Inferência Estatística: como fazer afirmações sobre uma população conhecendo uma amostra

Transcrição

1 Inferência Estatística: como fazer afirmações sobre uma população conhecendo uma amostra da população? Referência: Bussab e Morettin - Estatística Básica - Editora Saraiva - Capítulos 10 e 11. Introdução O uso de informações de uma amostra para concluir sobre o todo faz parte da atividade diária da maioria das pessoas. Observe como uma dona de casa verifica se o feijão está bom de sal. Ou ainda, observe quando um cliente de supermercado, após provar uma uva rosada na seção de horti-fruti, decide se vai comprar ou não dessas uvas. Essas decisões são baseadas em procedimentos amostrais. 1

2 Conceitos Importantes População: é o conjunto de todos os elementos sob investigação com pelo menos uma característica em comum. Amostra: é qualquer subconjunto não-vazio da população. Característica numérica da po- Parâmetro: pulação. Estatística: Característica numérica da amostra. 2

3 Observe que aqui o uso da palavra estatística tem outro significado. Com o conceito que acabamos de apresentar podemos dizer que usamos estatísticas para estimar parâmetros. Um estimador de um parâmetro é uma estatística. Uma questão importante na Inferência Estatística é a de como avaliar um estimador. 3

4 Problemas de Inferência Verificação do tempo de vida médio da lâmpada fluorescente especificado pelo fabricante. Essa verificação pode fazer parte de 1. um procedimento de controle de qualidade da empresa - se o tempo médio de vida da amostra retirada de um lote de tais lâmpadas não atender à especificação estabelecida, então todo o lote deve ser rejeitado; 2. um procedimento de um órgão de defesa do consumidor - se o tempo médio de vida de uma amostra de tais lâmpadas obtidas de diversos pontos de venda atender à especificação do fabricante, então a reclamação dos consumidores não deverá ser aceita. 4

5 Avaliação de um novo produto. Antes do lançamento, o novo produto será distribuído a um grupo de consumidores potenciais que responderão um questionário. Se os resultados dos questionários mostrarem que o novo produto foi bem aceito, então o grupo de marketing terá suporte para defender o lançamento do novo produto. Previsão do tempo médio de espera dos clientes no caixa de um banco. Se o tempo médio de espera de uma amostra de clientes for maior que o tempo médio afirmado pelo gerente da agência, então será bastante provável que as reclamações dos clientes tenham fundamento. 5

6 Há razões para supor que o tempo de reação Y a certo estímulo visual depende da idade do indivíduo. Suponha que essa dependência seja linear. Para verificar se essa suposição é verdadeira, obtiveram-se 20 dados da seguinte forma: 20 pessoas foram selecionadas, sendo 10 homens e 10 mulheres. Dentro de cada grupo, de homens e mulheres, foram selecionadas duas pessoas das seguintes faixas de idade: 20, 25, 30, 35 e 40 anos. Cada pessoa foi submetida ao teste e seu tempo de reação y foi registrado. A população poderia ser considerada como formada por todas aquelas pessoas que viessem a ser submetidas ao teste, segundo o sexo e a idade. A amostra é formada pelas 20 medidas de tempos de reação. 6

7 Previsão da população brasileira por gênero e idade a fim de formular poĺıticas públicas para os próximos 40 anos. Existem diversos modelos de previsão de tamanho de população. Diversos fatores interferem na dinâmica da população. Na quinta-feira, dia 29 de agosto de 2013, o IBGE divulgou que no Brasil já são 201 milhões de habitantes e também apresentou uma previsão sobre a população por gênero e idade até A população total projetada para o Brasil em 2013 foi de 201,0 milhões de habitantes, atingindo 212,1 milhões em 2020, até alcançar o máximo de 228,4 milhões em 2042, quando começará a decrescer, atingindo o valor de 218,2 em 2060, nível equivalente ao projetado para 2025 (218,3 milhões). 7

