Aula 9: Introdução à Inferência Estatística

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1 Aula 9: Introdução à Inferência Estatística Professor: José Luiz Padilha da Silva Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná Curitiba, 2018 José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 1 / 27

2 Sumário 1 Distribuição Uniforme Distribuição Bernoulli Distribuição Poisson 2 Intervalo de Conança Intervalo para a Média Intervalo para Proporção José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 2 / 27

3 Distribuição de X e X A seguir são mostrados dados simulados considerando três distribuições de probabilidade para X : Uniforme, Bernoulli e Poisson. Para cada conguração de parâmetros são mostrados dois grupos de grácos: O primeiro representa as simulações de X para os tamanhos amostrais n = 10, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 750 e O segundo mostra os histogramas com curva normal superimposta para m = amostras de X cada uma com n observações (n acima). Os parâmetros de µ e σ 2 foram estimados com base nos m valores de X. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 3 / 27

4 Distribuição Uniforme Distribuição Uniforme Padrão: X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 4 / 27

5 Distribuição Uniforme Distribuição Uniforme Padrão: X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 5 / 27

6 Distribuição Bernoulli Distribuição Bernoulli (p = 0, 10): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 6 / 27

7 Distribuição Bernoulli Distribuição Bernoulli (p = 0, 10): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 7 / 27

8 Distribuição Bernoulli Distribuição Bernoulli (p = 0, 30): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 8 / 27

9 Distribuição Bernoulli Distribuição Bernoulli (p = 0, 30): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 9 / 27

10 Distribuição Bernoulli Distribuição Bernoulli (p = 0, 50): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 10 / 27

11 Distribuição Bernoulli Distribuição Bernoulli (p = 0, 50): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 11 / 27

12 Distribuição Poisson Distribuição Poisson (λ = 3): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 12 / 27

13 Distribuição Poisson Distribuição Poisson (λ = 3): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 13 / 27

14 Distribuição Poisson Distribuição Poisson (λ = 30): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 14 / 27

15 Distribuição Poisson Distribuição Poisson (λ = 30): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 15 / 27

16 Distribuição Poisson Distribuição Poisson (λ = 50): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 16 / 27

17 Distribuição Poisson Distribuição Poisson (λ = 50): X José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 17 / 27

18 Intervalo de Conança Intervalo para a Média Intervalo de conança (IC) para µ Suposições necessárias: Amostra vem de uma distribuição normalmente distribuída ou a amostra é sucientemente grande. Existem dois casos possíveis: Variância populacional σ 2 conhecida ou desconhecida. Nível de conança: é a proporção de vezes que o IC contém o verdadeiro valor do parâmetro supondo que a amostra seja coletada um grande número de vezes em condições semelhantes. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 18 / 27

19 Intervalo de Conança Intervalo para a Média IC para µ quando σ 2 é conhecido O intervalo de (1 α)100% de conança é dado por IC((1 α)100%, µ) = [ x z α 2 σ n, x + z α 2 ] σ, n onde z α 2 é o valor da distribuição N(0, 1) tal que P(Z > z α 2 ) = α 2. Escrevendo de outra forma, IC((1 α)100%, µ) = [ x E, x + E], em que E = z α 2 σ n. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 19 / 27

20 Intervalo de Conança Intervalo para a Média Margem de Erro e Amplitude Margem de erro E : É a diferença máxima provável entre a estimativa pontual x e o valor de real de µ. Amplitude do IC= 2E. Interpretação: Com (1 α)100% de conança, o verdadeiro valor de µ está entre x E e x + E. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 20 / 27

21 Intervalo de Conança Intervalo para a Média Exemplo Em uma amostra de 572 mulheres com menos de 40 anos observou-se nível médio de glicemia em jejum de 85 mg/dl. Sabendo que a variância populacional da glicemia em jejum para as mulheres com menos de 40 anos é 11, 2 mg/dl, calcule o intervalo de 90% de conança para o nível médio de glicemia em jejum para esta população. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 21 / 27

22 Intervalo de Conança Intervalo para a Média IC para µ quando σ 2 é desconhecido Neste caso, só temos o valor de s 2. A margem de erro é s E = t α 2 n onde t α é o valor encontrado na tabela da distribuição 2 t-student com n 1 graus de liberdade que deixa α de área à 2 sua direita. A distribuição t-student (link) É simétrica em torno de zero; Sua forma depende do número de graus de liberdade; Quando o número de graus de liberdade aumenta a distribuição t-student se aproxima da distribuição N(0, 1). José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 22 / 27

23 Intervalo de Conança Intervalo para a Média Exemplo Considere o exemplo anterior da glicemia de jejum. Imagine agora, que ao invés de n = 572 mulheres fossem amostradas n = 40. Calcule o intervalo de 90% de conança para o nível médio de glicemia em jejum para esta população assumindo que não conhecemos a variância populacional, mas obtivemos S 2 = 11, 2 mg/dl na amostra. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 23 / 27

24 Intervalo de Conança Intervalo para Proporção IC para a proporção populacional Suposição necessária: A amostra é sucientemente grande para usar o TCL. A partir ( do TCL, ) obtemos que para amostras grandes ˆp N p, p(1 p) n, e disso segue que o IC é IC((1 α)100%, p) = [ ˆp z α 2 p(1 p) n, ˆp + z α 2 ] p(1 p), n onde z α 2 é o valor da distribuição N(0, 1) tal que P(Z > z α 2 ) = α 2 José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 24 / 27

25 Intervalo de Conança Intervalo para Proporção Abordagens Alternativas Problema: Não conhecemos p(1 p) n. Abordagem Otimista ˆp(1 ˆp) E = z α 2 n Abordagem Conservativa E = z α 2 1 4n Interpretação: Com (1 α)100% de conança, o verdadeiro valor de p está entre ˆp E e ˆp + E. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 25 / 27

26 Intervalo de Conança Intervalo para Proporção Exemplo Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção de eleitores favoráveis a seu candidato. Numa amostra com tamanho igual a 200, observou-se que 55% dos eleitores eram favoráveis ao candidato. Construa um intervalo de conança para a proporção de eleitores do candidato com coeciente de conança de 0, 95. Use a abordagem otimista e a conservadora. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 26 / 27

27 Intervalo de Conança Intervalo para Proporção Exemplo Pretende-se estimar a proporção de cura através do uso de um certo medicamento em doentes contaminados com cercária. Um experimento consistiu em aplicar o medicamento em 200 pacientes, escolhidos ao acaso, e observar que 160 deles foram curados. O que podemos dizer sobre a proporção de cura na população com nível de 90% de conança? José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 27 / 27