado problema. Bioestatística Aula 7 Teoria dos Teste de Hitóteses Prof. Tiago A. E. Ferreira 1 Hipóteses Hipótese É uma pressuposição de um determinado problema. Uma vez formulada, a hipótese estará sujeita a uma comprovação

Leia mais

Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004

Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 8 Testes de hipóteses APOIO: Fundação de Ciência e Tecnologia

Leia mais

Profa.: Patricia Maria Bortolon, D.Sc. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-1

Profa.: Patricia Maria Bortolon, D.Sc. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-1 MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À CONTABILIDADE Profa.: Patricia Maria Bortolon, D.Sc. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-1 Fundamentos de Testes

Leia mais

Inferência Estatística

Inferência Estatística Inferência Estatística Profa Alcione Miranda dos Santos Departamento de Saúde Pública UFMA Núcleo de Estatística e Informática HUUFMA email: alcione.miranda@terra.com.br Inferência Estatística Inferências

Leia mais

rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade 1/59

rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade 1/59 ITA - Laboratório rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aula 06: Intervalo de Confiança e Teste de Hipótese 1/59 população probabilidade (dedução) inferência estatística

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 8 11/2014 Distribuição Normal Vamos apresentar distribuições de probabilidades para variáveis aleatórias contínuas.

Leia mais

Métodos Estatísticos Avançados em Epidemiologia

Métodos Estatísticos Avançados em Epidemiologia Métodos Estatísticos Avançados em Epidemiologia Análise de Variância - ANOVA Cap. 12 - Pagano e Gauvreau (2004) - p.254 Enrico A. Colosimo/UFMG Depto. Estatística - ICEx - UFMG 1 / 39 Introdução Existem

Leia mais

CE Estatística I

CE Estatística I CE 002 - Estatística I Agronomia - Turma B Professor Walmes Marques Zeviani Laboratório de Estatística e Geoinformação Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná 1º semestre de 2012 Zeviani,

Leia mais

ANÁLISE DE RISCO E RETORNO DE INVESTIMENTO USO DAS MEDIDAS DE DISPERSÃO

ANÁLISE DE RISCO E RETORNO DE INVESTIMENTO USO DAS MEDIDAS DE DISPERSÃO ANÁLISE DE RISCO E RETORNO DE INVESTIMENTO USO DAS MEDIDAS DE DISPERSÃO Luiz Fernando Stringhini 1 Na tentativa de mostrar as possibilidades de uso das ferramentas da estatística dentro da contabilidade,

Leia mais

Considerações. Planejamento. Planejamento. 3.3 Análise de Variância ANOVA. 3.3 Análise de Variância ANOVA. Estatística II

Considerações. Planejamento. Planejamento. 3.3 Análise de Variância ANOVA. 3.3 Análise de Variância ANOVA. Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CAMPUS DE JI-PARAN PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AMBIENTAL Estatística II Aula 8 Profa. Renata G. Aguiar Considerações Coleta de dados no dia 18.05.2010. Aula extra

Leia mais

Princípios de Bioestatística

Princípios de Bioestatística Princípios de Bioestatística Cálculo do Tamanho de Amostra Enrico A. Colosimo/UFMG http://www.est.ufmg.br/ enricoc/ Depto. Estatística - ICEx - UFMG 1 / 32 2 / 32 Cálculo do Tamanho de Amostra Parte fundamental

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS

DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 1 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Muitas situações cotidianas podem ser usadas como experimento que dão resultados correspondentes a algum valor, e tais situações

Leia mais

Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. MOQ-13 Probabilidade e Estatística

Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. MOQ-13 Probabilidade e Estatística Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MOQ-13 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 16/11/2011 Testes de

Leia mais

MB-210 Probabilidade e Estatística

MB-210 Probabilidade e Estatística Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MB-210 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 2o. semestre/2013 Testes

Leia mais

Prova Resolvida Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística (ANAC/2016) Prof. Guilherme Neves

Prova Resolvida Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística (ANAC/2016) Prof. Guilherme Neves Prova Resolvida Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística (ANAC/2016) 31- (ANAC 2016/ESAF) A negação da proposição se choveu, então o voo vai atrasar pode ser logicamente descrita por a) não choveu

