Lucas Santana da Cunha e 30 de julho de 2018 Londrina

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1 Lucas Santana da Cunha e 30 de julho de 2018 Londrina 1 / 18

2 Já se discutiu a diferença entre estimador e parâmetro: População Amostra Média µ Ȳ Variância σ 2 S 2 Desvio Padrão σ S Proporção p ou π ˆp Por exemplo, a média amostral Ȳ = n i=1 Y i n é o estimador da média µ (parâmetro). 2 / 18

3 Assim, a média amostral, o desvio-padrão amostral, a proporção amostral são exemplos de variáveis aleatórias cujos valores variam de amostra a amostra. Suas distribuições, que refletem tais variações aleatórias, desempenham papel fundamental na inferência estatística, e são denominadas distribuições amostrais. 3 / 18

4 Teorema Seja Y uma variável aleatória com média µ e variância σ 2, e seja (Y 1, Y 2,..., Y n ) uma amostra aleatória simples de Y. Então, µȳ = E(Ȳ ) = µ σ 2 Ȳ = V (Ȳ ) = σ2 n. 4 / 18

5 Exemplo 1 Considere a seguinte população: 1, 3, 5, 5. Seja Y a variável aleatória valor assumido por um elemento sorteado ao acaso dessa população: a) Obter a distribuição de Y ; b) Calcular a média µ Y = E(Y ); c) ) Calcular a variância σ 2 Y = E(Y 2 ) [E(Y )] 2. d) Considerar todas as possíveis amostras n = 2, com reposição, dessa população. Seja Y 1 a variável aleatória numero selecionado na 1 a extração e Y 2, a variável aleatória numero selecionado na 2 a extração. Obter a distribuição amostral da estatística Ȳ = Y 1+Y 2 2 (média). e) Calcular a média µȳ = E(Ȳ ) e σ 2 Ȳ = E(Ȳ 2 ) [E(Ȳ )] 2. 5 / 18

6 Teorema Central do Limite Quando o tamanho da amostra aumenta, independentemente da forma da distribuição da população, a distribuição amostral de Ȳ aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal. Assim, ( ) Ȳ a σ N µ;. n Esse resultado é fundamental na teoria da Inferência Estatística. Se a população for normal, então Ȳ terá distribuição exata normal. Aceita-se que para amostras com mais de 30 observações a aproximação à normal já pode ser considerada boa. 6 / 18

7 Exemplo 2 Suponha que a distribuição das estaturas dos alunos da UEL possa ser representada por um modelo normal e que os parâmetros populacionais, média e variância, fossem conhecidos e iguais, respectivamente, a 1, 72m e 0, 0225m 2. Uma amostra de dez alunos foi sorteada aleatoriamente. Qual a probabilidade da média das estaturas dessa amostra estar entre 1, 65 e 1, 75? 7 / 18

8 Exemplo Suponhamos que uma pesquisa eleitoral foi feita tomando uma amostra aleatória de 10 eleitores para saber a intenção de voto em três candidatos à prefeito de General Salgado-SP: Eleitor (i) Candidato A A C A B B C A A C 8 / 18

9 Consideremos uma variável aleatória Y i da seguinte forma: Y i = { 1, se o i-ésimo eleitor vota no candidato A; 0, se o i-ésimo eleitor não vota no candidato A. Assim, temos: Eleitores (i) Y i / 18

10 Portanto, a proporção p de todos os eleitores que votam no candidato A será estimada pela proporção, ˆp, de eleitores da amostra que dizem votar no candidato A. Assim, a estimativa obtida será ˆp = Y 1 + Y Y ˆp = = 0, 5. Indicando que 50% de todos os eleitores votam no candidato A. 10 / 18

11 Definição Seja p a proporção das unidades de uma população que possuem uma determinada característica (proporção de sucesso ). A população pode ser definida como uma variável Y, Bernoulli, tal que: Y = { 1, se o elemento da população tem a característica; 0, se o elemento da população não tem a característica. sendo P(Y = 1) = p e P(Y = 0) = 1 p. Logo, µ Y = E(Y ) = p, σ 2 Y = Var(Y ) = p(1 p). 11 / 18

12 Se amostras aleatórias de tamanho n forem tomadas de uma população com proporção p, então, o estimador de p dado por ˆp = n i=1 Y i n = Ȳ tem média e variância dadas por p(1 p) µˆp = E(ˆp) = p σ 2ˆp = Var(ˆp) =. n 12 / 18

13 Definição Logo, pelo teorema central do limite ( ) ˆp a p(1 p) N p;, n e assim, Z = ˆp p p(1 p) n a N(0, 1) 13 / 18

14 Exemplo 3 Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza 80% dos casos. Uma amostra de 25 indivíduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar a imunização ou não desses indivíduos. Se o fabricante estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imunizados na amostra ser inferior à 0,75? E superior à 0,85? 14 / 18

15 Exercício 1 Os camarões machos da espécie Farfantepenaeus paulensis, para serem considerados adultos, devem apresentar um comprimento total maior ou igual a 22mm. Suponha que numa população de camarões machos adultos a média dos comprimentos seja igual a µ = 27, 3mm e o desvio padrão é σ = 7, 8mm. Numa amostra de n = 35 camarões: a) Qual a probabilidade de que Ȳ < 25mm? b) Qual deve ser o valor para a média do comprimento total, µ, a fim de que P(Ȳ 23) = 0, 05? 15 / 18

16 Exercício 2 A capacidade máxima de um elevador é de 500kg. Se a distribuição Y dos pesos dos usuários for suposta N(70, 10), qual é a probabilidade de sete pessoas ultrapassarem esse limite? E de seis? Conclua o número máximo de pessoas que o elevador pode suportar com segurança. 16 / 18

17 Exercício 3 Um distribuidor de sementes determina, por meio de testes, que 5% das sementes não germinam. Ele vende pacotes com 200 sementes com garantia de pelo menos 90% de germinação. Qual é o probabilidade de que um pacote não satisfaça à garantia? 17 / 18

18 Exercício 4 Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% dos itens defeituosos na produção. A cada 6 horas sorteia-se uma amostra de 20 peças e, havendo mais de 15% de defeituosos, encerra-se a produção para verificação do processo. Qual a probabilidade de uma parada desnecessária? 18 / 18