Prof. Lorí Viali, Dr.

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1 Prof. Lorí Viali, Dr.

2 Uma A estimação tem por objetivo forneer informações sobre parâmetros populaionais, tendo omo base uma amostra aleatória extraída da população de interesse.

3 ESTIMAÇÃO θ AMOSTRA POPULAÇÃO θˆ

4 Por Ponto Por intervalo

5 ESTIMAÇÃO POR PONTO A estimativa por ponto é feita através de um únio valor. ESTIMAÇÃO POR INTERVALO A estimativa por intervalo, fornee um onjunto de valores.

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7 As araterístias básias de um estimador são: A média: µ θ ˆ E ( θˆ A Variânia: θˆ V ( θˆ E[ θˆ E ( θˆ ] E( θˆ E ( θˆ

8 Através da média, pode-se saber em torno de que valor o estimador está variando. O ideal é que ele varie em torno do parâmetro θ.

9 Pela raiz quadrada da variânia tem-se uma idéia do erro ometido na estimação, isto é, o valor θ ˆ V( θˆ é denominado de erro padrão de θ.

10 A tereira informação neessária é a distribuição do estimador, isto é, qual o modelo teório (probabilístio do estimador.

11 OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES Erro amostral: ε θ θˆ Viés: B( θ ˆ E ( θˆ θ EQM: EQM ( θˆ θθ E ( ˆ

12 Relação entre EQM e Variânia EQM ( θˆ E ( θˆ θ E [ θˆ E ( θˆ + E ( θˆ θ ] E{[ θˆ E ( θˆ ] + [E ( θˆ θ ]} E [ θˆ E ( θˆ ] + [E ( θˆ θ ] + + E [ θˆ E ( θˆ ][ E ( θˆ θ ]

13 Como: E [ θ ˆ E ( θˆ ][ E ( θˆ θ ] 0 Segue: EQM ( θˆ E ( θˆ θ E [ θˆ E ( θˆ ] + E ( θˆ θ ] V ( θˆ + B ( θˆ

14 Isto é, o Erro Quadrado Médio de um estimador é a sua Variânia somada om o quadrado do Viés. EQM ( θˆ V ( θˆ + B ( θˆ

15 Erro Quadrado Médio θ Viés (ˆ θ E(ˆ θ

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17 Seja (X 1, X,..., X n uma amostra aleatória de uma variável (população X, om um parâmetro de interesse θ. Seja uma função da amostra (estimativa de θ. θˆ

18 Um estimador é dito nãotendenioso, não-viiado, sem viés ou imparial se: µ E ( θˆ θ ˆ θ

19 Tendenioso Tendenioso Não tendenioso Não tendenioso

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21 Momentos Mínimos Quadrados Máxima Verossimilhança MELNT (Melhor Estimativa Linear Não Tendeniosa Bayes

22 É o mais antigo dos métodos para determinar estimadores (Pearson, Baseia-se no prinípio de que se deve estimar o momento de uma distribuição populaional pelo momento orrespondente da amostra.

23 Desta forma a média populaional deve ser estimada pela média amostral, a variânia populaional pela variânia amostral e assim por diante. Este método produz estimadores que são onsistentes e assintotiamente normais.

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25 A média da amostra X é um estimador não-viiado de µ, isto é: µ E (X X µ

26 A proporção amostral P é um estimador nãoviiado de π, isto é: µ E(P P π

27 A variânia da amostra S é um estimador viiado de, isto é: µ E ( S S

28 A variânia da amostra S, alulada om n-1 no denominador é um estimador não viiado de, isto é: µ E( S S

29 Um estimador não viiado é dito onsistente se: lim n V ( θˆ 0

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31 A média da amostra X é um estimador onsistente de µ, isto é: lim V ( X lim 0 n n n

32 A proporção amostral P é um estimador onsistente de π, isto é: lim n V ( P lim n π ( 1 n π 0

33 A variânia da amostra S é um estimador onsistente de, isto é: lim n V ( S lim n n 4 1 0

34 Dados dois estimadores não-tendeniosos de um mesmo parâmetro, o mais efiiente é o que apresenta menor variânia.

35 O estimador 1 é mais efiiente que o 1

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37 A média (simples da amostra X é um estimador mais efiiente de µ, do que qualquer média ponderada.

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39 Considere o seguinte onjunto de valores: -3-1, -0,5 0,9 1,1,,8 4,5 Determine estimativas da: (a Média (b Variabilidade ( Da proporção de positivos

40 A média A melhor estimativa da média é dada pela média da amostra. Assim: ,,,,,,,,, n x x i

41 A variânia A melhor estimativa da variânia ( é dada pela variânia amostral (s. Assim: s x i n 1 45, 64 5, , , , n x ( 0, 85 1

42 O desvio padrão Extraindo a raiz quadrada da variânia, tem-se uma estimativa do desvio padrão: s x i n n 1 x 45, ( 0, 85 45, 64 5, , , 6943, 39

43 A proporção A melhor estimativa de π é dada pela proporção amostral (p: f 5 p 0, 65 6, 50 n 8 %

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45 Com base na distribuição da veloidades de uma amostra de 10 arros andando na estrada POA/Osório, determine estimativas da: (a veloidade média (b variabilidade da veloidade ( da proporção de arros aima dos 100 km/h

46 Veloidades Total Freqüênia

47 Veloidades Freqüênia x i f i x i ,5 660, ,5 1137, ,5 0, ,5 317, ,5 97, ,5 13,97,5 Total

48 A média A melhor estimativa da média é dada pela média da amostra. Assim: x f n i x i , 71 km / h

49 Veloidades Freqüênia x i f i x i , , , , , , , , , , , ,5 Total

50 O desvio padrão s f i x n i 1 n x ( 96, , , 477 6, 89 km/h

51 A proporção A melhor estimativa de π é dada pela proporção amostral (p: f ( p n , % 10

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54 Supondo onheido P( z < Z < z 1 α α 1α α z z Z

55 α < < 1 Z ( P z z De Tem-se: α < µ < α µ < < α < < + µ X P(. X. P( X P( X X X X X X z X z z z z z

56 Assim: P( X z. X < µ < X + z. X 1 α P(X z. X < µ < X + z. X 1 α Então, o IC de 1 α para µ é alulado por: X ± ε ε X X z x x n

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58 Com base na distribuição das veloidades de uma amostra de 10 arros andando na estrada POA/Osório, e supondo que o desvio padrão populaional é igual a sete km/h determine uma estimativa para a veloidade média, om uma onfiabilidade de 95%.