Leia mais

SEEC UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE UERN FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FANAT DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS DECB

SEEC UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE UERN FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FANAT DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS DECB Governo do Estado do Rio Grande do Norte Secretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEEC UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE UERN FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FANAT DEPARTAMENTO

Leia mais

Estatística Descritiva

Estatística Descritiva C E N T R O D E M A T E M Á T I C A, C O M P U T A Ç Ã O E C O G N I Ç Ã O UFABC Estatística Descritiva Centro de Matemática, Computação e Cognição March 17, 2013 Slide 1/52 1 Definições Básicas Estatística

Leia mais

Tópico 6. Distribuição Normal

Tópico 6. Distribuição Normal Tópico 6 Distribuição Normal Distribuição Normal Existe uma importante diferença entre dados que são normalmente distribuídos e a curva normal em si Distribuição Normal Muitas variáveis apresentam distribuição

Leia mais

Distribuições de Probabilidade. Distribuição Normal

Distribuições de Probabilidade. Distribuição Normal Distribuições de Probabilidade Distribuição Normal 1 Distribuição Normal ou Gaussiana A distribuição Normal ou Gaussiana é muito utilizada em análises estatísticas. É uma distribuição simétrica em torno

Leia mais

Prof. Sérgio Carvalho Estatística. I Jornada de Especialização em Concursos

Prof. Sérgio Carvalho Estatística. I Jornada de Especialização em Concursos DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS & INTERPOLAÇÃO LINEAR DA OGIVA 0. (AFRF-000) Utilize a tabela que se segue. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário

Leia mais

HEP-5800 BIOESTATÍSTICA. Capitulo 2

HEP-5800 BIOESTATÍSTICA. Capitulo 2 HEP-5800 BIOESTATÍSTICA Capitulo 2 NOÇÕES DE PROBABILIDADE, DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL, DISTRIBUIÇÃO NORMAL Nilza Nunes da Silva Regina T. I. Bernal MARÇO DE 2012 2 1. NOÇÕES DE PROBABILIDADE 1. DEFINIÇÃO Considere

Leia mais

META Estudar características de populações com base nas informações colhidas por amostras de dados selecionados aleatoriamente nestas populações.

META Estudar características de populações com base nas informações colhidas por amostras de dados selecionados aleatoriamente nestas populações. AMOSTRAGEM: POPULAÇÃO E AMOSTRA. TIPOS DE AMOSTRAGEM. AMOSTRA PILOTO. NÍVEL DE CONFIANÇA. ESTIMATIVA DA MÉDIA E PROPORÇÃO POPULACIONAL POR PONTO E POR INTERVALO. META Estudar características de populações

Leia mais

NÍVEL DE ENSINO: CARGA HORÁRIA: PROBABILIDADE EST PROFESSOR-AUTOR:

NÍVEL DE ENSINO: CARGA HORÁRIA: PROBABILIDADE EST PROFESSOR-AUTOR: ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE NÍVEL DE ENSINO: Graduação CARGA HORÁRIA: 80h PROFESSOR-AUTOR: Bráulio Roberto Gonçalves Marinho Couto Janaína Giovani Noronha de Oliveira Octávio Alcântara Torres Reinaldo

Leia mais

9 Correlação e Regressão. 9-1 Aspectos Gerais 9-2 Correlação 9-3 Regressão 9-4 Intervalos de Variação e Predição 9-5 Regressão Múltipla

9 Correlação e Regressão. 9-1 Aspectos Gerais 9-2 Correlação 9-3 Regressão 9-4 Intervalos de Variação e Predição 9-5 Regressão Múltipla 9 Correlação e Regressão 9-1 Aspectos Gerais 9-2 Correlação 9-3 Regressão 9-4 Intervalos de Variação e Predição 9-5 Regressão Múltipla 1 9-1 Aspectos Gerais Dados Emparelhados há uma relação? se há, qual

Leia mais

Tópicos em Gestão da Informação II

Tópicos em Gestão da Informação II Tópicos em Gestão da Informação II Aula 05 Variabilidade estatística Prof. Dalton Martins dmartins@gmail.com Gestão da Informação Faculdade de Informação e Comunicação Universidade Federal de Goiás Exercício

