5 Avaliação dos estimadores propostos

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Regina Oliveira Campos
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1 5 valiação dos estimadores propostos Este capítulo apresenta as medidas estatísticas usuais para avaliar a qualidade de estimadores e as expressões utilizadas para a estimação destas medidas, a partir de estudos de simulação. 5.1 Medidas usuais de qualidade dos estimadores Seja um parâmetro na população finita U ou num modelo de interesse, formulado para descrever aspectos desta população finita. Considere um plano amostral probabilístico que será usado para obter uma amostra da população U para estimar. Seja S o conjunto formado por todas as amostras possíveis s que poderiam ser selecionadas da população U de acordo com o plano amostral. qualidade de um estimador ˆ para, sob o plano amostral, é usualmente avaliada por meio de duas medidas: o vício B (ˆ ) e o erro quadrático médio EQM (ˆ ) (Särndal et al, 199; Bolfarine e Bussab, 005). O valor esperado de ˆ, sob o plano amostral, denotado por E ( ˆ ), é definido por: E ( ˆ) s S Pr( s) ˆ( s) =, (5.1) onde Pr(s) é a probabilidade de seleção da amostra s e ˆ (s) é o valor de ˆ para a amostra s. O vício de ˆ, sob o plano amostral, é dado por: B ˆ) = E ( ˆ ) (5.) ( Quando E (ˆ ) = tem-se B ( ˆ ) = 0, ou seja, o estimador ˆ é não-viciado para estimar sob o plano. variância de ˆ é definida por: V ( ˆ) s S Pr( s).[ ˆ( s) E ( ˆ)] = (5.3)

2 86 No caso de estimadores viciados, uma medida de qualidade mais adequada é o erro quadrático médio (EQM): EQM ˆ ] ( ˆ) E [( ) ] = s S Pr( s).[ ˆ( s) - = (5.4) O EQM de um estimador pode ser escrito como função do vício e da variância deste estimador (Bussab e Morettin, 003, p.95): ( ) +[ B ( )] EQM ( ˆ ) = V ˆ ˆ Tanto a variância quanto o EQM de um estimador são inconvenientes para a análise direta por serem expressos em unidade de medida igual ao quadrado da usada na medição. Por este motivo, duas medidas alternativas de variabilidade de ˆ são frequentemente utilizadas: o coeficiente de variação e o erro relativo médio. O coeficiente de variação de ˆ mede a dispersão das estimativas de em relação ao valor esperado de ˆ e é definido por: V ( ˆ ) CV ( ˆ ) = (5.5) E ( ˆ ) O erro relativo médio (EM) de ˆ é definido pela raiz quadrada do erro quadrático médio dividido pelo valor do parâmetro : EQM ( ˆ ) EM ( ˆ ) = (5.6) Sua interpretação pode ser pensada como um coeficiente de variação considerando uma componente de vício (Lila, 004). Note que ambas as medidas de dispersão relativa (CV e EM) são adimensionais e são definidas somente quando E ( ˆ ) ou são positivos conforme (5.5) ou (5.6), respectivamente. lém disso, habitualmente estas medidas são expressas como porcentagens. Também é freqüente considerar o vício relativo de um estimador ˆ definido por: B ( ˆ ) B ( ˆ ) = (5.7) Para facilitar a construção e leitura das tabelas, referentes aos resultados da simulação em ambas as populações de referência (Capítulos 7 e 8), é empregada a seguinte notação para as medidas de qualidade (descritivas) de um estimador ˆ de

3 87 interesse sob o plano amostral : E (valor esperado), EM (erro relativo médio), B r (vício relativo em percentual), V (variância da distribuição amostral). 5. Uso da simulação em amostragem de populações finitas Quando o plano amostral é complexo ou o estimador é não linear obter expressões matemáticas exatas para as medidas de qualidade desse estimador torna-se uma tarefa difícil, ou mesmo impossível em muitas situações. Por este motivo, no contexto da amostragem complexa de populações finitas, é usual aplicar o procedimento de simulação estocástica para avaliação de algumas destas propriedades dos estimadores. Este processo consiste em extrair, de acordo com o plano amostral, réplicas independentes de amostras s da população U. Sejam s1,s,..., s réplicas independentes de amostras extraídas de U segundo o plano amostral. Logo, s1,s,..., s formam uma amostra aleatória simples com reposição dos elementos do conjunto S formado por todas as amostras possíveis sob o plano amostral quando aplicado à população finita U. Consequentemente os valores ˆ (s 1), ˆ (s ),..., ˆ (s ) compõem uma amostra aleatória simples com reposição dos valores possíveis para o estimador ˆ sob o plano amostral aplicado à população U. 5.3 Estimação por simulação das medidas de qualidade O valor esperado do estimador ˆ pode ser estimado usando a média aritmética das estimativas ˆ (s 1), ˆ (s ),..., ˆ (s ) correspondentes às réplicas s1,s,..., s : 1 Ê ( ˆ ) = ˆ (s r ) (5.8) r=1 Uma estimativa do vício B ( ˆ ) pode ser obtida por simulação, da seguinte forma: Bˆ ( ˆ ) = Ê ( ˆ ) - (5.9)

