Exemplo 7.0 Numa linha de produção, os pesos de pacotes de pó de café embalados por uma máquina têm distribuição Normal, com média

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1 Exemplo 7.0 Numa linha de produção, os pesos de pacotes de pó de café embalados por uma máquina têm distribuição Normal, com média µ = 505g e desvio padrão σ = 9g. a) Selecionado ao acaso um pacote embalado pela máquina, qual a probabilidade dele pesar menos de 500g? b) Selecionados ao acaso 9 pacotes de pó de café, qual a probabilidade do peso médio desses pacotes ser inferior a 500g? c) Selecionados ao acaso 9 pacotes de pó de café, qual a probabilidade de no máximo dois pacotes pesarem menos de 500g?

2 Parte 7 Estimação 2

3 Um dos pontos principais da inferência estatística é a estimação, que consiste em utilizar dados amostrais para estimar parâmetros populacionais. Como exemplos de parâmetros a serem estimados, podemos mencionar o escore médio de uma população em um específico teste, a variância de repetidas medições de uma mesma grandeza, a proporção de habitantes favoráveis a um projeto de lei, o tempo mediano de vida de portadores de um problema congênito... 3

4 Há duas formas de estimar parâmetros: o Estimação pontual Consiste no uso de um único número (estimativa pontual), produzido por uma amostra, como sendo o valor mais razoável para o parâmetro desconhecido; Exemplo 7.1 Em um levantamento amostral realizado numa região, de pessoas entrevistadas, 750 afirmaram separar o lixo para reciclagem. Assim, uma estimativa pontual da proporção de todos os habitantes daquela região que separam o lixo para reciclagem é igual a 0,75. 4

5 o Estimação intervalar Consiste no uso de um intervalo de valores (estimativa intervalar), obtido com base em uma amostra, que se acredita que contenha o parâmetro desconhecido. Exemplo 7.1 (revisitado) Uma estimativa intervalar para a proporção de todos os habitantes daquela região que separam o lixo tem limites 0,71 e 0,75 (0,71;0,75). De forma alternativa, pode-se dizer que estima-se que a proporção populacional seja 0,73 com uma margem de erro de 0,02 (0,73±0,02). 5

6 Para um único parâmetro pode-se ter diferentes estimadores pontuais disponíveis; A princípio, qualquer estatística calculada numa amostra pode ser usada para estimar um parâmetro. No entanto, alguns estimadores são melhores do que outros, com base em critérios como: o Ausência de viés- Dizemos que um estimador é não viciado se a sua distribuição amostral está centrada no parâmetro que desejamos estimar. 6

7 Nota A média amostral, x, é um estimador não viciado da média populacional. o Eficiência- Dizemos que um estimador é eficiente se ele apresenta menor erro padrão do que os demais estimadores do parâmetro que desejamos estimar. A Figura 7.1 ilustra as distribuições amostrais de quatro estimadores de um parâmetro θ. Cada uma das curvas representa a distribuição amostral de um dos estimadores. 7

8 Estimador 1 Estimador 2 Estimador 3 Estimador 4 θ Figura 7.1 Ilustração das distribuições amostrais de quatro estimadores de θ. 8

9 Os estimadores 1, 2 e 3 são não viciados para θ ; o estimador 4 é viciado. O estimador 1 é mais preciso (tem menor erro padrão) que o estimador 2; o estimador 2 é mais preciso que o estimador 3. Dentre os estimadores não viciados, o estimador 1 é eficiente (tem menor erro padrão). Isso poderia motivar sua escolha, em relação aos demais. 9

10 Um bom estimador conjuga ausência (ou baixo) viés e eficiência, ou seja, produz estimativas centradas e próximas ao parâmetro que desejamos estimar. Os estimadores que usaremos daqui em diante satisfazem a tais propriedades. Em geral, usamos estatísticas amostrais análogas aos parâmetros que desejamos estimar. É usual (mas não obrigatório): o Usar a média amostral para estimar a média populacional; o Usar a variância amostral para estimar a variância populacional; o Usar a proporção amostral para estimar a proporção populacional... 10

11 Notação É comum usar o símbolo ^ sobre o parâmetro para denotar uma estimativa. Como exemplo, se denotarmos por p a proporção populacional, é comum denotar por pˆ uma proporção amostral. 11