Leia mais

ANÁLISE DOS RESÍDUOS. Na análise de regressão linear, assumimos que os erros E 1, E 2,, E n satisfazem os seguintes pressupostos:

ANÁLISE DOS RESÍDUOS. Na análise de regressão linear, assumimos que os erros E 1, E 2,, E n satisfazem os seguintes pressupostos: ANÁLISE DOS RESÍDUOS Na análise de regressão linear, assumimos que os erros E 1, E 2,, E n satisfazem os seguintes pressupostos: seguem uma distribuição normal; têm média zero; têm variância σ 2 constante

Leia mais

Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas

Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na qual o grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em questão

Leia mais

ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO

ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO Ministério da Educação MEC Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior CAPES Diretoria de Educação a Distância DED Universidade Aberta do Brasil UAB Programa Nacional de Formação em Administração

Leia mais

ESTUDOS DE COORTE. Baixo Peso Peso Normal Total Mãe usuária de cocaína

ESTUDOS DE COORTE. Baixo Peso Peso Normal Total Mãe usuária de cocaína UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CENTRO DE CIÊNCIAS DA SAÚDE FACULDADE DE MEDICINA DEPARTAMENTO DE MEDICINA PREVENTIVA DISCIPLINA DE EPIDEMIOLOGIA ESTUDOS DE COORTE 1) Com o objetivo de investigar

Leia mais

Probabilidade: aula 2, 3 e 4

Probabilidade: aula 2, 3 e 4 Probabilidade: aula 2, 3 e 4 Regras de contagem e combinatória Permutação Simples: Exemplo: De quantas maneiras 5 pessoas podem viajar em um automóvel com 5 lugares, se apenas uma delas sabe dirigir? Atividade:

Leia mais

Uma livraria vende a seguinte a quantidade de livros de literatura durante uma certa semana:

Uma livraria vende a seguinte a quantidade de livros de literatura durante uma certa semana: Medidas de Tendência Central. Depois de se fazer a coleta e a representação dos dados de uma pesquisa, é comum analisarmos as tendências que essa pesquisa revela. Assim, se a pesquisa envolve muitos dados,

Leia mais

Sumário. CAPÍTULO 1 Conceitos preliminares 1. CAPÍTULO 2 Descrição de dados: análise monovariada 47

Sumário. CAPÍTULO 1 Conceitos preliminares 1. CAPÍTULO 2 Descrição de dados: análise monovariada 47 CAPÍTULO 1 Conceitos preliminares 1 Introdução........................................................1 O que é estatística?.................................................. 4 Papel dos microcomputadores.........................................

Leia mais

Inferência Estatística - Teoria da Estimação

Inferência Estatística - Teoria da Estimação Inferência Estatística - Teoria da Estimação Introdução Neste capítulo abordaremos situações em que o interesse está em obter informações da população a partir dos resultados de uma amostra. Como exemplo,

Leia mais

INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA UFPE - Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Estatística Disciplina: ET-406 Estatística Econômica Professor: Waldemar A. de Santa Cruz Oliveira Júnior INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Podemos

Leia mais

Teste Qui-quadrado de aderência Rinaldo Artes Insper Instituto de Ensino e Pesquisa 2014

Teste Qui-quadrado de aderência Rinaldo Artes Insper Instituto de Ensino e Pesquisa 2014 Teste Qui-quadrado de aderência Rinaldo Artes Insper Instituto de Ensino e Pesquisa 2014 Objetivo: Decidir se um conjunto de dados segue uma determinada distribuição de probabilidades. Exemplo 1: Uma emissora

Leia mais

A Influência da Amostragem na Representatividade dos Dados

A Influência da Amostragem na Representatividade dos Dados A Influência da Amostragem na Representatividade dos Dados por Manuel Rui F. Azevedo Alves ESTG- Instituto Politécnico de Viana do Castelo REQUIMTE Rede de Química e Tecnologia Sumário Tópico 1: Definições

Leia mais

Aula 6. Testes de Hipóteses Paramétricos (I)

Aula 6. Testes de Hipóteses Paramétricos (I) Aula 6. Testes de Hipóteses Paramétricos (I) Métodos Estadísticos 2008 Universidade de Averio Profª Gladys Castillo Jordán Teste de Hipóteses Procedimento estatístico que averigua se os dados sustentam