8 Estudo revela que a estatura média dos homens europeus aumentou 11 cm entre 1870 e 1980 Em O Globo, 04/09/2013. LONDRES - A estatura média dos homens europeus aumentou 11 centímetros, de 167 a 178, em pouco mais de um século, segundo resultados de uma pesquisa da Universidade de Essex, do Reino Unido. No estudo foram analisados dados da estatura dos homens com 20 anos de 15 países europeus entre 1870 e A análise se limitou a homens, segundo a pesquisa, porque os dados de mulheres são mais difíceis de se conseguir. Durante as últimas décadas, a informação foi obtida principalmente em levantamentos de estatura de soldados. Não houve grande diferença entre os países. O estudo revela que muitos países europeus, entre eles a Grã Bretanha e a Irlanda, os países escandinavos, Holanda, Áustria, Bélgica e Alemanha, tiveram clara aceleração do ritmo de crescimento durante as duas guerras mundiais e a Grande Depressão. Fato que os autores consideram surpreendente, já que é o período anterior aos grandes avanços da medicina moderna e da implementação dos serviços nacionais de saúde. O aumento da estatura humana é um indicador chave para a melhora da saúde da população, afirmou ao El País, Timothy Hatton, professor de Economia da Universidade de Essex e diretor do estudo. Na opinião dele, uma razão possível para este aumento, além da diminuição da mortalidade infantil, poderia ser a forte tendência de redução de fecundidade. 8

9 Como selecionar uma amostra? As observações contidas numa amostra são tanto mais informativas sobre a população, quanto mais conhecimento tivermos dessa mesma população. Por exemplo a análise quantitativa de glóbulos brancos obtida de algumas gotas de sangue da ponta do dedo de um paciente dá a ideia geral da quantidade de glóbulos brancos no corpo todo, pois sabe-se que a distribuição dos glóbulos brancos é homogênea, e de qualquer lugar que se tivesse retirado a amostra ela seria representativa. Nem sempre a escolha de uma amostra adequada é imediata. 9

10 Em Bussab e Morettin, os procedimentos de levantamento de dados são apresentados nos seguintes três grupos. 1. Levantamentos Amostrais - a amostra é obtida de uma população bem definida, por meio de processos bem protocolados e controlados pelo pesquisador. Tais levantamentos costumam ser subdivididos em dois subgrupos: probabiĺısticos e nãoprobabiĺısticos. O primeiro reúne todas as técnicas que usam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos de uma amostra, atribuindo a cada um deles, uma probabilidade, conhecida a priori, de pertencer à amostra. 10

11 No segundo grupo estão os demais procedimentos, tais como amostras intencionais, nas quais os elementos são selecionados com o auxílio de especialistas, e amostras de voluntários, como ocorre em alguns testes sobre novos medicamentos e vacinas. A grande vantagem dos procedimentos probabiĺısticos é poder medir a precisão da amostra obtida. 2. Planejamento de Experimentos. Têm como principal objetivo analisar o efeito de uma variável sobre outra(s). Requer interferências do pesquisador sobre o ambiente em estudo (população), bem como o controle de fatores externos, com o intuito de medir o efeito desejado. Exemplo: A altura de um produto na gôndola de um supermercado afeta as vendas do produto? Se sim, como? 11

12 3. Levantamentos Observacionais. Os dados são coletados sem que o pesquisador tenha controle sobre as informações obtidas, exceto eventualmente sobre possíveis erros grosseiros. As séries de dados temporais são e- xemplos típicos desses levantamentos. Exemplo: suponha o problema de prever as vendas futuras numa empresa em função das vendas passadas. O pesquisador não pode selecionar dados, esses são as vendas efetivamente ocorridas. Observe que aqui também se encaixa o problema de projeções de tamanhos populacionais. 12

13 Amostra Aleatória Simples(AAS) Uma amostra aleatória simples ocorre quando atribuímos probabilidades de seleção na amostra iguais para todos os elementos da população. Com relação à precisão neste tipo de amostragem existe diferença se a seleção é feita com reposição ou sem reposição. No entanto, quando o tamanho da amostra for muito inferior ao tamanho da população (menor que 5% da população) a seleção sem reposição comporta-se, de modo aproximado, como uma seleção com reposição, e nesse caso costuma-se tratar o problema como se fosse com reposição. 13

