Aula 5. Teste de Hipóteses II. Capítulo 12, Bussab&Morettin Estatística Básica 7ª Edição

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1 Aula 5. Teste de Hipóteses II. Capítulo 12, Bussab&Morettin Estatística Básica 7ª Edição

2 Procedimento teste de hipótese para proporção. Resumo. (1) Estabelecer as hipóteses: H: p = p 0 contra uma das alternativas A: p p 0, A: p p 0 ou A: p p 0. (2) Escolher um nível de significância α. (3) Determinar a região crítica RC da forma { X k 1 } { X k 2 }, { X k } ou { X k }, respectivamente às hipóteses alternativas, onde X é número de elementos na amostra com o atributo desejado, X~B(n, p 0 ).

3 Procedimento teste de hipótese para proporção. Resumo. (4) Selecionar uma amostra aleatória e determinar o número x de elementos na amostra com o atributo desejado. (5) Decidir, usando a evidência x, ao nível de significância α, e concluir. x RC rejeitamos H. x RC não rejeitamos H.

4 Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Estatística do teste é X que é número de elementos na amostra com o atributo desejado, a distribuição de X é a distribuição binomial B(n, p 0 ). A região crítica é determinada em forma { X k 1 } { X k 2 }, { X k } ou { X k }, respectivamente às hipóteses alternativas, que depende de nível de significância do teste α e da estatística do teste

5 Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Estatística do teste pode ser também a proporção p = X = X n em que X, como antes, é número de elementos na amostra com o atributo desejado. Neste caso a região crítica é determinada em forma p k 1 n p k 2 n, p k n, p k n respectivamente às hipóteses alternativas

6 Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal. Estatística do teste pode ser também z-estatística X np 0 Z = np 0 (1 p 0 ) em que X, como antes, é número de elementos na amostra com o atributo desejado. Neste caso a região crítica é determinada em forma Z k 1 np 0 np 0 (1 p 0 ) Z k 2 np 0 np 0 1 p 0, Z k np 0 np 0 (1 p 0 ), Z k np 0 np 0 (1 p 0 )

7 Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal. (1) H: p = p 0 A: p p 0 (2) Escolher um nível de significância α. α = 0.05 (3) Determinar a região crítica RC da forma X k ou Z = X np 0 np 0 (1 p 0 ) k np 0 np 0 1 p 0 = z c onde estatística do teste Z = X np 0 np 0 (1 p 0 ) N(0,1)

8 Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal. (3) Determinar a região crítica RC da forma Z z c onde estatística do teste Z~N(0,1) Achamos z c pela tabela da distribuição normal P Z z c = α (4) Selecionar uma amostra aleatória e determinar o número x de elementos na amostra com o atributo desejado.

9 Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal. (4) Calcular o valor observado da estatística do teste x np 0 z obs = np 0 (1 p 0 ) (5) Decidir, usando a evidência z obs : z obs > z c rejeitamos H. z obs < z c não rejeitamos H.

10 Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal. Exemplo: A proporção de analfabetos em um município era de 15% na gestão anterior. No início da sua gestão, o prefeito atual implantou um programa de alfabetização e após 2 anos afirma que reduziu a proporção de analfabetos. Para verificar a afirmação do prefeito, n = 200 cidadãos foram entrevistados.

11 Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal. Seja X o número de analfabetos entre os 200 cidadãos entrevistados e X~B 200; p, sendo p a proporção atual de analfabetos no município (após o programa de alfabetização). (1) Estabelecer as hipóteses: H: p = 0.15 contra alternativa A: p H: A proporção de analfabetos no município não se alterou (a afirmação do prefeito está incorreta). A: A proporção de analfabetos no município diminuiu (a afirmação do prefeito está correta).

12 Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal. (2) Escolher um nível de significância α. α = 0.05 (3) Determinar a região crítica RC da forma Z < z c onde achamos z c pela tabela da distribuição normal P Z < z c = α 1 A z c = α A z c = 1 α = 0.95 z c = 1.64 Então, a região crítica RC é Z < 1.64

13 Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal. (4) Buscar a evidência na amostra para concluir. Se observamos 20 analfabetos entre os 200 entrevistados, qual a conclusão? Calculemos a estatística do teste z obs =

14 Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal. (5) Decisão e conclusão: z obs = 1.98 < 1.64 = z c z obs RC decidimos por rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 5%. Concluímos que temos evidência suficiente para afirmar que a proporção de analfabetos (após o programa de alfabetização) é inferior a 15%, isto é, há evidência suficiente de que a afirmação do prefeito seja correta.