Leia mais

Elementos de Estatística

Elementos de Estatística Elementos de Estatística Lupércio F. Bessegato & Marcel T. Vieira UFJF Departamento de Estatística 2013 Medidas Resumo Medidas Resumo Medidas que sintetizam informações contidas nas variáveis em um único

Leia mais

Medidas de associação para variáveis categóricas em tabelas de dupla entrada

Medidas de associação para variáveis categóricas em tabelas de dupla entrada Medidas de associação para variáveis categóricas em tabelas de dupla entrada a) Quiquadrado de Pearson: mede a associação de tabelas de dupla entrada, sendo definida por: c ( e e ij ij n ) ij, em que é

Leia mais

Estatística Básica MEDIDAS RESUMO

Estatística Básica MEDIDAS RESUMO Estatística Básica MEDIDAS RESUMO Renato Dourado Maia Instituto de Ciências Agrárias Universidade Federal de Minas Gerais Motivação Básica Se você estivesse num ponto de ônibus e alguém perguntasse sobre

Leia mais

Estatística Aplicada ao Serviço Social

Estatística Aplicada ao Serviço Social Estatística Aplicada ao Serviço Social Módulo 7: Correlação e Regressão Linear Simples Introdução Coeficientes de Correlação entre duas Variáveis Coeficiente de Correlação Linear Introdução. Regressão

Leia mais

Teste de hipótese de variância e Análise de Variância (ANOVA)

Teste de hipótese de variância e Análise de Variância (ANOVA) Teste de hipótese de variância e Análise de Variância (ANOVA) Prof. Marcos Vinicius Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais Testes sobre variâncias Problema: queremos saber se há diferenças estatisticamente

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística TESTES DE HIPÓTESES (ou Testes de Significância) Estimação e Teste de Hipóteses Estimação e teste de hipóteses (ou significância) são os aspectos principais da Inferência Estatística

Leia mais

Modelos de Regressão Linear Simples - Erro Puro e Falta de Ajuste

Modelos de Regressão Linear Simples - Erro Puro e Falta de Ajuste Modelos de Regressão Linear Simples - Erro Puro e Falta de Ajuste Erica Castilho Rodrigues 2 de Setembro de 2014 Erro Puro 3 Existem dois motivos pelos quais os pontos observados podem não cair na reta

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências Estatística Aplicada à Engenharia

Leia mais

Estatística. Professora: Eliana Carvalho Estatística e Probabilidade 1

Estatística. Professora: Eliana Carvalho Estatística e Probabilidade 1 Estatística Fonte bibliográfica: FARIAS, Alberto Alves Introdução a Estatística MEYER, Paul L. Probabilidade: Aplicações à Estatística MONTGOMERY, Douglas C; Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros.

Leia mais

Distribuição de frequências:

Distribuição de frequências: Distribuição de frequências: Uma distribuição de frequências é uma tabela que reúne o conjunto de dados conforme as frequências ou as repetições de seus valores. Esta tabela pode representar os dados em

Leia mais

Livro Texto recomendado para a Disciplina

Livro Texto recomendado para a Disciplina Livro Texto recomendado para a Disciplina FREUND, John E. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2006. 11ª Edição, 536 p. (com CD) ISBN: 8573075317 Biblioteca:

Leia mais

Exploração e Transformação de dados

Exploração e Transformação de dados Exploração e Transformação de dados A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Normal 99% 95% 68% Z-score -3,29-2,58-1,96 1,96 2,58 3,29 Normal A distribuição normal corresponde a um modelo teórico ou ideal obtido a partir

Leia mais

CAPÍTULO 3 POPULAÇÃO E AMOSTRA

CAPÍTULO 3 POPULAÇÃO E AMOSTRA DEPARTAMENTO DE GEOCIÊNCIAS GCN 7901 ANÁLISE ESTATÍSTICA EM GEOCIÊNCIAS PROFESSOR: Dr. ALBERTO FRANKE CONTATO: alberto.franke@ufsc.br F: 3721 8595 CAPÍTULO 3 POPULAÇÃO E AMOSTRA As pesquisas de opinião

