Estatística Planejamento das Aulas

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1 29 de outubro de 2018

2 Distribuição Discreta Uniforme No experimento estatístico, os eventos são equiprováveis. A v.a. discreta X assume n valores discretos tem função de probabilidade: { 1 se x f x = i X n 0 caso contrário Função de distribuição acumulada dada por: F t = PX x = t p x i = t n i=1 Parâmetros do modelo Média: EX = 1 n Variância: VarX = 0

3 Exemplo No lançamento de um dado, define- se v.a. X como o valor obtido neste lançamento. O espaço amostral é: X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} Os eventos são equiprováveis PX = 1 = 1/6 PX = 2 = 1/6 PX = 3 = 1/6 PX = 4 = 1/6 PX = 5 = 1/6 PX = 6 = 1/6

4 Distribuição de Bernoulli Num único teste, evento pode ou não ocorrer. { q = 1 p X = 0 f x = p = p X = 1 Parâmetros do modelo Média: EX = p Variância: VarX = p1 p

5 Exemplos Exemplo 1: Joga- se uma moeda uma vez. A moeda é honesta. Qual a probabilidade de sair cara? A va X que assume valor 1 se ocorrer sucesso e 0 se fracasso. PX = 0 = 0, 5 PX = 1 = 0, 5

6 Exemplos Exemplo 2: Uma droga cura 25% dos pacientes. Administra- se a droga a um paciente. Qual a probabilidade do paciente se curar? A va X que assume valor 1 se ocorrer sucesso e 0 se ocorrer fracasso. Pξ = 1 = 0, 25 Pξ = 0 = 0, 75

7 Distribuição Binomial Em uma sequencia de N experimentos de Bernoulli, a v.a. X representa o número de k sucessos Todos experimentos são independentes. A probabilidade num único experimento é: 1. p para o sucesso ou ocorrência 2. q = 1 p para o fracasso ou não ocorrência.

8 Distribuição Binomial A v.a. binomial com parâmetros n 0 e 0 < p < 1 tem função de densidade de probabilidade dada por: px = k = Parâmetros do modelo Média: EX = np n! n p!p! pk 1 p n k = Variância: VarX = np1 p n p k 1 p n k k

9 Exemplo 1 Exemplo 1: Uma moeda é lançada dez vezes seguida. Qual a probabilidade de obter três caras? px = k = p k 1 p n k px = 3 = n! n k!k! 10! 10 3!3! 0, , px = 3 = 1200, 5 10 = 15 = 0,

10 Exemplo 2 Numa inspeção de qualidade, um lote de 10 tubos contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos?

11 Exemplo 3 A probabilidade de um certo componente elétrico estar em condições operacionais satisfatórias é de Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção contínua. Em uma amostra de cinco componentes, quais são as probabilidades de se encontrarem, a zero componentes defeituosos px = k = px = 0 = n! n k!k! 5! 5 0!0! p k 1 p n k 0, , px = 0 = 0, , 02 0 = 0, 903

12 Exemplo Exemplo 2: Uma suspensão contendo organismos de Leishmania é preparada e quando uma determinada quantidade é inoculada em ratos, 30% deles se tornam infectados. Se 3 ratos forem inoculados independentemente, qual a probabilidade de: Nenhum rato ficar infectado? px = k = px = 0 = n! n k!k! 3! 3 0!0! px = 0 = 30, 3 0 0, 7 3 p k 1 p n k 0, , 3 3 0

13 Exemplo Exemplo 2: Uma suspensão contendo organismos de Leishmania é preparada e quando uma determinada quantidade é inoculada em ratos, 30% deles se tornam infectados. Se 3 ratos forem inoculados independentemente, qual a probabilidade de: Um rato ficar infectado? px = k = px = 1 = n! n k!k! 3! 3 1!1! px = 1 = 30, 3 1 0, 7 2 p k 1 p n k 0, , 3 3 1

14 Exemplo Exemplo 2: Uma suspensão contendo organismos de Leishmania é preparada e quando uma determinada quantidade é inoculada em ratos, 30% deles se tornam infectados. Se 3 ratos forem inoculados independentemente, qual a probabilidade de: Dois ratos ficarem infectados? px = k = px = 2 = n! n k!k! 3! 3 2!2! p k 1 p n k 0, , px = 2 = 30, 3 2 0, 7 1 = 0, 189

15 Distribuição de Poisson Número de eventos independentes que ocorrem em um intervalo de tempo grande, ocorrências raras. A função de densidade de probabilidade é dada por: λt λtk p k = PNt = k = e k! A função de probabilidade acumulada é dada por: x sλt λtk F x = e k! k=0 λ é a frequência média de ocorrências num intervalo µ é a média na distribuição Parâmetros do modelo 1. Média: EX = µ 2. Variância: VarX = µ

16 Exemplo Um pesquisador está interessado no número de ovos depositados por uma espécie de pássaro. Na primavera, ele procura e acha 80 ninhos. Como o número médio de ovos por ninho foi 3,8 e a variância foi 3,1 ele acha razoável descrever o número de ovos por ninho por uma distribuição Poisson com média 3,8. Se esta realmente representa a distribuição populacional, qual seria a probabilidade de encontrar um ninho com mais do que 5 ovos? A Poisson é dada por: µ µk p k = PNt = k = e k!

17 Solução Assim para µ µk p k = PNt = k = e k! Com µ = 3, 8, para k = 5 3,8 3, 85 p k = PNt = 5 = e 5! = 0, 147 = 14, 7% Qual seria a probabilidade de não encontrar nenhum ovo num ninho? Com µ = 3, 8, para k = 0 3,8 3, 80 p k = PNt = 0 = e 0! = 0, 022 = 2, 3%

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