14 Distribuição Amostral No início da aula falamos em usar estatísticas para estimar um parâmetro. Na prática só podemos obter uma amostra da população e, com base nela, tirar conclusões sobre a população. Como poderemos fazer afirmações sobre a qualidade das nossas conclusões? Como poderemos falar sobre o erro decorrente da variabilidade amostral? A resposta a essas perguntas envolve o conceito de distribuição amostral. 14

15 Suponha o problema de estimar um parâmetro θ de certa população e que para isso dispomos de uma amostra de tamanho n dessa população: x 1, x 2,..., x n. Suponha também que usaremos uma estatística T função da amostra para estimar θ. T = t(x 1, x 2,..., x n ) T pode ser a soma ( n i=1 x i ), a média ( x), a mediana, a amplitude, o desvio padrão amostral, e sua escolha dependerá do parâmetro que queremos estimar. Para poder avaliar a qualidade de T como estimador de θ é fundamental conhecer o modelo probabiĺısitco que explica a variabilidadde de seus valores, ou seja, a distribuição amostral de T. 15

16 A figura a seguir ilustra como poderíamos ficticiamente obter essa distribuição. 16

17 Mas como poderemos pelo menos fazer um histograma de valores da estatística se só dispomos de uma amostra? O Teorema Central do Limite da Teoria das Probabilidades é uma peça chave para resolver esse problema. Vamos simplificar o problema de estimação de um parâmetro genérico θ para um problema específico de estimação da média populacional, µ. Para isso dispomos de uma amostra aleatória de tamanho n da população cujos valores observados são x 1, x 2,..., x n. No que segue usaremos: população e µ para a média da σ 2 para a variância da população (σ - desvio padrão da população). Um estimador natural de µ a ser usado é a média amostral x. 17

18 O Teorema Central do Limite (TCL) afirma: Se X 1, X 2,..., X n é uma amostra aleatória simples de uma população qualquer cuja média é µ e variância é σ 2, a distribuição amostral n de X = 1 X i, a média amostral, se aproxima de uma distribuição normal com média µ ni=1 e variância σ2 quando n cresce. n Ou seja, para n suficientemente grande, X a N ou equivalentemente, X µ σ/ n ( µ, σ2 n ) a N (0, 1) Para entender melhor esse resultado vamos a- presentar alguns exemplos. 18

19 Situação 1: Suponha uma população Uniforme em [0,5]: sua densidade é constante no intervalo dado. O valor esperado de uma população uniforme em [0,5] é 2,5 e a variância é 25/12 2, 08. Agora vamos sortear 100 amostras aleatórias de tamanho 2 e calcular as respectivas médias amostrais. A figura a seguir mostra um histograma dos 100 valores obtidos. 19

20 Os histogramas a seguir mostram os comportamentos da média amostral para 100 amostras de tamanho 5, 10, 15 e 25 de uma população uniforme em [0,5]. 20

21 21

22 Como é possível perceber, a medida que aumentamos o tamanho da amostra, a variabilidade dos valores da média amostral se torna cada vez mais simétrica em torno de 2,5 (a média da população) e que a variabilidade em torno da média diminui. Para amostras de populações uniformes, consideram-se tamanhos amostrais moderados para usar o TCL. Para n = 15 a aproximação já é boa. No entanto, se a distribuição populacional for muito afastada de uma normal, por exemplo com forte assimetria positiva, será necessário um tamanho amostral bem superior a 15 para que a aproximação seja considerada boa. Vamos ver um exemplo desse tipo. 22

23 Suponha uma população com o seguinte comportamento. Aqui foi escolhida uma população cuja média é 0,04, mas que apresenta assimetria positiva. 23