Leia mais

Genética Básica. Genética Mendeliana

Genética Básica. Genética Mendeliana Genética Básica Genética Mendeliana Coordenador Victor Martin Quintana Flores Gregor Johann Mendel 22 Julho 1822-6 Janeiro 1884 Cruzamento Hibridização Híbrido Planta de ervilha Traços constantes Facilidades

Leia mais

Métodos Estatísticos Básicos

Métodos Estatísticos Básicos Aula 4 - Medidas de dispersão Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Abril de 2014 Amplitude total Amplitude total: AT = X max X min. É a única medida de dispersão que não tem

Leia mais

Conteúdo. 1 Introdução. Histograma do Quarto Sorteio da Nota Fiscal Paraná 032/16. Quarto Sorteio Eletrônico da Nota Fiscal Paraná

Conteúdo. 1 Introdução. Histograma do Quarto Sorteio da Nota Fiscal Paraná 032/16. Quarto Sorteio Eletrônico da Nota Fiscal Paraná Quarto Sorteio Eletrônico da Nota Fiscal Paraná Relatório parcial contendo resultados 1 da análise estatística dos bilhetes premiados Conteúdo 1 Introdução Este documento apresenta a análise dos resultados

Leia mais

P R O G R A M A TERCEIRA FASE. DISCIPLINA: Estatística Aplicada à Pesquisa Educacional Código: 3EAPE Carga Horária: 54h/a (crédito 03)

P R O G R A M A TERCEIRA FASE. DISCIPLINA: Estatística Aplicada à Pesquisa Educacional Código: 3EAPE Carga Horária: 54h/a (crédito 03) UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS DA SAÚDE E DO ESPORTE - CEFID DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO FÍSICA - DEF CURSO: LICENCIATURA EM EDUCAÇÃO FÍSICA CURRÍCULO: 2008/2 P R O G

Leia mais

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA. Programa da Unidade Curricular PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Ano Lectivo 2012/2013

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA. Programa da Unidade Curricular PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Ano Lectivo 2012/2013 Programa da Unidade Curricular PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Ano Lectivo 2012/2013 1. Unidade Orgânica Ciências da Economia e da Empresa (1º Ciclo) 2. Curso Engenharia Informática 3. Ciclo de Estudos 1º

Leia mais

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS INTRODUÇÃO O que é uma variável aleatória? Um tipo de variável que depende do resultado aleatório de um experimento aleatório. Diz-se que um experimento é

Leia mais

Número: Dois. Lista de Exercícios Estatística

Número: Dois. Lista de Exercícios Estatística Professor: Assunto(s): Curso(s): William Costa Rodrigues Inferência ; Tipo de Variáveis, Tipos de Amostras; Tamanho da Amostra; Medidas de tendência central: Medidas de Variação Ciências Contábeis Q1.

Leia mais

Os conceitos de erro e incerteza. uma medida que permita verificar quão bom é o valor da medição. Para isso dois novos

Os conceitos de erro e incerteza. uma medida que permita verificar quão bom é o valor da medição. Para isso dois novos Os conceitos de erro e incerteza Por mais que o sujeito que faz as medidas em um laboratório seja competente e caprichoso, os dados experimentais nunca terão precisão e exatidão absoluta; porém, alguns

Leia mais

EXPERIMENTO FATORIAL BLOCADO PARA DETERMINAÇÃO DE DIFERENÇAS ENTRE TEMPO DE QUEIMA DE VELAS DE PARAFINA

EXPERIMENTO FATORIAL BLOCADO PARA DETERMINAÇÃO DE DIFERENÇAS ENTRE TEMPO DE QUEIMA DE VELAS DE PARAFINA Revista da Estatística da UFOP, Vol I, 2011 - XI Semana da Matemática e III Semana da Estatística, 2011 ISSN 2237-8111 EXPERIMENTO FATORIAL BLOCADO PARA DETERMINAÇÃO DE DIFERENÇAS ENTRE TEMPO DE QUEIMA

Leia mais

Probabilidade. Experiências aleatórias

Probabilidade. Experiências aleatórias Probabilidade Experiências aleatórias 1 Experiências aleatórias Acontecimento: Qualquer colecção de resultados de uma experiência. Acontecimento elementar: Um resultado que não pode ser simplificado ou

