Inferência Estatística:

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1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Inferência Estatística: Princípios de Bioestatística decidindo na presença de incerteza Aula 8: Intervalos de Confiança para Média e Proporção

2 Distribuição t-student A distribuição t-student aproxima-se da distribuição Normal Padrão à medida que seus graus de liberdade, k, crescem.

3 Tabela t (continua )

4 ( continuação) Tabela t

5 t [ = t[ 0.20;10] = t[ 0.05;10] = ;15]

6 Distribuição t-student A distribuição t-student é simétrica em torno de 0. É por isso que somente os percentis positivos são tabelados.

7 t [10;0.05] = t [10;0.95] = t [10;0.05] = 1.812

8 Inferência Estatística Parâmetros: média (µ) desvio-padrão (σ) proporção (θ) AMOSTRA Estatísticas: média ( x ) desvio-padrão (s) proporção (p) POPULAÇÃO Conjunto de métodos de análise estatística que permitem tirar conclusões sobre uma população com base em somente uma parte dela, a amostra.

9 Tipos de Inferência Estatística Estimação de (de µ ou θ) Intervalo de Confiança Inferência sobre os parâmetros (µ ou θ) Teste de Hipóteses (sobre µ ou θ) Teste de Hipóteses

10 Estimação Exemplo: de posse de uma amostra de 1000 eleitores de um Estado, deseja-se estimar a proporção de eleitores desse Estado que votarão no candidato Fulano. O valor dessa proporção na população(θ) é desconhecido. Este parâmetro pode ser estimado de duas formas: Estimação pontual: Estimação intervalar: somente um valor é dado como estimativa para θ. Exemplo: proporção amostral de eleitores de Fulano, p=0.60. um intervalo de valores é dado como estimativa para θ. Exemplo: [ p ± margem de erro ] = [0.60 ± 0.03] = [0.57 ; 0.63].

11 Estimação Intervalar Estimativa Intervalar = Estimativa pontual ± Margem de Erro Exemplo: Em uma amostra de 40 alunos da UFMG, encontrou-se uma renda familiar média de 1600 reais (estimativa pontual), com desvio-padrão de 323 reais. A margem de erro foi calculada em 104 reais. Assim, a estimativa intervalar para a renda familiar média do aluno da UFMG é de [1600 ± 104] = [1496 ; 1704] reais.

12 EXEMPLO: estimar µ, a média da renda familiar dos alunos que ingressaram na UFMG este ano Experimento: 1. Cada um de vocês tem acesso a uma amostra de 100 calouros; 2. Cada um calcula a estimativa pontual em sua amostra; x 3. Os valores de irão variar de amostra para amostra: x Alguns valores de x serão próximos a µ, outros não.

13 Nível de Confiança de uma Estimativa Intervalar A estimativa intervalar é associada a um nível de confiança (geralmente expresso em porcentagem). Ex: nível de confiança de 95%. Chamamos a Estimativa Intervalar de Intervalo de Confiança. Ex: o intervalo de 95% de confiança para a renda familiar média do aluno da UFMG vai de R$1496 a R$1704. Interpretação: Temos uma confiança de 95% de que o valor desconhecido da renda familiar média do aluno da UFMG está entre R$1496 a R$1704.

14 O que entendemos por confiança? EXEMPLO: estimar µ, a renda média familiar dos alunos que ingressaram na UFMG este ano Experimento: 1. Cada um de vocês tem acesso a uma amostra de 100 calouros; 2. Cada um construirá um intervalo de 95% de confiança utilizando os dados da sua amostra. Resultado esperado: Intervalos de confiança com limites e comprimentos diferentes. Cerca de 95% dos intervalos construídos por vocês irão conter o valor desconhecido de µ.

15 Interpretação do Nível de Confiança na Estimação Intervalar 95% dos IC95% construídos de diferentes amostras de mesmo tamanho contêmo valor desconhecido de µ.