12 Intervalos de confiança Um intervalo de confiança é um intervalo de valores que, com certo nível de confiança, contém o valor do parâmetro que estamos estudando. O nível de confiança está associado à probabilidade de selecionarmos uma amostra que produza um intervalo de confiança que de fato contenha o valor do parâmetro. É comum fixar o nível de confiança em valores como 90, 95 ou 99%. 12

13 A base para a construção de intervalos de confiança é a distribuição amostral de algum estimador pontual. Uma forma possível de apresentar intervalos de confiança, em boa parte dos problemas que vamos estudar, é a seguinte: Estimativa pontual ± margem de erro. 13

14 Intervalo de confiança para a média de uma população Caso 1 A Variância da população é conhecida Um intervalo de confiança para a média de uma população, baseado na média de uma amostra, pode ser obtido com base na distribuição das médias amostrais. 14

15 Como estudado anteriormente, se x,..., 1, x2 xn é uma amostra aleatória de uma população com distribuição Normal, de média µ e desvio padrão σ, então a distribuição das médias amostrais fica dada por: x ( µ = µ, σ = σ n) ~ Normal. x x Com base na distribuição amostral de x e usando a tabela da distribuição normal, é possível verificar que há uma probabilidade 0,95 de se ter uma média amostral num intervalo de 1,96σ x a partir de µ. P ( µ 1,96σ < X < µ + 1,96σ ) = 0, 95 x x 15

16 Uma vez selecionada a amostra, se x cair dentro da faixa de partir de µ, então o intervalo com limites conter µ. x σ 1,96σ x a + σ irá 1,96 x e x 1,96 x Em outras palavras, há uma probabilidade 0,95 de se obter uma média amostral tal que o intervalo x ± 1,96σ contenha o valor de µ. x Indo um pouco além: para 95% das amostras de tamanho n que podemos selecionar da população sob estudo, o intervalo calculado da forma x populacional. ± 1,96σ irá conter µ, o valor desconhecido da média x 16

17 Amostra Figura 7.2 Ilustração de 100 intervalos de confiança 95% para a média (em vermelho, os intervalos que não contém a média populacional). µ 17

18 Dizemos que o intervalo x ± 1,96σ estima µ com nível de confiança x de 95%. Usando os quantis apropriados da distribuição normal padrão, temos, de forma semelhante: o O intervalo x ± 1,64σ estima µ com nível de confiança de 90%; x o O intervalo x ± 2,57σ estima µ com nível de confiança de 99%. x De forma geral, para obter um intervalo com confiança 100( 1 α )% ( 0 < α < 1), o intervalo fica da forma x ± z / σ x, sendo z 2 o quantil α / 2 da distribuição Normal padrão. α 2 α / 18

19 Figura 7.3 Distribuição Normal padrão. 19

20 Enfatizando que confiança (95%) fica dado por σ x representa o erro padrão de x, um intervalo de x ± 1,96 σ n. Uma forma convencional de se apresentar um intervalo com 95% de confiança para µ, a média populacional, é: IC ( µ ; 95% ) x ± 1, 96σ n =, ou ainda: IC ( µ ; 95% ) ( x 1,96 σ n; x + 1, 96σ n) =. 20

21 Exemplo 7.2 Deseja-se estimar o QI (Quociente de Inteligência) médio de uma específica população. Suponha que a distribuição dos QI s na população seja normal, com variância conhecida σ 2 = 36. Dez indivíduos dessa população foram selecionados aleatoriamente, sendo observados os seguintes QI s para essa amostra: Usando os valores da amostra, obtém-se x = 116. Apresente intervalos com 90, 95 e 99% de confiança para µ, o QI médio de toda a população de indivíduos. 21

22 Embora tenhamos assumido, para a construção de intervalos de confiança para a média, que a população sob estudo tem distribuição Normal, o Teorema Central do Limite garante que a distribuição das médias amostrais é (aproximadamente) normal, desde que o tamanho amostral seja grande (regra geral: n>30); Assim, o intervalo de confiança apresentado pode ser aplicado para amostras aleatórias de populações com qualquer distribuição (inclusive discretas), desde que o tamanho da amostra seja grande. 22

23 Exemplo 7.3 Deseja-se estimar o número médio de tentativas mal sucedidas até que uma criança consiga executar certa tarefa. Para isso foram selecionadas 50 crianças. Os números de tentativas mal sucedidas para cada uma delas são apresentados abaixo: Suponha que se conheça o desvio padrão da população ( σ =1, 5). A média, calculada com base na amostra, é x = 2, 05. Apresente um intervalo com 95% de confiança para µ, o número médio necessário de tentativas mal sucedidas. 23