24 Histogramas dos valores de x para 200 amostras de tamanhos 5, 20, 30 e

25 Mas como saber quando o tamanho amostral é adequado ou não para usar o TCL? Você não precisará se preocupar com isso. Em geral, o uso do TCL é considerado adequado para amostras de tamanho maior ou igual a 30, independentemente da forma original da população. O desvio padrão da distribuição amostral da média, igual a σ n, é chamado de erro padrão de X. Ele fornece uma medida do grau com que as médias amostrais se desviam do valor esperado de sua distribuição (que coincide com a média populacional µ). Logo, podemos usar essa informação para descobrir o quão precisa é a nossa estimativa da média da população. 25

26 Vejamos um exemplo teórico. Suponha que uma população, caracterizada por uma variável aleatória X, tenha distribuição normal com média 10 e variância 100. X N( 10, 100 }{{} =µ }{{}) =σ 2 Suponha também que iremos trabalhar com amostras aleatórias de tamanho n = 16. Como fica a distribuição amostral de X, a média amostral? 26

27 Aqui cabe comentar que no caso de populações normais, não é necessário usar o TCL, pois a distribuição amostral de X é, de fato, uma normal. Assim, temos X N ( µ, σ2 n ) = N(10, 6.25). Veja o gráfico dessa distribuição (em vermelho destaca-se a distribuição da população). 27

28 Como é possível ver a distribuição amostral da média é muito mais concentrada em torno de seu valor esperado do que a distribuição da população. Calcule, por exemplo, agora P ( 5 < X < 15) e compare com P ( 5 < X < 15) Usando o Excel: P ( 5 < X < 15) = normdist(15; 10; 10; true) normdist( 5; 10; 10; true) P ( 5 < X < 15) = normdist(15; 10; 2.5; true) normdist( 5; 10; 2.5; true) 1 A notação 1 foi usada para indicar que a probabilidade é quase igual a 1, mas é menor que 1. 28

29 Vimos que entre ±1, 96 desvios da média o gráfico da distribuição normal compreende 95% dos valores. Qual deveria ser o tamanho da amostra se desejássemos que em 95% das vezes a média amostral caísse entre 10 ± 2, isto é, entre 8 e 12? 0, 95 = P (8 < X < 12) = P ( / n < Z < / n ) = = P ( 0, 2 n < Z < 0, 2 n ) = 2φ(0, 2 n) 1 Logo, φ(0, 2 n) = 0, 975 e, usando a tabela da normal pardão 0, 2 n = 1, 96. n = 1, 96 0, 2 n = (9, 8) Obs.: Com n = 16, temos P (8 < X < 12) 0,

30 Antes de prosseguir, vamos enumerar os principais resultados apresentados até aqui. Sejam X uma população com média µ e variância σ 2 ; X 1, X 2,..., X n uma amostra aleatória de tamanho n da população; X = 1 n n i=1 X i a média amostral. Então, o valor esperado, ou simplesmente a média, da distribuição de X é dado por E[ X] = µ e, a variância, por Var( X) = σ2 n. O erro-padrão (desvio padrão) de X: σ X = σ n 30

31 Se a população for normal, X N(µ, σ2 n ) qualquer que seja n; ou equivalentemente, X µ σ/ n N(0, 1). Se a população não for normal, segue, do TCL, que para n 30, X a N(µ, σ2 n ) ou equivalentemente, X µ σ/ n a N(0, 1). 31

32 Nos problemas reais o valor de σ também não é conhecido. Portanto, será necessário, usando a amostra disponível, estimar seu valor. Observe que como o erro padrão de X ( σ X = é inversamente proporcional ao tamanho da amostra, isso significa que quanto maior for o tamanho amostral, menor será a variabilidade das médias amostrais e, portanto, mais precisa será a nossa estimativa da média populacional. O mesmo deve ser esperado para estimativas do desvio padrão populacional σ: quanto maior for a amostra, mais precisas serão as nossas estimativas. σ ) n Se X 1, X 2,..., X n é a amostra observada, estimamos a variância da população σ 2 pela variância amostral S 2 = 1 por S = S 2. n n 1 i=1 (X i X) 2 e, σ 32