4 88 variância V ( ˆ ) definida em (5.3) pode ser estimada com as réplicas através da seguinte expressão: 1 ( ˆ ) = [ ˆ (sr ) - Ê ( ˆ )] - 1 r=1 Vˆ (5.10) Esta estatística é um estimador não viciado para a variância da distribuição amostral de ˆ, sob o plano amostral. No caso de estimadores viciados, sob o plano amostral, uma estimativa do erro quadrático médio (EQM) de ˆ é dada por: 1 E Qˆ M ( ˆ ) = [ ˆ (sr ) - ] (5.11) O coeficiente de variação de ˆ, que também pode ser estimado a partir das réplicas, é calculado pela razão entre o desvio-padrão da distribuição amostral r=1 empírica de ˆ e a estimativa do valor esperado de ˆ : estimativa do erro relativo médio ˆ é dada por: Vˆ ( ˆ ) Ĉ V ( ˆ ) = (5.1) Ê ( ˆ ) EQˆ M ( ˆ ) Eˆ M ( ˆ ) = (5.13) estimativa do vício relativo de um estimador ˆ é dada por: Bˆ ( ˆ ) ˆ B ( ˆ ) = (5.14) Convém destacar que dependendo do plano amostral escolhido, o valor do parâmetro nas expressões (5.9), (5.11), (5.13) e (5.14) pode ser desconhecido. ssim, torna-se necessário substituí-lo pela estimativa obtida pelo estimador mais apropriado desse parâmetro nálise do vício realização da inferência estatística a respeito do vício do estimador ˆ pode ser efetuada através de um teste de hipótese descrito a seguir: H 0 : B ( ˆ ) = 0 H a : B ( ˆ ) 0

5 89 Como Bˆ ( ˆ ) é uma média de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, decorre do Teorema Central do Limite que a distribuição assintótica de Bˆ ( ˆ ) é normal com média ( ˆ V ˆ B ) e variância ( ), para suficientemente grande. estatística de teste Z é definida como: Z = Bˆ ( ˆ ) Vˆ ( ˆ ) ~ N(0,1). regra de decisão consiste em rejeitar H 0 quando o p valor do teste for menor que α, o nível de significância especificado, sendo o p valor dado por: pvalor = Pr( Z > zα / H o ) onde z α/ é a imagem inversa da distribuição acumulada da Normal padrão avaliada em 1 α /. Caso o p valor seja menor que o nível de significância α adotado, a hipótese nula H 0 é rejeitada, ou seja, há evidência de que o estimador ˆ é viciado para estimar, sob o plano amostral. Em caso contrário, não há evidência ao nível de significância α de que o estimador ˆ seja viciado para estimar, sob o plano amostral. 5.4 nálise do efeito do plano amostral nos estimadores de variância pós a seleção de uma amostra s S, o Efeito do Plano mostral mpliado 1 (EP), desenvolvido por Skinner, Holt e Smith (1989, p.4); é usado para medir o efeito de tratar as observações geradas pela amostra s como se fossem independentes e identicamente distribuídas e, consequentemente usar o estimador ingênuo da variância v 0 ( ˆ ) ao invés de considerar as características do plano amostral na estimação da variância de ˆ. O EP é definido por: 1 Misspecification effect (meff).

6 90 V ( ˆ ) EP ( ˆ;v 0; ) = (5.15) E ( v ( ˆ )) No contexto das pesquisas por amostragem complexa, dependendo do plano amostral adotado, podem estar presentes as seguintes características: conglomeração, estratificação e ponderação. Nesse caso, quando o valor do EP é diferente de 1, isto indica que o efeito do plano amostral complexo não pode ser ignorado na estimação da variância. Dessa forma, o usuário deve ficar ciente que tratar uma amostra complexa como se fosse uma amostra com observações independentes e identicamente distribuídas não é a forma mais adequada para a estimação da variância de ˆ. Num estudo de simulação, uma estimativa do EP pode ser obtida por: 0 Vˆ ( ˆ ) EP Â( ˆ;v 0; ) = (5.16) Ê ( v ( ˆ )) onde v o (s r ) é uma estimativa ingênua da variância de ˆ (s r ) baseada na amostra s r nálise da eficiência dos estimadores de variância Para comparar a eficiência (precisão) relativa dos estimadores de variância v a ( ˆ ) e v b ( ˆ ) é definida uma medida que consiste na razão entre os erros quadráticos médios dos estimadores de variância v a ( ˆ ) e v b ( ˆ ), respectivamente. EQM [ va ( ˆ )] EFF[ va ( ˆ );vb ( ˆ ); ] = (5.17) EQM [ v ( ˆ )] No contexto de um estudo de simulação, esta medida pode ser estimada usando a seguinte estatística de acordo com (5.11): EQˆ M [ va ( ˆ )] EFˆF [ va ( ˆ );vb ( ˆ ); ] = (5.18) EQˆ M [ v ( ˆ )] b b onde EQˆ M [ v a ( ˆ )] e EQˆ M [ v b ( ˆ )] podem ser estimados usando a expressão (5.11) na qual deve ser substituído por Vˆ v ( ˆ )) e Vˆ ( v b ( ˆ )), respectivamente. ( a

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