24 Intervalo de confiança para a média de uma população Caso 2 A Variância da população é desconhecida Caso também a variância da população seja desconhecida (situação mais comum), ela precisa ser estimada com base nos dados amostrais. O cálculo da variância amostral é feito como vimos anteriormente: s 2 = 1 n 1 n ( x i x) i=

25 No entanto, ao trocar σ n por s n no cálculo de intervalos de confiança, estamos substituindo um parâmetro por sua estimativa, o que introduz ao intervalo um erro extra. Como resultado, os intervalos obtidos terão menor nível de confiança do que o especificado. Uma forma de contornar isso é substituir o escore z, extraído da distribuição normal padrão, por um escore t, extraído de uma distribuição chamada t Student. 25

26 A distribuição t Student, assim como a distribuição Normal, é simétrica, centrada em zero e sua dispersão dependerá de um único parâmetro, chamado número de graus de liberdade (gl). Para o cálculo de intervalos de confiança para a média, usaremos gl = n 1 (ou seja, o número de graus de liberdade será o tamanho da amostra menos 1). Observe, pela Figura 7.4, que à medida que gl aumenta, a distribuição t Student se aproxima cada vez mais da distribuição normal padrão. 26

27 Normal (0,1) t-student (gl=2) t-student (gl=6) Figura 7.4 Distribuição t-student em relação à distribuição Normal padrão. 27

28 Sejam x e s a média e o desvio padrão de uma amostra aleatória de n indivíduos de uma população com distribuição Normal. Um intervalo de confiança 100( 1 α )% para a média da população fica dado por: s ± t 1; α /, n x n 2 em que t ; / 2 é o quantil α / 2 da distribuição t Student com n 1 n 1 α graus de liberdade (gl, ou df, de degrees of freedom). 28

29 Na sequência é apresentado um extrato de uma tabela da distribuição t Student. Observe que na tabela df está denotado por ν. Assim como alertado para a distribuição Normal, é importante ressaltar que a área sob a curva (probabilidade) fornecida em tabelas encontradas em diferentes fontes pode variar. Fique atento à informação que a tabela que você tem em mãos fornece. 29

30 Figura 7.5 Extrato de uma tabela da distribuição t Student. 30

31 Exemplo 7.4 Deseja-se estimar a frequência cardíaca média de atletas de certa modalidade após os jogos. Para isso, dispõem-se dos valores das frequências cardíacas (em batimentos por minuto bpm) registradas em 16 atletas, depois de encerradas as respectivas partidas: Com base nestes dados, foram calculados a média e o desvio padrão, obtendo-se x =109, 6 e s = 14, aproximadamente. 31

32 a) Apresente um intervalo de 95% de confiança para µ, a frequência cardíaca média pós-jogo para a população de atletas; b) Um pesquisador afirma que a frequência cardíaca média pós-jogo, para a população de atletas, seja de 100bpm. Baseado no intervalo de confiança que você obteve, avalie a afirmação do pesquisador. 32

33 Exemplo 7.5 Está sendo estudado o tempo de reação de um novo medicamento. Por analogia aos resultados de medicamentos similares, assume-se que o tempo de reação tenha distribuição normal, mas a média e a variância são desconhecidos. Nove pacientes foram sorteados e tiveram seus tempos de reação (em minutos) anotados. Com base nos resultados da amostra, obteve-se x = 3min e s =1min. Apresente intervalos de 90 e 99% de confiança para µ, o tempo médio de reação para a população de pacientes. Compare os intervalos obtidos. 33

34 Estimação de uma proporção populacional Suponha agora que a variável de interesse seja do tipo qualitativa, apresentando duas ou mais categorias de resposta, resultando na classificação de cada indivíduo da população em uma dessas categorias; Neste caso, uma forma usual de descrever os resultados de uma amostra é por meio das frequências (proporções) de observações em cada categoria; 34

35 Com base em proporções calculadas em amostras podemos estimar as correspondentes proporções nas populações sob estudo (a proporção amostral é uma estimativa pontual da proporção na população). Alguns exemplos de situações em que a estimação da proporção populacional é pertinente: o Proporção de eleitores de um município que aprovam a administração do prefeito; 35