33 Assim, para amostras grandes n 30, se σ 2 é desconhecido, usamos uma estimativa dada por s e aplicamos o TCL X µ S/ n a N (0, 1). com S estimador de σ. E se n < 30? Como proceder? Vamos começar essa discussão com um exemplo particular de estimação de uma proporção populacional. Seja X 1, X 2,..., X n uma amostra aleatória da distribuição binomial(1, p) tal que cada X i é 0 ou 1 com probabilidades 1 p ou p respectivamente. Suponha que p seja desconhecida e represente uma proporção de interesse. Lembre que no modelo binomial(1, p) tem-se valor esperado µ = p e variância σ 2 = p(1 p). 33

34 Observe que nesse contexto X = ˆp é a proporção amostral de sucessos. É natural usar a proporção amostral (que é uma média) como estimador da proporção populacional. Se n é grande podemos usar o TCL tal que ˆp a N p }{{} =µ, p(1 p) }{{ n } = σ2 n. Porém, para valores moderados de n e dependendo do verdadeiro valor de p essa aproximação poderá não ser boa. No entanto, nesse contexto particular, é fácil ver que nˆp binomial(n, p), pois representará o número de sucessos em n Ensaios de Bernoulli com probabilidade de sucesso p. Assim, a distribuição exata de ˆp é uma binomial multiplicada por um fator 1/n. 34

35 Exemplo: Um professor dá um teste de 20 questões do tipo certo ou errado. Para testar a hipótese de o estudante estar chutando a resposta, ele adota a seguinte regra de decisão: Se 13 ou mais questões estiverem corretas, ele decide que o estudante não chutou as questões do teste. Qual é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese, sendo ela de fato verdadeira? Solução: Se a hipótese é de fato verdadeira observe que o estudante irá acertar cada uma das 20 questões com probabilidade 1/2. Rejeitamos a hipótese se o número de acertos é maior ou igual a 13. Seja X o número de acertos. Queremos calcular P (X 13 dado que p = 1/2). Observe que nesse caso, X binomial(20, 1/2). Vamos usar o Bioestat para calcular essa probabilidade. 35

36 Depois de abrir o programa, escolha no menu horizontal superior Estatísticas e, depois Distribuições de Probabilidade. Em seguida, clique na opção binomial. Basta então informar n = 20, k = 13 e proporção esperada igual a 1/2. 36

37 Assim, P (X 13) = P (X = 13) + P (X > 13) = = 0, , 0577 = 0, 1316 tal que há uma probabilidade de cerca de 13% de rejeitar a hipótese de que o aluno está chutando as respostas do teste dado que de fato ele chutou. No Excel usa-se = 1 distr.binom(12; 20; 0, 5; verdadeiro) que retorna o valor 0, , 13. Qual deveria ser a regra se desejássemos que essa probabilidade fosse no máximo igual a 5%? 37

38 Para responder a pergunta podemos ir aumentando o valor de k na tela binomial do Bioestat até a primeira vez que P (X k) seja inferior a 0,05. Por exemplo, se aumentarmos para k=14, obteremos P (X 14) = que ainda é maior que 0,05. Vejamos então com k = 15. Agora temos P (X 15) = 0, Logo a resposta será Devemos rejeitar a hipótese de que o aluno está chutando as respostas, se o número de acertos for maior ou igual a 15. Observe que como o problema envolve uma variável aleatória discreta, número de acertos, pode não existir uma solução exata para probabilidades fixadas. Fixamos a probabilidade em 5%, mas vimos que ou a regra é para 14 acertos e a probabilidade é cerca de 6%(5,77%) ou para 15, e a probabilidade é cerca de 2%(2,07%). 38

