Estatística e Probabilidade Aula 06 Distribuições de Probabilidades. Prof. Gabriel Bádue

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1 Estatística e Probabilidade Aula 06 Distribuições de Probabilidades Prof. Gabriel Bádue

2 Teoria A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado. A variável aleatória x é o número de ocorrências do evento em um intervalo. O intervalo pode ser o tempo, a distância, a área, o volume ou outra unidade análoga. A probabilidade de o evento ocorrer x vezes em um intervalo é dado por P x = μx e μ x!

3 Teoria Exigências A variável aleatória x seja o número de ocorrências de um evento em um intervalo. As ocorrências sejam aleatórias. As ocorrências sejam independentes umas das outras. As ocorrências sejam distribuídas uniformemente sobre o intervalo considerado. Parâmetros Média μ. Desvio-padrão σ = μ.

4 Exemplo 1 Esta sendo planejado um novo hospital para Newton, uma comunidade que ainda não tem hospital próprio. Se Newton tem uma média de 2,25 nascimentos por dia, determine a probabilidade de que, em um dia, o número de nascimentos seja a) 0 b) 1 c) 4

5 Teoria Distinções entre as distribuições Binomial e de Poisson A distribuição binomial é afetada por n e p, enquanto a de Poisson apenas por μ. Na distribuição binomial a variável aleatória pertence a um conjunto de naturais limitado a n, enquanto na distribuição de Poisson, o conjunto pode ser ilimitado. Aproximação das distribuições Binomial e de Poisson n 100 e np 10

6 Exemplo 2 Dá-se a seguir um experimento binomial, onde o grande número de provas pode causar problemas sérios com muitas calculadoras. Supere esse obstáculo aproximando a distribuição binomial pela distribuição de Poisson. Apostando no 7 em uma rodada de roleta, temos uma probabilidade de 1/38 de ganhar. Suponha que apostemos no 7 em cada uma de 500 rodadas. a) Determine o número médio de ganhos em tais experimentos. b) Determine a probabilidade de o 7 ocorrer exatamente 13 vezes.

7 Teoria Uma distribuição de probabilidade cuja variável aleatória é contínua é chamada função densidade de probabilidade, obedecendo as condições impostas para qualquer distribuição de probabilidade. f(x) 0 f(x) = 1 f x = 1 2, 0 x 2 f x = 2x, 0 x 1 f x = 3x 2, 0 x 1

8 Teoria Uma variável aleatória contínua tem distribuição normal se essa distribuição é simétrica e apresenta a forma de um sino. A distribuição se ajusta a equação 1 y = e 2 x μ σ σ 2π 2

9 Teoria A distribuição normal padronizada é uma distribuição normal de probabilidade que tem média 0 e desvio-padrão 1. z = x μ σ

10 Exemplo 3 Considerando a distribuição contínua uniforme dada ao lado, calcule a probabilidade de, ao escolher uma temperatura aleatoriamente, sua leitura ser: a) Maior do que 2. b) Menor do que 3. c) Entre 2 e 4. d) Entre 0,8 e 4,7.

11 Exemplo 4 Suponha que as leituras dos termômetros tenham distribuição normal com média de 0 e desvio padrão de 1. Escolhe-se aleatoriamente e testa-se um termômetro. Em cada caso, faça um esboço e determine a probabilidade de cada leitura em graus. a) Entre 0 e 3. b) Entre 0 e -2,33. c) Superior a 2,58. d) Entre 1,34 e 2,67. e) Entre -1,72 e 1,34.

12 Exemplo 5 Suponha os escores z distribuídos normalmente com média 0 e desviopadrão 1. a) Se P 0 < z < a = 0,3212, determine a. b) Se P b < z < b = 0,3182, determine b.

13 Exemplo 6 Admita que as alturas das mulheres tenham distribuição normal com média μ = 63,6 in e desvio-padrão σ = 2,5 in. Admita também que uma mulher seja escolhida aleatoriamente. Ache a probabilidade de: a) P(63,6 in < x < 65 in) b) P(x < 70 in) c) P(x > 58,1 in)