59 Tem-se: X ± ε ε X X z x x n Mas: z 1,96 7 x n 10 0,6390 εx 1,96.0,6390 1,5

60 O IC de 1 α para µ é alulado por: [ ] X ε ; X + ε X [ 96,71 1,5 ; 96,71 + 1,5 ] [ 95,46 ; 97,96 ] X

61 desonheido 0,40 0,0 X µ t n 1 t1, n s n t, n 3 N(0; 1 α α 1α 0,00 t t

62 α < < 1 t ( P t t De Tem-se: α < µ < α µ < < α < < + µ X P(. X. P( X P( ˆ z X ˆ t ˆ t ˆ t t ˆ t X t X X X X X

63 Assim: P( X t. ˆ X < µ < X + t. ˆ X 1 α P(X t. ˆ X < µ < X + t. ˆ X 1 α Então, o IC de 1 α para µ, se for desonheido é alulado por: s X ± εˆ εˆ t ˆ X X x ˆ x n

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65 Com base na distribuição das veloidades de uma amostra de 10 arros andando na estrada POA/Osório, determine uma estimativa para a veloidade média, om uma onfiabilidade de 95%.

66 X Tem-se: ± εˆ εˆ t ˆ X X x ˆ x s n Mas: t 1,98 s 47,477 ˆ x n 10 0,690 εˆ X 1,98.0,690 1,5

67 O IC de 1 α para µ é alulado por: [ ] X εˆ ; X + εˆ X [ 96,71 1,5 ; 96,71 + 1,5 ] [ 95,46 ; 97,96 ] X

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69 P( z < Z < z 1 α P π(1 π n ˆ P P(1 n P α α 1α z z

70 α < < 1 Z ( P z z De Tem-se: α < µ < α µ < < α < < + µ 1.. P P( 1. P. P( 1 X P( P P P P P P z P z z z z z

71 Assim: P( P z. P < µ < P+ z. P 1 α P(P z. P < µ < P+ z. P 1 α Então, o IC de 1 α para π é alulado por: P ± εˆ P ε ˆP z ˆP ˆ P P(1 P n

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73 Com base na distribuição das veloidades de uma amostra de 10 arros andando na estrada POA/Osório, determine uma estimativa para a proporção de arros om veloidade aima de 100 km/h, om uma onfiabilidade de 95%.

74 Tem-se: P ± εˆ P ε ˆP z ˆP ˆ P P(1 P n Mas: z 1,96 p(1 p 0,35.(1 0,35 ˆ P n 10 4,3541% εˆ X 1,96.4,3541 8,53%

75 O IC de 1 α para π é alulado por: [ P εˆ ; P + εˆ ] P P [ 35% 8,53%; 35% + 8,53% ] [ 6,47%; 43,53% ]

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77 P( χ i < χ < χ n1 s 1 α χ (n1s n1 α 1α α χ i χ s

78 De Tem-se: P( χ i < χ < χ n1 s 1 α P( χ i < (n 1 S < χ s 1 α P( P( 1 χ (n s < χ 1 s (n S 1 < S 1 α < < 1 χ (n 1 χ 1 1 S α 1

79 Então o IC de 1 α para é alulado por: χ χ 1 s S S 1 n ( ; 1 n (

80 Então o IC de 1 α para é alulado por: χ χ 1 s S S 1 n ( ; 1 n (

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82 Com base na distribuição das veloidades de uma amostra de 10 arros andando na estrada POA/Osório, determine uma estimativa para a variabilidade da veloidade, om uma onfiabilidade de 95%.

83 Tem-se: Mas: χ χ 1 s S S 1 n ( ; 1 n ( 145,46 94,81 s i χ χ

84 O IC de 1 α para é alulado por: , ,46 ; ,477 94,81 [ 6,3; 7,7 ]

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86 É desejável um IC om alta onfiabilidade (1 - α e pequena amplitude (ε. Isto requer uma amostra sufiientemente grande, pois, para n fixo, onfiança e preisão varia inversamente.

87 A seguir os tamanhos mínimos neessários de amostras para estimar os prinipais parâmetros dentro de uma onfiabilidade (1 α e uma preisão (ε espeifiados.

88 Para estimar a média de uma população, supondo onheido ε ε ε x.z n.z n n z z

89 Para estimar a média de uma população, om onheido s ε t s x t n n s. t t será obtido ε através de uma n s.t ε amostra piloto n

90 Para estimar a proporção populaional. ε z x z P (1 n P n z ε P (1 P p será estimado n z ε P (1 P através de uma amostra piloto n

91 Qual o tamanho mínimo de uma amostra para estimarmos a proporção de defeituosos de uma máquina om uma preisão de 3% e uma onfiabilidade de 95%. Se (a nada se sabe sobre esta proporção (b ela não é superior a 10%.

92 (a n z ε P (1 P n 1,96 0, 03 0,50. 0,5 n 1068

93 (b n z ε P (1 P n 1,96 0, 03 0,1. 0,9 n 385