15 Procedimento teste de hipótese para média populacional. população normal X i ~N(μ, σ 2 ) amostra X 1, X 2,, X n X 1, X 2,, X n : são independentes e X i ~N(μ, σ 2 ) f ( x) e ( x )

16 Procedimento teste de hipótese para média populacional. Nosso objetivo agora é apresentar procedimentos estatísticos simples para verificar se um conjunto de dados amostrais dá ou não suporte à uma conjectura sobre o valor médio μ (desconhecido) de uma característica de interesse, observável em indivíduos de uma população (normal). Mais precisamente, procedimentos para testar hipóteses sobre μ, tomando como base o valor médio X dessa característica, observado em uma amostra casual simples de tamanho n desses indivíduos.

17 Procedimento teste de hipótese para média populacional. Exemplo: Em períodos de pico, os clientes de um banco são obrigados a enfrentar longas filas para sacar dinheiro nos caixas eletrônicos. Dados históricos de vários anos de operação indicam que o tempo de transação nesses caixas tem distribuição normal com média igual a 270 segundos. Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das transações realizadas nesses caixas.

18 Procedimento teste de hipótese para média populacional. As etapas a serem cumpridas para este teste de hipóteses são as mesmas que vimos anteriormente. (1) Formular as hipóteses nula H e a alternativa A Hipótese Nula : afirmação ou conjectura sobre μ contra a qual estaremos buscando evidência nos dados amostrais. Hipótese Alternativa : afirmação ou conjectura sobre μ que suspeitamos (ou esperamos) ser verdadeira. H: μ = μ 0 contra uma das alternativas A: μ μ 0, A: μ < μ 0 ou A: μ > μ 0 H: μ = 270 seg. A: μ < 270 seg.

19 Procedimento teste de hipótese para média populacional. (2) Fixar o nível de significância α do teste. Seja α = 5%. (3) Determinar a região crítica RC da forma Z < z c Z > z c, Z > z c ou Z < z c ou T < t c T > t c, T > t c ou T < t c respectivamente às hipóteses alternativas

20 Procedimento teste de hipótese para média populacional. A estatística do teste Z ou T vai ser definida dependendo do conhecimento de variância populacional σ 2 como Z = X μ 0 σ n ~ N 0,1 caso σ 2 é conhecida, e T = X μ 0 s n ~ t n 1 caso σ 2 é desconhecida Valores z c e t c são definidos pelas hipóteses e α: P Z < z c Z > z c = P Z > z c = α, P Z > z c = α ou P Z < z c = α usando tabela normal ou P T < t c T > t c = P T > t c = α, P T > t c = α ou P T < t c = α usando tabela T-Student

21 Procedimento teste de hipótese para média populacional. No exemplo supomos não que sabemos variância populacional σ 2 então usaremos a estatística do teste T = X μ 0 S n ~ t n 1 Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das 24 transações realizadas nesses caixas. Achamos t c de condição P T < t c = 0.05

22 P T < = 0.05 RC= T < 1.714

23 Procedimento teste de hipótese para média populacional. (4) Buscar a evidência na amostra para concluir: Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das 24 transações realizadas nesses caixas. Amostra de 24 trasações oferece seguintes dados: x = 262.3, s = 21.4 Valor observado da estatística do teste é t obs = x μ n = s

24 Procedimento teste de hipótese para média populacional. (5) Decisão e conclusão: t obs = 1.76 < 1.71 = t c z obs RC decidimos por rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 5%. Concluímos que temos evidência suficiente para afirmar que a média de transição diminuiu nas novos caixas eletrônicos

25 Exemplo: Um industrial afirma que seu processo de fabricação produz 90% de peças dentro das especificações. O IPEM deseja investigar se esse processo de fabricação está sob controle. Seja p a proporção de peças produzidas dentro das especificações. As hipóteses de interesse são: H: p = 0.9 A: p < 0.9 Ou seja, queremos testar H: O processo está sob controle. A: O processo não está sob controle.