16 Intervalo de Confiança para uma Média µ margem de erro nível de confiança estimativa pontual de µ estimativa da variabilidade de x entre amostras de tamanho n percentil da distribuição t-student com (n -1) g.l. que deixa acima dele uma probabilidade igual a α/2 α/2 t α / 2;( n 1)

17 Exemplo: Estimação da idade média ao falar Em uma amostra de n=20 crianças, a idade média ao falar foi de x = 10 meses, com desvio-padrão de s =1,5 meses. s. 10 t α = ± n (1 α )% IC = x ± t µ ( n 1; α /2) (19; /2). 1.5 [ 10 ] (19; /2) (1 α )% ICµ = ± t α

18 Intervalo de 90% de confiança: 100(1-α)%=90% 1-α = 0.90 α = 0.10 α/2 = 0.05 t (19;0,05) = % [ ] ICµ = ± = [ 10 ± 0, 6] = [ ; ] 90% [ 9.4;10.6] ICµ = A idade média ao falar para esta população de crianças é estimada entre 9.4 e 10.6 meses, com 90% de confiança. Intervalo de 95% de confiança: 100(1-α)%=95% 1-α = 0.95 α = 0.05 α/2 = t (19;0,025) = % [ ] [ ] [ ;10 0.7] ICµ = ± = ± = + [ ] 95% 9.3;10.7 ICµ = A idade média ao falar para esta população de crianças é estimada entre 9.3 e 10.7 meses, com 95% de confiança.

19 Como reduzir a margem de erro (e o comprimento do IC)? Reduzir o nível de confiança Escolher uma população com menor variabilidade s 100(1 α )% IC µ = x ± t. ( n 1; α /2) n Aumentar o tamanho da amostra

20 Cálculo do Tamanho da Amostra para IC 100(1 α )% µ me t n = ( 1; α /2) s n Cálcular o tamanho da amostra (n) Cálcular o tamanho da amostra (n) tal que a margem de erro seja igual ao valor especificado pelo pesquisador.

21 Exemplo: Em uma amostra de 40 alunos da UFMG, encontrou-se uma renda familiar média de 1600 reais, com d.p. de 323 reais. A margem de erro com 95% de confiança na estimação da média de renda na população de alunos (µ), é dada por: me µ 95% = t [39;0.025] = (2.042) ( ) = 104 reais. Suponha que se deseja que a margem de erro caia para 50 reais. Para quanto deveria ser aumentado o tamanho da amostra? t 323 [ n 1;0.025] = 50 reais n = n?

22 me 95% µ = t[ n 1;0.025] 323 n

23 Intervalo de Confiança para uma Proporção θ margem de erro estimativa da variabilidade de p entre amostras de tamanho n nível de confiança estimativa pontual de θ percentil da distribuição Normal Padrão que deixa acima dele probabilidade igual a α/2 Válido somente quando n > 30 (amostras grandes) e 0.2<θ<0.8.

24 Exemplo: Deseja-se estimar: θ = proporção de pessoas curadas com o novo tratamento. 50 pessoas receberam o novo tratamento e 40 foram curadas. Estimativa Pontual: a proporção amostral p = 40/50 = 0.8 Estimativa Intervalar: 90% de confiança: 100(1-α)%=90% 1-α = 0.90 α = 0.10 α/2 = 0.05 z α/2 = z 0,05 = (0.2) 90% IC θ = 0.8 ± (1.64) = 0.8 ± (1.64)(0.06) = 0.8 ± 0.1 = 0.7 ; Com base nesta amostra, estimamos que a proporção de cura com o novo tratamento está entre 70% e 90%, com 90% de confiança. [ ] [ ] [ ].

25 Cálculo do Tamanho da Amostra para IC me100(1 α )% (1 = z( α /2) θ n p p) Para um valor de margem de erro (d) especificado pelo pesquisador, o tamanho da amostra deve ser: n = z [ α /2] d 2 p(1 p [ )] máximo=0.25 quando p=0.50

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27 4 1 ] [ 2 2 / 2] [ / 2] [ ) 1 ( = = d z n d z n p p α α Para 95% de confiança: 1-α=0.95 z α/2 = z 0,025 = z α / 2] [ = = d n d z n α 2 d n 1 =

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