36 o Proporção de pacientes que apresentam reação alérgica a uma medicação; o Proporção de idosos com depressão que respondem positivamente a uma terapia cognitiva; o Proporção de crianças com uma particular limitação intelectual capazes de assimilar conceitos básicos de Matemática... 36

37 Intervalo de confiança para a proporção populacional Seja p a proporção de indivíduos numa população que apresentam uma característica de interesse; Seja x o número de indivíduos apresentando a característica de interesse em uma amostra aleatória de n indivíduos, selecionada da população sob estudo; 37

38 Definimos a proporção amostral, denotada por pˆ, como sendo a razão do número de indivíduos na amostra que apresentam a característica de x interesse em relação ao número total de indivíduos na amostra: p ˆ =. n Para n suficientemente grande, a distribuição por amostragem de pˆ se aproxima da distribuição normal, centrada em p (é um estimador não viciado) e com erro padrão dado por: ( 1 p) p σ pˆ =. n 38

39 Podemos estimar o erro padrão de pˆ substituindo p por pˆ na expressão de σ pˆ. Usando o mesmo método aplicado a construção de intervalos de confiança para a média, obtemos o seguinte intervalo de 95% de confiança para p: IC ( p;95% ) ( 1 pˆ ) pˆ = pˆ ± 1,96. n 39

40 Para níveis de confiança de 90 e 99%, devemos utilizar os correspondentes escores z, substituindo 1,96 por 1,64 no primeiro caso e por 2,57 no segundo. De forma geral, denotando a confiança de um intervalo por 1 α (e a probabilidade de erro, consequentemente, por α ), o escore z a ser usado é denotado por z α / 2, que delimita, na cauda da direita da distribuição Normal padrão, uma probabilidade α / 2 (ver Figura 7.5). 40

41 Densidade 1 α 2 α 2 α 2 z α 2 0 z α 2 z Figura 7.5 Ilustração da distribuição normal padrão. 41

42 Nota Falamos na validade dos intervalos de confiança para a proporção caso a amostra seja suficientemente grande. Uma regra frequentemente usada para verificar se a amostra é suficientemente grande para a construção de um intervalo de confiança é aplicá-la quando tanto o número de indivíduos com a característica de interesse na amostra, quanto o número de indivíduos da amostra que não apresentam a característica, forem maiores (ou iguais) a 5. 42

43 Exemplo 7.6 Deseja-se estimar a proporção de indivíduos de uma população que crêem em vida após a morte. Para isso, foi selecionada aleatoriamente uma amostra de 900 indivíduos dessa população, sendo que 600 deles afirmaram acreditar em vida após a morte. Com base nos resultados da amostra: 43

44 a) Apresente uma estimativa pontual para a proporção de indivíduos que crêem em vida após a morte nessa população; b) Calcule uma estimativa do erro padrão da proporção calculada no item anterior; c) Apresente um intervalo de 95% de confiança para a proporção de indivíduos que crêem em vida após a morte nessa população. d) Como ficaria o intervalo de confiança (95%) para a proporção de indivíduos que não crêem em vida após a morte? 44

45 Exemplo 7.7 Deseja-se estimar a proporção de alunos em uma grande universidade que apresentam sintomas de ansiedade e/ou depressão. Suponha que numa amostra aleatória de 400 alunos, 15% tenham apresentado sintomas de ansiedade e/ou depressão. a) Apresente um intervalo de 95% de confiança para a proporção de alunos da universidade com sintomas de ansiedade e/ou depressão; b) Repita o item a considerando níveis de 90 e 99% de confiança. O que acontece com a precisão do intervalo? 45

46 c) Suponha que a estimativa de 15% tenha sido produzida por uma amostra de 100 alunos. Recalcule o intervalo de 95% de confiança. O que acontece com sua precisão? d) Repita o item c considerando que o resultado tenha sido gerado por uma amostra de 1600 alunos. Recalcule o intervalo de 95% de confiança. Compare a precisão do intervalo obtido às dos intervalos apresentados nos itens a e c. 46

47 Determinação do tamanho da amostra Antes de coletar os dados, é necessário estabelecer qual o tamanho da amostra (número de indivíduos) que será coletada. A determinação do tamanho da amostra é fundamentada em questões financeiras, de acesso, éticas e estatísticas, dentre outras. Vamos nos ater, neste momento, à determinação de tamanhos amostrais suficientes para se estimar a média e a proporção populacional com precisão e confiança desejadas. 47