39 Agora vamos ver como fica o caso de amostras moderadas de uma variável aleatória contínua. Suponha que dispomos de uma amostra aleatória de tamanho moderado (n < 30) de uma variável aleatória X contínua. Nesse caso, há uma solução similar quando a variável aleatória sob consideração tem uma distribuição normal. Porém, se claramente não for razoável supor a normalidade da variável em estudo, a solução que iremos apresentar não será adequada. Uma possível forma de lidar com dados não normais é transformá-los. 39

40 Por exemplo, para dados positivos com assimetria à direita, costuma-se usar a transformação logarítmica. Se com a transformação, a suposição de normalidade for razoável, podemos trabalhar na escala transformada, lembrando depois de voltar à escala original na hora de apresentarmos nossas conclusões. Existem técnicas de inferência estatística nãoparamétrica que não requerem a suposição da forma da distribuição da população que também podem ser usadas para o caso não-normal com amostras moderadas. Veremos agora a solução para o caso: amostras moderadas de uma população normal com média µ e desvio padrão σ desconhecidos. 40

41 Para isso, vamos enunciar primeiro um importante resultado para amostras da distribuição normal. Seja X 1, X 2,..., X n uma amostra da distribuição N(µ, σ 2 ). Então, 1. X N ( µ, σ2 n ) ; 2. S 2 = 1 n 1 i=1 independentes; n (X i X) 2 e X são variáveis aleatórias 3. n 1 σ 2 S 2 tem uma distribuição de qui-quadrado com n 1 graus de liberdade (será explicado adiante) e; 4. T = X µ S/ n tem uma distribuição t com n 1 graus de liberdade. 41

42 A distribuição t Também conhecida como distribuição t de Student, leva esse nome pois foi publicada por William Sealy Gosset ( ) em 1908 sob o pseudônimo de Student, pois Gosset não podia usar seu nome verdadeiro para publicar trabalhos enquanto trabalhasse para a cervejaria Guinness. A distribuição t, como a normal padrão, também tem densidade simétrica em torno de zero, porém apresenta caudas mais pesadas do que a normal padrão. O único parâmetro que a define (ν) caracteriza a sua forma e é chamado número de graus de liberdade. 42

43 Quanto maior for o valor do parâmetro ν, a distribuição t (ν) se aproximará da distribuição normal padrão. Os dois gráficos a seguir ilustram as propriedades citadas da distribuição t. 43

44 44

45 Como obter probabilidades associadas a distribuição t (ν)? Da mesma forma que a normal padrão, também estão disponíveis na maioria dos livros de estatística tabelas da distribuição t. Probabilidades associadas a distribuição t também podem ser obtidas via programas estatísticos. A planilha EXCEL por exemplo fornece probabilidades associadas a distribuição t. Como vimos a distribuição t é caracterizada por um parâmetro ν, chamado número de graus de liberdade. Vejamos uma tabela dessa distribuição. 45

46 46

47 Exemplo: Suponha que se deseja estimar o tempo médio para realizar uma tarefa. Para isso sorteou-se uma amostra aleatória de 16 operários cujos tempos de realização da tarefa, em minutos, foram registrados

48 Suponha que desejamos determinar um intervalo simétrico em torno da verdadeira média tal que a probabilidade da estatística T cair entre esses dois valores seja de 95%. Já resolvemos um problema similar a esse, mas no contexto da distribuição normal com variância conhecida e vimos que, depois de padronizar, P ( 1, 96 < Z < 1, 96) = 0, 95. Observe que agora, apesar de considerarmos a normalidade dos dados, a variância da população não é conhecida. Logo, usaremos a distribuição t com n 1 = 16 1 = 15 graus de liberdade. Aqui, a chave para solucionar esse problema é usar o resultado T = X µ S/ 15 t (15) 48

49 No Bioestat, escolhendo o módulo distribuições de probabilidade, outras distribuições, distribuição t, podemos por tentativas encontrar o valor simétrico em torno de zero que produz uma probabilidade de 95% para os valores intermediários. Depois de algumas tentativas o Bioestat fornece o valor 2.13, uma aproximação com duas casas decimais. 49