Leia mais

Prof. Luiz Alexandre Peternelli

Prof. Luiz Alexandre Peternelli Exercícios propostos 1. Numa prova há 7 questões do tipo verdadeiro-falso ( V ou F ). Calcule a probabilidade de acertarmos todas as 7 questões se: a) Escolhermos aleatoriamente as 7 respostas. b) Escolhermos

Leia mais

ERRO E TRATAMENTO DE DADOS ANALÍTICOS

ERRO E TRATAMENTO DE DADOS ANALÍTICOS Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Departamento de Química Introdução a Analise Química - I sem/2013 Profa Ma Auxiliadora - 1 Disciplina QUIO94 - Introdução à Análise Química

Leia mais

Modelos Lineares Generalizados - Verificação do Ajuste do Modelo

Modelos Lineares Generalizados - Verificação do Ajuste do Modelo Modelos Lineares Generalizados - Verificação do Ajuste do Modelo Erica Castilho Rodrigues 21 de Junho de 2013 3 Uma outra medida usada para verificar o ajuste do modelo. Essa estatística é dada por X

Leia mais

Poder do teste e determinação do tamanho da amostra:pca & PBC

Poder do teste e determinação do tamanho da amostra:pca & PBC Poder do teste e determinação do tamanho da amostra:pca & PBC Relembrando: α = probabilidade do erro do tipo I: P(Rejeitar H 0 H 0 é verdadeira). β = probabilidade do erro do tipo II: P(Não rejeitar H

Leia mais

Módulo 4 Ajuste de Curvas

Módulo 4 Ajuste de Curvas Módulo 4 Ajuste de Curvas 4.1 Intr odução Em matemática e estatística aplicada existem muitas situações onde conhecemos uma tabela de pontos (x; y), com y obtido experimentalmente e deseja se obter uma

Leia mais

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº06

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº06 Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº06 Assunto: Noções de Estatística 1. Conceitos básicos Definição: A estatística é a ciência que recolhe, organiza, classifica, apresenta

Leia mais

Comparando riscos e chances. Risco relativo e Razão de Chances

Comparando riscos e chances. Risco relativo e Razão de Chances Comparando riscos e chances Risco relativo e Razão de Chances Exemplo Inicial Estudo para verificar se a ingestão de extrato de guaraná tem efeito sobre a fadiga em pacientes tratados com quimioterapia

Leia mais

22/02/2014. AEA Leitura e tratamento de dados estatísticos apoiado pela tecnologia da informação. Medidas Estatísticas. Medidas Estatísticas

22/02/2014. AEA Leitura e tratamento de dados estatísticos apoiado pela tecnologia da informação. Medidas Estatísticas. Medidas Estatísticas Universidade Estadual de Goiás Unidade Universitária de Ciências Socioeconômicas e Humanas de Anápolis AEA Leitura e tratamento de dados estatísticos apoiado pela tecnologia da informação Prof. Elisabete

Leia mais

Utilizando o nplot. Este programa é gratuito e para fazer download basta acessar:

Utilizando o nplot. Este programa é gratuito e para fazer download basta acessar: Utilizando o nplot O nplot é um programa simples que permite a construção rápida de gráficos e o ajuste de diversas curvas, como as lineares, quadráticas, exponenciais e gaussianas. Além disso, permite

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO Área Científica Matemática Teóricas Curso Eng. Electrotécnica ECTS 5 Teóricopráticas Distribuição das horas de contacto Trabalho Práticas e de Seminário Estágio Laboratoriais campo Orientação tutória Outras

Leia mais

Biometria Teste t para dados emparelhados

Biometria Teste t para dados emparelhados 1 Sumário: Dados emparelhados Biometria Teste t para dados emparelhados (Leitura complementar ao capítulo 5) Duas amostras pertencem à mesma população? Estimação do tamanho amostral Menor diferença detectável

Leia mais

Introdução à Estatística Estatística Descritiva 22

Introdução à Estatística Estatística Descritiva 22 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 22 As tabelas de frequências e os gráficos constituem processos de redução de dados, no entanto, é possível resumir de uma forma mais drástica esses dados