48 Determinação do tamanho da amostra estimação da proporção Para determinar o tamanho de amostra necessário para a estimação da proporção populacional, vamos partir da expressão da margem de erro: me ( 1 p) p = 1,96. n Nota Observe que o valor 1,96 está associado a um nível de confiança de 95%. Para outros níveis de confiança, substituir pelos escores z apropriados. 48

49 Com algumas manipulações, podemos isolar n na expressão da margem de erro, obtendo: 2 ( 1 p) 1,96 p n =. 2 me Assim, fixado o nível de confiança, a margem de erro desejada e o valor de p, podemos calcular o tamanho amostral (n) correspondente. Problema Embora o nível de confiança e a margem de erro possam ser fixados pelo pesquisador, o valor de p é desconhecido. 49

50 Solução Como soluções possíveis para este problema, podemos citar: Substituir p pela proporção amostral verificada em um estudo piloto; Substituir p pela proporção amostral verificada em algum estudo que tenha características semelhantes ao estudo que está sendo planejado; Na ausência de uma estimativa pertinente para p, devemos empregar p = 0,5, uma vez que este é o valor que irá requerer maior tamanho de amostra (cenário conservador). 50

51 Exemplo 7.8 Deseja-se estimar a proporção de indivíduos adultos de uma população que apresentam sobrepeso (prevalência de sobrepeso). Qual o tamanho de amostra necessário caso seja desejado estimar tal prevalência com uma margem de erro de 0,05 e nível de confiança de 95%: a) Dispondo de resultados de uma população similar em que a prevalência de sobrepeso é de 30%? b) Caso não se disponha de qualquer estimativa para a prevalência, optando-se por usar o cenário conservador? c) Como ficaria o tamanho de amostra calculado no item a caso fosse especificada uma margem de erro de 0,03, ao invés de 0,05? 51

52 Nota Para populações pequenas (com dezenas ou centenas de indivíduos), o cálculo do tamanho de amostra deverá ser ajustado pelo tamanho da população. Maiores detalhes podem ser obtidos em livros específicos sobre amostragem. Exemplo 7.9 Qual o tamanho de amostra necessário para estimar a proporção de vegetarianos numa região com nível de confiança de 95%, margem de erro de 0,04, dispondo-se de uma estimativa para esta prevalência, fornecida por uma amostra piloto, de 10%? 52

53 Determinação do tamanho da amostra estimação da média Para determinar o tamanho de amostra necessário para a estimação da média populacional, também partimos da expressão da margem de erro: me σ = 1,96. n Com algumas manipulações, podemos isolar n na expressão da margem de erro, obtendo: ,96 σ n =. 2 me

54 Assim, fixado o nível de confiança, a margem de erro desejada e o 2 valor de σ, podemos calcular o tamanho amostral (n) correspondente. Problema Embora o nível de confiança e a margem de erro possam ser fixados pelo pesquisador, o valor de σ é desconhecido. Solução Como soluções possíveis para este problema, podemos citar: Substituir σ pelo desvio padrão amostral verificado em um estudo piloto; 54

55 Substituir σ pelo desvio padrão amostral verificado em algum estudo anterior com características semelhantes ao que está sendo planejado; Usar estratégias baseadas em postulação de valores baseados na regra empírica (veremos um exemplo adiante). Nota Ao substituir σ por alguma estimativa, é prudente ser conservador, tomando, dentre os valores razoáveis para σ, o maior possível (que vai demandar maior tamanho de amostra). 55

56 Exemplo 7.10 Deseja-se estimar o QI (Quociente de Inteligência) médio de uma população, com margem de erro de 3 pontos e nível de confiança de 99%. Não se dispõe de um valor razoável para σ, o desvio padrão dos QIs dos indivíduos dessa população. No entanto, um grupo de pesquisadores, em consenso, disseram acreditar que 95% dos indivíduos dessa população têm QI entre 70 e 110. Com base nessas informações, apresente o tamanho de amostra apropriado. 56

57 Exemplo Deseja-se estimar a dosagem média de certa substância no sangue de uma específica população. Em estudos em populações com algum grau de semelhança em relação à população de interesse, foram verificados valores para o desvio padrão entre 10 e 15mg/l. Qual deve ser o tamanho de amostra para a estimação da dosagem média, caso seja desejada uma margem de erro de 2mg/l e 98% de confiança? 57