26 Nível descritivo. Introdução. Selecionamos uma amostra aleatória de 15 itens e observamos o número X de itens satisfatórios. Então: X~B(15, p) Região crítica: RC= { X k } Para α = 6% temos k = 11 e RC= X 11 Para α = 1% temos k = 9 e RC= X 9

27 Nível descritivo. Introdução. Se observamos x = 10 peças satisfatórias, então: a) α = 6% 10 RC Rejeitamos H ao nível de significância de 6%. b) α = 1% 10 RC Não rejeitamos H ao nível de significância de 1%. Crítica: Arbitrariedade na escolha da região crítica (ou do nível de significância). Sugestão: Determinar o nível de significância associado à evidência experimental, que é denominado nível descritivo ou p-valor.

28 Nível descritivo. P-valor. No exemplo, a região crítica é da forma RC = X k. Para x obs = 10,o nível descritivo ou valor P é calculado por: p = P X 10 p = 0.9 = O valor P é igual à probabilidade de ocorrerem valores de X tão ou mais desfavoráveis para a hipótese nula H do que o valor observado x obs = 10. Assim, se o processo estivesse sob controle, a probabilidade de encontrarmos uma amostra de 15 peças com 10 ou menos peças satisfatórias é de apenas 1%. Isso sugere que a hipótese nula H deve ser rejeitada.

29 Nível descritivo. P-valor. Se o valor P é pequeno, então é pouco provável observarmos valores iguais ou mais extremos que o da amostra, supondo a hipótese nula H verdadeira. Assim, há indícios de que a hipótese nula não seja verdadeira e tendemos a rejeitá-la. Por outro lado, para valores não tão pequenos de P, não fica evidente que a hipótese nula H seja falsa, portanto tendemos a não rejeitá-la. Assim, P pequeno rejeitamos H P não pequeno não rejeitamos H Quão pequeno deve ser o valor de P para rejeitarmos H?

30 Nível descritivo. P-valor. Lembrando que a ideia inicial de P era considerar um nível de significância associado à evidência amostral, podemos compará-lo a um nível de significância α fixado, de modo que: P α rejeitamos H P > α não rejeitamos H P P rejeitamos H não rejeitamos H Se P α, dizemos que a amostra forneceu evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula H.

31 Nível descritivo. P-valor. No exemplo: P-valor = 0,0127. Adotando = 0,05, temos que P <, portanto rejeitamos H ao nível de significância 5%. Assim, o processo não está sob controle. Observações: Quanto menor o valor P, maior é a evidência contra a hipótese nula H contida nos dados. Quando a hipótese nula é rejeitada para um nível de significância α fixado, dizemos também que a amostra é significante ao nível de significância 31.

32 Procedimento teste de hipótese para média populacional usando p-valor (1) Formular as hipóteses nula H e a alternativa A (2) Fixar o nível de significância α do teste. (3) Coletar os dados e calcular as medidas necessárias. A média amostral x obs, e se necessário, o desvio padrão amostral s. (4) Determinar o nível descritivo P. (5) Tomar a decisão e concluir. Comparar o p-valor com o nível de significância α adotado: se p-valor < α, então reconhecemos na amostra evidência suficiente para rejeitar H, isto é, consideramos a amostra significante ao nível α. Caso contrário, não rejeitamos H.

33 Procedimento teste de hipótese para média populacional usando p-valor No caso do exemplo anterior com novos caixas eletrónicos, temos (4) Cálculo do nível descritivo P. Como visto anteriormente o nível descritivo mede a probabilidade de se observar valores mais extremos do que o encontrado na amostra, supondo que a hipótese nula seja verdadeira, isto é, P = P X x obs μ = 270

34 Exemplo: Um fabricante de cigarros afirma que seus cigarros contêm não mais que 30 mg de nicotina. Uma ONG anti-tabagismo não concorda com essa afirmação, e colhe uma amostra aleatória de 52 cigarros dessa marca para contestar a afirmação. Na amostra coletada, o conteúdo médio de nicotina foi 31,1 mg e desvio padrão de 3,4 mg. Esses resultados são suficientes para contestar a afirmação do fabricante?

