MIEEC Probabilidades e Estatística 1 a Chamada 10/01/2008. Parte Prática

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1 MIEEC Probabilidades e Estatística 1 a Chamada 1/1/8 Parte Prática Resolução 1. Definição dos acontecimentos: T 1 Cliente do operador Ptel 1 T Cliente do operador Ptel T 3 Cliente do operador Ptel 3 S Cliente satisfeito Dados do problema: (a P(S =.7 P(T 1 =.3 P(T =.3 P(T 3 =.4 P(S T 1 =.9 P(S T =.7 P(S = P(S T 1 P(T 1 + P(S T P(T + P(S T 3 P(T 3 (b P(S P(S T 1 P(T 1 P(S T P(T P(S T 3 = P(T = =.4.4 =.55 P(S T 1 P(T 1 P(T 1 S = P(S T 1 P(T 1 + P(S T P(T + P(S T 3 P(T 3 P(S T 1 P(T = = =.386 P(S.7 (c P(T 1 S =.386 P(T S = P(S T P(T P(S = =.3 P(T 3 S = P(S T 3 P(T 3 P(S = =.314 Divisão do mercado de clientes satisfeitos: Ptel 1 = 38.6%, Ptel = 3% e Ptel 3 = 31.4% 1

2 . Domínio de (X, Y : (a i. ii. iii. Ou seja: Ou seja: Ou seja: f Y (y = 1 y f XY (x, y dx = = 6 [(1 y F Y (y = P(Y y = = 3 (1 y f Y (y = y ] y [y y + y3 3 { 1 y 6 (1 x y dx = 6 ] = 3 (1 y 3 (1 y, < y < 1, outros valores f Y (y dy = y = 3y 3y + y 3 3 (1 y dy = 3, y F Y (y = 3y 3y + y 3, < y 1 1, y > 1 f X Y (x y = f XY (x, y f Y (y = ] 1 y [(1 y x x y 6 (1 x y (1 x y 3 (1 y = (1 y (1 y + y dy f X Y (x y = { (1 x y (1 y, < x < 1 y, outros valores (b Domínio de (X < 3 4 Y > 1 :

3 ( P X < 3 4 Y > 1 = P ( X < 3 4 Y > 1 P ( Y > 1 = P ( Y > 1 P ( Y > 1 = 1 (c W = 1 Y f W (w = f Y (y dy dw Y =H 1 (w = f Y (y dw dy Y =H 1 (w W = 1 Y Y = 1 W dy dw = 1 f W (w = 3 (1 y 1 = 3 ( 1 + w Y = 1 w = 3 (1 + w 8 = 3 ( 1 1 w 1 < y < 1 = 1 < W < 1 Ou seja: f W (w = { 3 8 (1 + w, 1 < w < 1, outros valores 3. X: Peso de um pacote de arroz (gramas. X N ( µ, σ µ = 45 σ = 6 (a ( X µ P(X > 5 = P > 5 µ ( = P Z > σ σ 5 45 = P(Z >.833 =

4 (b Y : N o de pacotes de arroz com peso inferior a 5g em 1 pacotes. Dado que a selecção de um pacote é aleatória, o peso de um pacote ser inferior on não a 5g é uma experiência de Bernoulli. Deste modo, a variável aleatória Y, que conta o número de sucessos dessa experiência (peso de um pacote de arroz ser inferior a 5g em 1 repetições, segue uma distribuição Binomial: Y B (n, p n = 1 p = P(X < 5 = 1 P(X < 5 = 1.33 =.7967 Definindo: A: existirem 8 ou mais pacotes de arroz com peso inferior a 5g em 1 pacotes. 1 P(A = P(Y 8 = P(Y = i = P(Y = 8 + P(Y = 9 + P(Y = 1 i=8 É necessário calcular as parcelas do somatório a partir da expressão da distribuição Binomial: P(Y = k = C n k pk (1 p n k P(Y = 8 = C 1 8 p 8 (1 p 1 8 =.3 P(Y = 9 = C 1 9 p 9 (1 p 1 9 =.63 P(Y = 1 = C 1 1 p 1 (1 p 1 1 =.13 Logo: P(A = P(Y 8 = P(Y = 8 + P(Y = 9 + P(Y = 1 = =.667 (c W : N o de pacotes de arroz com peso entre 4 e 45g em 4 pacotes. W B (n, p n = 4 p = P(4 < X < 45 4