50 No Excel, obtemos esse valor de forma mais direta usando a função graus de liberdade {}}{ = INV.T ( 0, 975 ; 15 ) }{{} probabilidade acumulada que retorna o valor 2, Logo, P ( 2, 13 < T = X µ S/ 15 < 2, 13) = 0,

51 Como verificar se a suposição de normalidade dos dados é razoável? Existem ferramentas gráficas tais como os gráficos de probabilidade normal, que devem ter uma aparência linear, quando os dados de fato são normais e, os histogramas das distribuições de frequências, que devem ter uma forma unimodal aproximadamente simétrica em torno da média. Também existem vários testes estatísticos de verificação da suposição de normalidade. Vamos deixar esta discussão para uma aula posterior à próxima, na qual trabalharemos com as primeiras idieas de testes de hipóteses e alguns testes mais simples. 51

52 Intervalos de Confiança Vamos começar com um exemplo. Suponha que se deseja estimar a média µ de uma população qualquer e que para isso usaremos a média amostral X de uma amostra aleatória de tamanho n. Usando o TCL, supondo n 30 temos que X µ σ/ n a N(0, 1). Logo, usando a tabela da normal padrão, podemos escrever, por exemplo, P ( 1, 96 < X µ σ X com σ X = σ n. < 1, 96) = 0, 95 52

53 Por meio de operações algébricas, é possível reescrever a equação anterior na forma P ( X 1, 96σ X < µ < 1, 96σ X) = 0, 95 e, essa equação nos fornece os limites de 95% de confiança de µ, a saber, X ± 1, 96σ X Notação: IC(µ, 0.95) : X ± 1, 96σ X com σ X = σ n. 53

54 Interpretação do intervalo: a figura a seguir é útil na interpretação. Resumindo: Se pudéssemos construir uma quantidade grande de intervalos da forma X±1, 96σ X, todos baseados em amostras aleatórias de tamanho n da população, 95% deles conteriam o parâmetro µ. 54

55 No exemplo que acabamos de apresentar, 95% é dito ser o nível ou coeficiente de confiança do intervalo. É claro que podemos usar um nível de confiança qualquer e que, em geral fará sentido, níveis de confiança altos, próximos de 1. 1,96 é o quantil da distribuição normal padrão tal que P ( 1, 96 < Z < 1, 96) = 0, 95. Vamos adotar a seguinte notação seja z (γ) tal que 0 < γ < 1. P ( z (γ) < Z < z (γ) ) = γ, 55

56 Observe que com essa notação z (0.95) = 1, 96. E também que um intervalo de nível de confiança γ para µ é dado por X ± z (γ) σ X. 56

57 Intervalos de Confiança com nível de confiança γ para a média populacional 1. Amostras da distribuição normal ou amostras suficientemente grandes n 30 IC(µ, γ) : X }{{} média amostral ±z (γ) σ n }{{} erro padrão Observação: se o valor de σ não for conhecido substitua-o na expressão acima por uma estimativa. 2. Amostras da distribuição normal, σ desconhecido, n < 30 IC(µ, γ) : X }{{} média amostral ±t (γ,n 1) s n }{{} erro padrão de X 57

58 Em (2) na tela anterior a notação t (γ,n 1) é similar à notação usada na distribuição normal, conforme a figura a seguir. A diferença é que agora usamos uma distribuição t com n 1 graus de liberdade. 58

59 Intervalos de Confiança para a proporção populacional No caso de intervalos para a proporção, se fossemos usar a expressão dada em (1) teríamos IC(p, γ) : }{{} ˆp ±z (γ) proporção amostral p(1 p) n }{{} erro padrão de ˆp No entanto o valor de p não é conhecido e aparece na expressão do erro padrão. Nesse contexto costuma-se adotar duas estratégias. A primeira, conservadora, trabalha com o pior cenário possível e substitui p na fórmula do erro padrão por 1/2, que produz o intervalo mais largo possível. A segunda, que pode ser usada para tamanhos amostrais suficientemente grandes, substitui p por ˆp. 59

