Distribuições Amostrais e Estimação Pontual de Parâmetros
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- Martim Carlos de Vieira
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1 Distribuições Amostrais e Estimação Pontual de Parâmetros ESQUEMA DO CAPÍTULO 7.1 INTRODUÇÃO 7.2 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL 7.3 CONCEITOS GERAIS DE ESTIMAÇÃO PONTUAL Estimadores não-tendenciosos Variância de um Estimador Pontual Erro-Padrão: Reportando uma Estimador Erro Quadrático Médio de um Estimador 7.4 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO PONTUAL Método dos Momentos Método da Máxima Verossimilhança Estimação Bayesiana de Parâmetros UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 1
2 Objetivos de Aprendizagem Após estudo cuidadoso deste capítulo você deverá ser capaz de: 1. Explicar os conceitos gerais da estimação de parâmetros de uma população ou distribuição de probabilidade; 2. Explicar o importante papel da distribuição normal com uma distribuição amostral; 3. Compreender o Teorema Central do Limite; 4. Explicar propriedades importantes dos estimadores pontuais, inclusive tendência, variância e erro quadrático médio; 5. Saber como construir estimadores pontuais pelo método do momentos e pelo método da máxima verossimilhança; 6. Saber com calcular e explicar a precisão com a qual um parâmetro é estimado; UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 2
3 7.1 Introdução O campo da inferência estatística consiste nos métodos utilizados para tomar decisões ou tirar conclusões sobre uma população; Tais métodos utilizam a informação contida em uma amostra da população para tirar conclusões (ver figura); UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 3
4 7.1 Introdução A inferência estatística pode ser dividida em duas grandes áreas: Estimação de parâmetros - Exemplo: Um engenheiro está interessado na estimação da resistência média à tração dos componentes usados em um chassi de automóvel e usará dados de uma amostra para calcular uma estimativa da média verdadeira; Testes de hipóteses Exemplo: Um engenheiro conjectura que duas temperaturas diferentes de reação, t 1 e t 2, resultam em rendimentos diferentes. A hipótese de interesse, a ser testada, seria que o rendimento médio usando a temperatura t 1 é maior do que o rendimento médio usando a temperatura t 2. Note que não há ênfase na estimação dos rendimentos. UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 4
5 7.1 Introdução Definições: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 5
6 7.1 Introdução Definições: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 6
7 7.1 Introdução Exemplo: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 7
8 7.1 Introdução Problemas de estimação ocorrem frequentemente em engenharia. Geralmente necessitamos estimar: A média μ de uma única população; A variância σ 2 (ou desvio-padrão σ) de uma única população; A proporção p de itens em uma população que pertence a uma classe de interesse; A diferença nas médias de duas populações, μ 1 - μ 2 ; A diferença nas proporções de duas populações, p 1 - p 2. UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 8
9 7.2 Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central Estimativas razoáveis desses parâmetros são: Para μ, a estimativa é a média aritmética da amostra, ˆ x; Para σ 2 2, a estimativa é a variância da amostra, ˆ 2 s Para p, a estimativa é a proporção da amostra, p ˆ x / n Para μ 1 -μ 2, a estimativa é a diferença entre as médias de duas amostras aleatórias independentes, ˆ ˆ 1 2 x1 x2; Para p 1 - p 2, a estimativa é a diferença entre duas proporções amostrais, calculadas a partir de duas amostras aleatórias independentes, p ˆ. ˆ1 p2 UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 9
10 7.2 Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central O Teorema Central do Limite: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 10
11 7.2 Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central Fig. 7.6 Distribuições das pontuações médias obtidas quando arremessamos dados. UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 11
12 7.2 Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central Exemplo: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 12
13 7.2 Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central Exemplo: Fig. 7.7 Probabilidade para o exemplo. UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 13
14 7.2 Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central Exemplo II: Fig. 7.8 As distribuições de X e, para o exemplo. X UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 14
15 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Estimadores Não Tendenciosos Definição: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 15
16 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Estimadores Não Tendenciosos Exemplo: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 16
17 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Estimadores Não Tendenciosos Exemplo (continuação): UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 17
18 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Estimadores Não Tendenciosos Exemplo (final): UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 18
19 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Variância de um Estimador Como não há um estimador não tendencioso único, não podemos confiar apenas na propriedade de não tendenciosidade para selecionar um estimador (ver figura); Fig. 7.2 As distribuições amostrais de dois estimadores não tendenciosos ˆ e. 1 ˆ 2 Definição: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 19
20 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Variância de um Estimador Teorema: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 20
21 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Erro-Padrão: Reportando uma Estimativa Definição: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 21
22 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Erro-Padrão: Reportando uma Estimativa Exemplo: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 22
23 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Erro-Padrão: Reportando uma Estimativa Exemplo II: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 23
24 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Erro-Padrão: Reportando uma Estimativa Exemplo II (final): UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 24
25 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Erro Quadrático Médio de um Estimador Definição: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 25
26 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Erro Quadrático Médio de um Estimador Definição (continuação): UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 26
27 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Erro Quadrático Médio de um Estimador Definição (continuação): UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 27
28 7.3 Conceitos Gerais de Estimação Pontual Erro Quadrático Médio de um Estimador Observação: Algumas vezes, encontramos que estimadores tendenciosos são preferíveis aos estimadores não tendenciosos, porque eles têm menor erro quadrático médio (ver figura). Fig. 7.3 Estimador tendencioso, ˆ 1, que tem variância menor do que o estimador não tendencioso, ˆ 2. UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 28
29 7.4 Métodos de Estimação Pontual Definição: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 29
30 7.4 Métodos de Estimação Pontual Comentário: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 30
31 7.4 Métodos de Estimação Pontual Exemplo: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 31
32 7.4 Métodos de Estimação Pontual Exemplo (final): UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 32
33 7.4 Métodos de Estimação Pontual Exemplo II: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 33
34 7.4 Métodos de Estimação Pontual Exemplo II (final): UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 34
35 7.4 Métodos de Estimação Pontual Exemplo III: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 35
36 7.4 Métodos de Estimação Pontual Exemplo III (final): UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 36
37 7.4 Métodos de Estimação Pontual Propriedades do EMV: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 37
38 7.4 Métodos de Estimação Pontual Propriedades da Invariância: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 38
39 7.4 Métodos de Estimação Pontual Exemplo: UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 39
40 7.4 Métodos de Estimação Pontual Comentário: Embora o método da máxima verossimilhança seja uma excelente técnica, algumas vezes complicações aparecem durante o seu uso. Por exemplo, nem sempre é fácil maximizar a função verossimilhança, pois as equações obtidas de dl(θ)/d(θ) = 0 podem ser difíceis de resolver. Além disso, pode não ser sempre possível usar diretamente métodos de cálculo para determinar max L(θ). UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 40
41 TERMOS E CONCEITOS IMPORTANTES Tendência em estimação de parâmetros Teorema Central do Limite Estimador versus estimativa Função Verossimilhança Estimador de máxima Verossimilhança Erro quadrático médio de um estimador Estimador não tendencioso de variância mínima Distribuição normal como uma distribuição amostral da média Estimação de parâmetros Estimador pontual Distribuição amostral Erro padrão e erro padrão estimado de um estimador Estatística Inferência estatística Estimador não tendencioso UFMG-ICEx-EST Cap. 7 - Distribuições Amostrais... 41
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