35 (1) As hipóteses nula e alternativa são H: 30 mg A: 30 mg (2) Nível de significância, por exemplo, 5%. (3) Evidência amostral Tamanho da amostra n = 52 Média amostral x obs = 31,1 mg Desvio padrão amostral s = 3,4 mg

36 (4) Cálculo do nível descritivo P X P = P( 31,1 = 30 ) = P T 52 31,1 30 3, ,1 30 P Z 3,4 = P Z 2,33 = 0,01 (5) Decisão e conclusão Como P, decidimos por rejeitar H. Logo, ao nível de 5%, há evidências suficiente para concluir que a afirmação do fabricante está incorreta. A contestação da ONG procede.

37 Hipóteses Alternativas Unilaterais e Bilaterais Quando a hipótese alternativa é A: 0 (como no Exemplo 1), no cálculo de P, valores iguais ou mais extremos do que x obs representam os valores menores ou iguais a. x obs Quando a hipótese alternativa é A: 0, consideramos, no cálculo de P, os valores maiores ou iguais a x obs. Quando a hipótese alternativa é bilateral (A: 0 ), o nível descritivo mede o quanto o valor amostral pode se distanciar do valor esperado, sob a hipótese nula H, em ambas as direções.

38 Exemplo 3: Uma empresa vende uma mistura de castanhas, em latinha, cuja embalagem afirma que, em média, 25 g do conteúdo total (em g) é de castanha de caju. Sabe-se que o conteúdo de castanha de caju tem distribuição normal com desvio padrão igual a 3,1 g. Desconfiado de que o conteúdo médio esteja incorreto, o departamento de Garantia da Qualidade (GQ) resolve examinar o conteúdo de 12 latas, e medir a quantidade (em g) de castanha de caju em cada lata. A média amostral resultou em 26,3 g. Este resultado constitui uma forte evidência em favor do GQ, ao nível de 5%?

39 Não interessa à empresa que se tenha menos castanha de caju do que o especificado na embalagem, por uma questão de qualidade. Por outro lado, não se pode ter muito mais, por uma questão de custo. (1) As hipóteses nula e alternativa são H: 25 e A: 25 (2) Nível de significância Pelo texto, 5%. (3) Evidência amostral Tamanho da amostra n = 12 Média amostral x obs = 26,3 g Desvio padrão (populacional) = 3,1 g

40 (4) Determinar o nível descritivo Se a mistura está dentro dos padrões, o conteúdo médio de castanhas de caju seria 25 g. Observamos um desvio de 26,3 25 = 1,3 g. Logo, P = P( 25 1,3) X = P( X 26,3 ou X 23,7 = 25) ( 25 = (por simetria) = 2 P( X 26,3

41 Assim, P = 2 P Z = 2 P( Z 1,45) = 2 (0,0735) = 0,1471 (5) Decisão e conclusão Como P >, decidimos por não rejeitar H. Concluímos, ao nível de significância de 5%, que não há evidências suficiente em favor do GQ.

42 RESUMO Teste de hipóteses para a média populacional (0) Descrever o parâmetro de interesse. (1) Estabelecer as hipóteses: H: = 0 contra uma das alternativas A: 0, A: 0 ou A: 0. (2) Escolher um nível de significância (3) Selecionar uma amostra casual simples de tamanho n determinar a média amostral x e o desvio padrão (populacional ou amostral s). obs

43 (4) Determinar o nível descritivo P Se A: 0, P = P X x obs μ = μ 0 Se A: 0, P = P X x obs μ = μ 0 Se A: 0, P = 2P X x obs μ = μ 0 se x obs > μ 0 ou P = 2P X x obs μ = μ 0 se x obs < μ 0 Usando no cálculo uma das variáveis padronizadas Z = n X μ σ ou T = n X μ s

44 e lembrando que, Z N(0,1) e T t de Student com n-1 graus de liberdade. (. normal (Se n é grande, use a aproximação (5) Decidir, comparando P com o nível de significância, e concluir. Se P rejeitamos H Se P > não rejeitamos H