60 Assim temos, Alternativa conservadora: IC(p, γ) : ˆp ± z (γ) 1 4n Outra alternativa: IC(p, γ) : ˆp ± z (γ) ˆp(1 ˆp) n 60

61 Exemplo 1: (Pinheiro e outros - Estatística Básica: a arte de trabalhar com dados - Cap. 7- ex. 7.6) Levando em conta simultaneamente as respostas dadas por 200 clientes de uma empresa a todos os itens de um questionário, foi calculado um índice de satisfação global correspondente a cada respondente. Este índice varia de 0 (totalmente insatisfeito) a 100 (totalmente satisfeito). Com respeito a esse índice de satisfação foi construído um intervalo de 95% de confiança para o nível médio de satisfação da população de clientes dessa empresa e que resultou nos seguintes limites IC(µ, 95%) : (43, 5 ; 63, 9). Quais das afirmações a seguir estão corretas e quais não estão? Justifique cada uma de suas respostas. 61

62 (a) A probabilidade de que µ esteja entre 43,5 e 63,9 é 95%. (b) Se fosse extraída uma outra amostra, também com 200 clientes, a probabilidade de a média amostral dos índices de satisfação observados cairem entre 43,5 e 63,9 é 95%. (c) Se fossem extraídas 100 amostras de tamanho 200 e se usasse o mesmo procedimento que deu origem ao intervalo apresentado no enunciado para cada amostra, cerca de 95% dos intervalos obtidos conteriam o valor de µ. (d) O desvio padrão populacional do índice de satisfação é aproximadamente igual a 5,1. (e) Todos os entrevistados apresentaram índices de satisfação entre 43,5 e 63,9. 62

63 Exemplo 2: (Dancey e Reidy - Estatística sem Matemática para Psicologia. Capítulo 4. Exercício 2) O Dr. Doolittle finalmente desistiu da ideia de conversar com animais e decidiu tornar-se um psicólogo experimental de animais. Ele está particularmente interessado em descobrir se os gatos são ou não mais inteligentes que os cachorros. Para isso ele desenvolveu um teste de inteligência específico para esse estudo e testa amostras de gatos e cachorros. Ele foi cuidadoso para não introduzir qualquer tipo de vício no teste e acredita que criou um teste que não está associado às espécies, ou seja, pode ser u- sado em qualquer espécie. Dr, Dotlittle espera que exista uma diferença entre os escores de gatos e cachorros. No experimento ele trabalhou com duas amostras aleatórias de 10 gatos e 10 cachorros e, os resultados obtidos, estão na tabela a seguir. 63

64 gatos cachorros Construa intervalos de confiança de 95% de confiança para os escores médios de gatos e de cachorros. 2. Que suposições você usou para construir os intervalos do item anterior? 3. Você diria que o Dr. Doolittle está correto? Por que? 64

65 Exemplo 3: (Levine e outros - Estatística: Teoria e Aplicações - Cap. 6 - exercício 6.56) O diretor de pessoal de uma grande corporação deseja estudar o absenteísmo dos trabalhadores administrativos do escritório central da corporação durante o ano. Uma amostra aleatória de 25 empregados administrativos revelou o seguinte: x = 9, 7 dias, s = 4 dias 12 trabalhadores administrativos estiveram ausentes mais de 10 dias. (a) Construa um intervalo de 99% de confiança, para o número médio de ausências de trabalhadores administrativos no ano pasado. (b) Construa um intervalo de 95% de confiança para a proporção de trabalhadores administrativos que estiveram ausentes por mais de 10 dias durante o ano passado. 65

66 Referências bibliográficas: (1) Busssab e Morettin - Estatística Básica. Editora Saraiva (2) Pinheiro e outros - Estatística Básica - a arte de trabalhar com dados - Elsevier (3) Thurman - Estatística - Saraiva (4) Dancey e Reidy - Estatística sem Matemática para Psicologia - Penso (5) Levine e outros. Estatística: Teoria e Aplicações. 66