Análise Bayesiana de Dados - Aplicações 1 -

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1 Análise Bayesiana de Dados - Aplicações 1 - Márcia D Elia Branco Universidade de São Paulo Instituto de Matemática e Estatística mbranco - sala 295-A -

2 Aplicações da IB : Pressão sistólica Exemplo 1: Considere uma amostra aleatória de 20 medições da pressão sistólica de uma subpopulação de adultos. Sabe-se que o desvio padrão dessa medida é 13 (mmhg). Denotamos por y i o valor medido para o i-ésimo indivíduo. Interesses: 1) Estimar a pressão sistólica média desse grupo (subpopulação); 2) Estimar a pressão sistólica de um novo indivíduo do mesmo grupo; 3) Verificar se essa pressão esta acima de 125 mmhg, que é o valor médio de referência para adultos. Suposições: (i) y = (y 1,..., y n ) é uma amostra de uma v.a. N(µ, 169). Além disso, dado µ, os y i s são independentes. (ii) Foi considerada uma distribuição a priori vaga µ N(0, 10 4 )I (0, ).

3 Aplicações da IB: Pressão sistólica Resultados: 1) Obteve-se uma média a posteriori para µ igual a 128 mmhg e desvio padrão 2.9 mmhg. Nota-se que Média e Mediana a posteriori são iguais, resultando do fato da distribuição ser simétrica. O intervalo de credibilidade de probabilidade 0.95 para a pressão sistólica média do grupo é dado por (122.2, 133.7). Esse intervalo é também um HPD devido a simetria da distribuição. 2) A densidade preditiva para um novo indivíduo (y N ) tem média 128 mmhg e desvio padrão 13.3 mmhg. Nota-se que embora essa média seja a mesma obtida para µ o desvio padrão é bem maior. O intervalo de credibilidade 0.95 para y N é dado por (101.6, 153.2). 3) P (µ > 125 y) = 0.847, indicando que é bastante provável que esse grupo de indivíduos tenha uma pressão sistólica média acima da média de referência para adultos. 4) O fator de Bayes é dado por B 01 = O que significa???

4 Aplicações da IB: Tempo de sobrevivência Exemplo 2: Considere y i o tempo de sobrevivência, em semanas, do i esimo paciente com cancêr após ser submetido a um tratamento de radioterapia. A principal questão de interesse aqui é estimar o tempo de sobrevivência de uma novo paciente submetido a esse mesmo tratamento. Observou-se uma assimetria no histograma dos dados o que indica que a suposição de normalidade para y pode nao ser adequada. Assim, foi aplicada a transformação z = log(y). O novo histograma com os dados transformados indicou simetria e por isso, foi considerada a hipótese de normalidade para z. Nessa aplicação não temos conhecimento da variância populacional. Suposições: (i) z = (z 1,..., z n ) é uma amostra de uma v.a. N(µ, σ 2 ). (ii) f(µ, σ 2 ) 1 σ 2.

5 Aplicações da IB: Tempo de sobrevivência Resultados Parametro Média DP 2.5 % 97.5 % Mediana µ σ z novo

6 Aplicações da IB: Tempo de sobrevivência Inferência pode ser feita de duas maneiras: 1. Solução exata: Usando a formula de Bayes e outros recurso do cálculo de probabilidade (visto em aula), temos µ z T (m 1, s 1, ν 1 ) 1 z Gamma(A, B) σ2 Em que m 1 = z, s 1 = sz n, ν 1 = n 1, A = n 1 2, B = e s z = (zi z) 2 n 1. Equivalentemente, (zi z) 2 2 µ m 1 s 1 z T (0, 1, ν 1 ) [t Student]. 2B σ 2 z χ2 2A [Qui quadrado]

7 Aplicações da IB: Tempo de sobrevivência 2. Solução aproximada via simulação. Usando Monte Carlo. (i) Simula uma amostra da posteriori conjunta f(µ, σ 2 y). Para isso considere a seguinte estratégia: (i.a) Simula η j da Gamma(A, B) e calcula (σ 2 ) j = 1 η j. (i.b) Simula µ j da N(m 1, σj n ), j = 1,..., M (ii) A partir da amostra simulada, M grande, obter média, mediana, desvio-padrão, percentis, etc. (iii) Simula z j novo da N(µ j, (σ 2 ) j ). Usar essa amostra para obter as medidas resumos desejadas. (iv) Para estimar Y novo basta obter uma amostra dessa quantidade fazendo y j novo = e zj novo.

8 Aplicações da IB: Taxa de mortalidade Exemplo 3: Suponha que sabemos que para uma determinada população em estudo a taxa de mortalidade anual devido a uma determinada doença é igual a 10 %. Um grupo de 30 individuos foi submetido a um novo tratamento, onde foi observado x = 7 mortes em um ano. Interesse: Estimar a nova taxa de mortalidade e comparar com a anterior. Suposições: (i) x é o resultado de uma v.a. P oisson(30µ). (ii) µ Gamma(0.1, 1) Resultados: 1. Intervalo de credibilidade 0.95 (aproximado) é (0.095, 0.42). 2. P (µ > 0.1 x) = Com alta probabilidade os indivíduos submetidos ao novo tratamento terão taxa de mortalidade superior a anterior. 3. A chance a posteriori em favor da hipótese H 0 : µ > 0.1 é dada por =