Leia mais

Professora conteudista: Maria Ester Domingues de Oliveira. Revisor: Francisco Roberto Crisóstomo

Professora conteudista: Maria Ester Domingues de Oliveira. Revisor: Francisco Roberto Crisóstomo Estatística Básica Professora conteudista: Maria Ester Domingues de Oliveira Revisor: Francisco Roberto Crisóstomo Sumário Estatística Básica Unidade I 1 CICLO SEMPRE CRESCENTE...2 2 ESTATÍSTICA: CIÊNCIA

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS Departamento de Estatística Tarciana Liberal Vimos que é possível sintetizar os dados sob a forma de distribuições de freqüências e gráficos. Pode ser

Leia mais

Testes t para médias

Testes t para médias Testes t para médias 1-1 Testes t para médias Os testes t aplicam-se tanto a amostras independentes como a amostras emparelhadas. Servem para testar hipóteses sobre médias de uma variável quantitativa

Leia mais

AULA 19 Análise de Variância

AULA 19 Análise de Variância 1 AULA 19 Análise de Variância Ernesto F. L. Amaral 18 de outubro de 2012 Metodologia de Pesquisa (DCP 854B) Fonte: Triola, Mario F. 2008. Introdução à estatística. 10 ª ed. Rio de Janeiro: LTC. Capítulo

Leia mais

TEM ALTERNATIVA CORRETA!!!! CERTAMENTE A BANCA EXAMINADORA DARÁ COMO RESPOSTA CERTA LETRA (E). SERIA A MENOS ERRADA POR ELIMINAÇÃO.

TEM ALTERNATIVA CORRETA!!!! CERTAMENTE A BANCA EXAMINADORA DARÁ COMO RESPOSTA CERTA LETRA (E). SERIA A MENOS ERRADA POR ELIMINAÇÃO. Prezados concursandos!!! Muita paz e saúde para todos!!! Passemos aos comentários da prova de Raciocínio Lógico Quantitativo propostas pela CESGRANRIO no último concurso para o IBGE, no dia 10/01/010.

Leia mais

Exercícios resolvidos sobre Teoremas de Probabilidade

Exercícios resolvidos sobre Teoremas de Probabilidade Exercícios resolvidos sobre Teoremas de Probabilidade Aqui você tem mais uma oportunidade de estudar os teoremas da probabilidade, por meio de um conjunto de exercícios resolvidos. Observe como as propriedades

Leia mais

Palavras-chave: TIC; experimento; espaço amostral; evento.

Palavras-chave: TIC; experimento; espaço amostral; evento. UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DA PROBABILIDADE: O USO DE AULAS MULTIMÍDIAS COMO FACILITADOR DO PROCESSO ENSINO- APRENDIZAGEM Diánis Ferreira Irias dianis.irias@hotmail.com Laura Lima Dias laura_limadias@hotmail.com

Leia mais

Aula 2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL MONOLOG (MONO-LOGARÍTMICO) Menilton Menezes

Aula 2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL MONOLOG (MONO-LOGARÍTMICO) Menilton Menezes Aula 2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL MONOLOG (MONO-LOGARÍTMICO) META Expandir o estudo da utilização de gráficos em escala logarítmica. OBJETIVOS Ao final desta aula, o aluno deverá: Construir gráficos

Leia mais

Noções sobre Probabilidade

Noções sobre Probabilidade Noções sobre Probabilidade Introdução Vimos anteriormente como apresentar dados em tabelas e gráficos, e também como calcular medidas que descrevem características específicas destes dados. Mas além de

Leia mais

QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS ENVOLVENDO PROBABILIDADE

QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS ENVOLVENDO PROBABILIDADE QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS ENVOLVENDO PROBABILIDADE 1) Uma moeda não tendenciosa é lançada quatro vezes. A probabilidade de que sejam obtidas duas caras e duas coroas é: (A) 3/8 (B) ½ (C) 5/8 (D) 2/3

Leia mais

Física Experimental III

Física Experimental III Física Experimental III Unidade 4: Circuitos simples em corrente alternada: Generalidades e circuitos resistivos http://www.if.ufrj.br/~fisexp3 agosto/26 Na Unidade anterior estudamos o comportamento de

Leia mais