i. f Y (y, θ) = 1/θ... 0 y θ 0... y < 0 ou y > θ Se a amostra selecionada foi ( ), qual será a estimativa para θ?

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1 Fundação Getulio Vargas Curso: Graduação Disciplina: Estatística Professor: Moisés Balassiano Lista de Exercícios Inferência. Seja (Y, Y 2,..., Y n ) uma amostra aleatória iid, de tamanho n, extraída de uma população cuja característica estudada, Y, possui distribuição de probabilidade f Y (y,θ). Para as distribuições abaixo: a) Estime os parâmetros pelo método que lhe convier (Máxima Verossimilhança da Amostra ou dos Momentos); b) Verifique a não tendenciosidade de cada um deles; c) Verifique a consistência de cada um deles. i. f Y (y, θ) = /θ... 0 y θ 0... y < 0 ou y > θ Se a amostra selecionada foi ( ), qual será a estimativa para θ? ii. f Y (y, θ) = θ y θ < y < ; θ < 0... y 0 ou y Se a amostra selecionada foi (0,45 0,68 0,87 0,36 0,54), qual será a estimativa para θ? iii. f Y (y, θ) = exp y... y > 0. θ θ 0... y 0 Estime θ para a amostra (8,2 9, 0,6 4,9). iv. Suponha que Y tenha distribuição de Bernoulli (θ). Estime θ pelo método da máxima verossimilhança da amostra e proceda aos itens (c) e (d). Estime θ para a amostra ( ). 2. Uma amostra aleatória simples de tamanho 00 foi extraída de uma população infinita para se estimar a média de uma variável que tem, na população, uma distribuição Normal com média µ, desconhecida, e desvio padrão conhecido, σ = 5. Considere o estimador da 00 média da população a estatística Y = Yi. 00 i= a) Considerando a média da população µ = 45, qual seria a probabilidade de uma unidade da população fornecer um valor da característica entre 40 e 50? b) Considerando ainda µ = 45, qual é a probabilidade de uma dada amostra fornecer uma média entre 40 e 50? c) Qual é a probabilidade da média da amostra diferir da média da população em no máximo 3 unidades? d) Qual deverá ser o tamanho da amostra que fornece um erro máximo absoluto de 2,5 unidades para a estimativa da média da população, com uma probabilidade de 95%?

2 3. Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com variância 225. Uma amostra de 00 alunos é extraída ao acaso. a) Qual é a probabilidade da média das notas da amostra difira da média de população em mais do que 2,5 pontos? b) Suponha que a média das notas dessa amostra tenha sido 80. Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira e desconhecida média da população. c) Com base na média das notas obtidas no item acima, teste a hipótese de que a média da população não seja inferior a 77, a 0% de significância. 4. Abaixo se encontra a distribuição da duração das chamadas telefônicas de um hotel, em minutos, para uma amostra de 20 ligações: 2, 4,8 5,5 0,4 3,3 3,5 4,8 5,8 5,3 5,5 2,8 3,6 5,9 6,6 7,8 0,5 7,5 6,0 4,5 4,8 a) Qual é a média estimada das chamadas telefônicas para a população? b) Construa um intervalo de confiança de 90% para a média estimada de população? c) Teste, ao nível de 5% de significância, se a média da população é igual a 6 minutos. 5. Um novo programa de dieta promete que os participantes perderão em média 8 kg durante a primeira semana do programa. Uma amostra de 40 pessoas forneceu uma perda média igual a 7 kg e um desvio padrão de 3,2 kg. a) Construa um intervalo de confiança de 90% para a verdadeira e desconhecida média da população. b) Teste, ao nível de 5% de significância, a veracidade da promessa do programa. 6. Supõe-se que a média de velocidade dos veículos em uma estrada seja de 80 km/hora. Uma amostra de 72 veículos forneceu uma velocidade média de 85 km/hora, com desvio padrão de 20 km/hora. a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a velocidade média da estrada. b) Teste, ao nível de 5% de confiança, se os veículos respeitam o limite de velocidade estabelecido para a estrada. 7. Numa fazenda o agrônomo recomenda um máximo de 2 horas de trabalho para a plantação de uma árvore de tamanho médio. Os tempos de uma amostra de 0 plantações durante o mês passado foram:.9, 2., 2.8, 3.0, 2.6, 2.5, 2.8, 3.2, 2.2, 2.5 horas. a) Teste, ao nível 5% de significância, a afirmação de que o tempo médio de plantação é igual a 2 horas. b) Qual é a sua conclusão e que recomendação você faria ao gerente?

3 8 Numa campanha de eleição, o responsável pela campanha analisa uma amostra de 20 votantes, dos quais 64 se manifestam a favor do candidato. a) Estime a proporção dos votantes em favor do candidato no âmbito da população dos eleitores; b) Construa e interprete um intervalo de confiança de 95% para a proporção da população de eleitores que apoiarão o candidato. c) Partindo do resultado (b), pode-se justificar a confiança do candidato de que ele terá o apoio de pelo menos 50% dos votantes? d) Quantos votantes deverão participar da amostra se quisermos estimar a proporção da população com um erro de 5%? Continue a usar o nível de confiança de 95%. 9 Uma amostra piloto, realizada com 40 pessoas selecionadas de uma população infinita, forneceu a seguinte distribuição de pesos, em quilogramas: Construir um intervalo de confiança de 95% e outro de 99% para o verdadeiro peso médio da população. Qual deles é mais preciso? Justifique. 0 Uma moeda foi lançada 400 vezes sendo que em 260 o resultado foi CARA. Construa um intervalo de 90% para a proporção de CARAS. Podemos dizer que essa moeda é honesta? Justifique. Uma firma de pesquisa de mercado baseia-se nos dados históricos que indicam que o tempo de entrevista relativa a uma pesquisa de opinião tenha variância de 6 minutos 2. a) Quantos consumidores deverão participar da amostra, se a empresa deseja uma confiabilidade de 0.98 na estimação do tempo médio da entrevista, com erro amostral de 2 minutos para mais ou para menos? b) Assumindo que o tamanho da amostra acima seja aplicado e que o tempo médio da entrevista na amostra seja de 32 minutos. Construa um intervalo de confiança de 98% para a verdadeira e desconhecida média da população; c) Uma amostra de 36 entrevistas forneceu uma variância de 2 minutos 2. Teste, ao nível de 5% de significância, a veracidade da medida de variação informada pela firma. 2 Com base nos dados do Exercício 9, sabendo-se que os dados das duas primeiras linhas são relacionados aos pesos das pessoas do gênero feminino e os demais aos do gênero masculino, construa um intervalo de 95% de confiança para a diferença entre as médias dos dois grupos e teste se a diferença entre os pesos dos gêneros é significativa, a 5% de significância.