5 Calculando a P(4 < X < 45: ( 4 µ P(4 < X < 45 = P < X µ < 45 µ ( 4 45 = P < Z < σ σ σ = P(.5 < Z < = P(Z < P(Z <.5 = (1 P(Z > P(Z >.5 = ( = =.1915 O número esperado de pacotes com peso entre 4 e 45g é então: E(W = n p = = 76.6 (d O peso (X i de cada um dos 5 pacotes de arroz segue uma distribuição Normal: X 1, X, X 3,, X 4, X 5 N(µ, σ Definindo a variável aleatória S como a soma dos pesos dos 5 pacotes de arroz: S = X 1 + X + X 3 + X 4 + X 5 Atendendo a que uma combinação linear de variáveis aleatórias Normais independentes (os pacotes de arroz são seleccionados aleatoriamente segue ainda uma distribuição Normal: S = X 1 + X + X 3 + X 4 + X 5 N(µ S, σ S µ S = 5 µ X = 5 45 = 5 σ S = 5 6 = 5 6 = Definindo: C: Peso de uma caixa de cartão com 5 pacotes de arroz seleccionados aleatoriamente (gramas. Como uma variável aleatória obtida por transformação linear de uma variável aleatória Normal segue também uma distribuição Normal: C = S + 5 N(µ C, σc (em que 5 é o peso da caixa de cartão. µ C = E(S + 5 = E(S + 5 = = 3 5

6 σ C = V(S + 5 = V(S = Calculando a probabilidade de uma caixa ser armazenada: ( µc P( < C < 4 = P σ C < C µ C σ C < 4 µ ( C 3 = P < Z < σ C = P(.745 < Z <.745 = P(Z <.745 P(Z <.745 = (1 P(Z >.745 P(Z >.745 = 1.8 = Finalmente temos que: P(caixa ser rejeitada = 1 P( < C < 4 = = (a Como se trata de um processo de amostragem aleatório, a média amostral, obtida a partir de uma população com distribuição Normal, segue igualmente uma distribuição Normal: X N (µ, 1n σ Z = X µ σ/ n N (, 1 Como o valor do desvio padrão populacional é conhecido (σ = 14 não é necessário aproximá-lo pelo desvio padrão amostral. Nestas condições, a expressão para o intervalo de confiança para o valor esperado (µ vem: [ X z(α/ σ, X + z(α/ σ ] n n com: n = 1 X = σ = 14 α = 1.95 = 5% z(α/ = z(.5 = 1.96 O valor de z(.5 foi obtido a partir da tabela da distribuição Normal: 6

7 (Nota: α/ =.5 é área da cauda da direita ou da esquerda. Devemos procurar no corpo da tabela o valor de (α/ e ler o valor de a no topo da coluna onde se encontra α/ (a = 1.9 e o valor de b no coluna da esquerda da linha onde se encontra α/ (b =.6. Sendo que z(α/ = a + b = = z(α/ σ n = = 7.91 Pelo que o intervalo de confiança para o valor esperado (µ a 95% é igual a: [ X z(α/ σ, X + z(α/ σ ] = [ , ] = [14.38, 156.] n n (b Cálculo da Média Amostral ( X e da Variância Amostral (s : S = 1 n 1 X = 1 n n X i = i=1 n ( Xi X = 4. s =.5 i=1 Trata-se de um Teste de Hipóteses bilateral (σ 14. Começando por definir as hipóteses: H : σ = 14 H : σ 14 Como a população segue uma distribuição Normal e o processo de amostragem é aleatório, a estatística de teste é: ET = (n 1 s σ χ n 1 Para α = 5% e por ser um teste bilateral os valores críticos das zonas de rejeição são: ET (α/ = χ n 1(α/ = χ 5(.5 = 1.83 ET ((1 α/ = χ n 1(1 α/ = χ 5(.975 =.831 Os valores de χ 5(.5 e χ 5(.975 foram obtidos a partir da tabela da distribuição χ : 7

8 (Nota: como a distribuição do χ é assimétrica temos de ir à tabela buscar dois valores. Cálculo da Estatística de Teste (assumindo H verdadeira: ET = (n 1 s σ = =.17 Como a ET cai na zona de rejeição rejeita-se H (ET < ET ((1 α/, ou seja os dados amostrais contrariam a indicação fornecida no enunciado de que o desvio padrão da população é de 14. 8