4 3 Ainda com base nos dados fornecidos no Exercício 9, construa um intervalo de 90% para a variância dos pesos na população. 4 Um fabricante de tijolos descobriu que a força de esmagamento de seus tijolos tem distribuição N(µ,24). A fim de se estimar o valor de µ foi extraída uma amostra aleatória simples de 36 unidades que forneceu uma força de esmagamento médio de 280 kg. Teste, ao nível se significância de 5%, se ele poderia afirmar que este parâmetro na população de tijolos produzidos seja igual a 300 kg. 5 Um fabricante de cigarros afirma que a quantidade de nicotina por cigarro tem média igual a 24 mg. Um laboratório fez 5 determinações da nicotina encontrando os seguintes resultados: 26; 28; 22; 25 e 29 mg. Que conclusão se pode chegar a 5% de significância? Compare a sua conclusão com a que você chegaria a 0%. 6 Um hospital clama que não mais de 20% das pessoas internadas com meningite acabam morrendo devido a essa doença. Numa amostra de 64 pessoas internadas com meningite, 3 tiveram morte em função da doença. Teste, ao nível de %, a veracidade da afirmação da direção do hospital. 7 O tempo requisitado para completar a prova final de um curso técnico tem distribuição normal, com média de 80 minutos e desvio padrão de 0 minutos. a) Qual é a probabilidade de um estudante completar a prova numa hora ou menos? b) Qual é a probabilidade de uma turma com 49 alunos apresentar uma média de 75 minutos para completar a prova, sem alteração da dispersão? c) Suponha que a turma tenha 60 estudantes e que o tempo da prova seja de 85 minutos. Quantos estudantes serão incapazes de completar a prova? d) Para a turma acima, os 49 alunos apresentaram uma variância nos tempos para completar a prova igual a 20 minutos 2. Teste, ao nível de % de significância, se a variância dos tempos anunciada acima é verdadeira. 8 Baseado em experiências passadas, o gerente de um restaurante fast-food estima que o número de freqüentadores durante uma semana é distribuído normalmente, com média de 5000 e desvio padrão de 800 pessoas. a) Qual é a probabilidade que numa semana o número de freqüentadores esteja entre 4760 e 5800 pessoas? b) Qual é a probabilidade de ser mais de 6500 freqüentadores? c) Qual é o número mínimo de freqüentadores necessário para se ter uma probabilidade de 0% de numa semana se verificar uma freqüência acima desse número? 9 Numa empresa, as previsões de despesa para o próximo ano foram calculadas como: R$ 9, 0,, 2 e 3 milhões. Supondo que as despesas do ano corrente sejam desconhecidas, as seguintes probabilidades foram atribuídas: 0.3, 0.2, 0.25, 0.05, 0.2.

5 a) Mostre a distribuição de probabilidade para o próximo ano? b) Qual é o valor esperado das despesas para o próximo ano? c) Qual é a variância das despesas para o próximo ano? 20 Um contabilista afirma que os problemas de fluxo de caixa de uma empresa sejam resultado de uma coleta lenta dos pagamentos em cheques. Ele afirma que 70% dos cheques tenham mais de dois meses. Uma amostra de 20 cheques mostra que 78 deles têm mais de dois meses. Teste a afirmação do contabilista ao nível de 5% de significância. 2. Uma companhia de seguros oferece ao mercado uma grande variedade de seguros no segmento de seguros individuais (vida e saúde entre outros). O aumento da expectativa de vida dos segurados requer uma revisão de seu plano atuarial. Caso a média das idades de todos os segurados alcance 72 anos, será necessária uma atualização nos valores dos prêmios hoje praticados. Uma amostra aleatória de 36 apólices foi selecionada para se estimar a idade dos segurados do segmento de seguro de vida. A idade média da amostra foi de 69,5 anos. Estudos anteriores permitem assumir que a variância das idades de todos os segurados individuais seja conhecida, σ 2 = 5,84 anos 2. Considerando que as idades da população de segurados individuais sejam normalmente distribuídas e que essa população pode ser considerada infinita: a) Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira média das idades dos segurados individuais. Você considera que 42 anos seja uma possível média das idades dos segurados deste segmento? b) Construa agora um intervalo de 99% de confiança para a média das idades. Você acha, com base neste intervalo, que 42 anos seja um valor plausível para a média das idades dos segurados deste segmento? c) Qual foi o erro de amostragem para cada um dos dois itens acima? Qual dos dois intervalos de confiança é o mais preciso? d) Teste, ao nível de 0% de significância, a necessidade de atualização nos valores dos prêmios. Formule o teste, calcule a estatística, decida e conclua. e) Qual seria a conclusão se o teste for realizado de acordo com a significância de %? f) Qual dos dois testes é o mais significante para rejeitar H o?