Teoria da Estimação. Fabricio Goecking Avelar. junho Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas

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1 Teoria da Estimação Fabricio Goecking Avelar Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas junho

2 Algumas distribuições importantes Sumário 1 Algumas distribuições importantes 2 Teoremas Fundamentais 3 Estimação

3 Algumas distribuições importantes Distribuição t de Student Uma variável aleatória X tem distribuição t de Student (ou t- Student), com n > 0 graus de liberdade, se tiver função densidade de probabilidade expressa por ) n+1 2 Γ ( ) ( n x 2 n f (x) = Γ ( ) n, 2 nπ em que Γ(α) = x α 1 e x dx. 0

4 Algumas distribuições importantes Distribuição t de Student X t-student(n) E[X] = 0, se n > 1. Var[X] = n, se n > 2. n 2

5 Algumas distribuições importantes Distribuição t de Student f(x) x Figura 1: Gráfico da função densidade de probabilidades de uma variável aleatória X t-student(3).

6 Algumas distribuições importantes Distribuição Qui-quadrado Uma variável aleatória X tem distribuição Qui-quadrado, com k graus de liberdade, se tiver função densidade de probabilidade expressa por ( 1 2 x 2)k k 2 1 exp ( x ) 2 f (x) = Γ ( ), k 2 em que Γ(α) = x α 1 e x dx. 0

7 Algumas distribuições importantes Distribuição Qui-quadrado X χ 2 k. E[X] = k. Var[X] = 2k.

8 Algumas distribuições importantes Distribuição Qui-quadrado f(x) k = 1 k = 2 k = x Figura 2: Gráfico da função densidade de probabilidades de uma variável aleatória X χ 2 k, com k = 1, 2 e 3.

9 Algumas distribuições importantes Distribuição F de Snedecor Uma variável aleatória X tem distribuição F de Snedecor, com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador, se tiver função densidade de probabilidade expressa por em que β(a, b) = f (x) = ( m n ) m 2 x m 2 2 ( ) 1 + mx m+n 2 ) n, β ( m 2, n 2 1 x a 1 (1 x) b 1 dx, a, b > 0. 0

10 Algumas distribuições importantes Distribuição F de Snedecor X F(m, n) E[X] = n, se n > 2. n 2 Var[X] = 2n2 (m + n 2) m(n 2) 2, se n > 4. (n 4)

11 Algumas distribuições importantes Distribuição F de Snedecor f(x) x Figura 3: Gráfico da função densidade de probabilidades de uma variável aleatória X F(3, 2).

12 Teoremas Fundamentais Sumário 1 Algumas distribuições importantes 2 Teoremas Fundamentais 3 Estimação

13 Teoremas Fundamentais Teorema Seja uma população infinita descrita por uma variável X com distribuição normal N ( µ, σ 2). Se infinitas amostras de tamanho n são coletadas nessa população, então a média X dessas amostras terá distribuição normal com média µ e variância σ2 n.

14 Teoremas Fundamentais Exemplo 1 Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas que têm vida útil distribuída aproximadamente normal, com média igual a 800 horas e desvio padrão de 40 horas. Determine a probabilidade de que uma amostra aleatória de 16 lâmpadas tenha vida útil menor que 775 horas.

15 Teoremas Fundamentais Teorema (Teorema Central do Limite) Seja uma população descrita por uma variável X. Suponha que a média populacional seja µ e que a variância populacional seja σ 2. Se infinitas amostras de tamanho n, suficientemente grandes, são coletadas nessa população, então a média X dessas amostras terá distribuição normal com média µ e variância σ2 n.

16 Teoremas Fundamentais Exemplo 1 A chefe do setor de enfermagem de um certo hospital afirma que pelo menos 70% dos pacientes atendidos pelo hospital estão satisfeitos com o serviço prestado pelas enfermeiras. O diretor do hospital escolheu então, uma amostra aleatória de 500 pacientes e descobriu que 340 pacientes dessa amostra estavam satisfeitos com o serviço prestado pelas enfermeiras. A informação obtida por essa amostra confirma a afirmação da chefe do setor de enfermagem?

17 Teoremas Fundamentais Teorema Seja uma população descrita por uma variável X N ( µ, σ 2). Se infinitas amostras de tamanho n forem coletadas nessa população e, a partir delas forem calculadas x e s 2. Então a variável, t = X µ s 2 n tem distribuição t de Student, com ν = n 1 graus de liberdade (gl.).

18 Teoremas Fundamentais Teorema Seja X uma variável com qualquer distribuição. Suponha que a média de X seja µ e que a variância de X seja σ 2. Seja P uma variável aleatória de alguma proporção relacionada a X. Então, ( para n suficientemente grande, P N p, p(1 p) n ), em que p é a proporção de sucessos obtidos na amostra de tamanho n.

19 Teoremas Fundamentais Teorema Seja uma população infinita descrita por uma variável X N ( µ, σ 2). Suponha que uma amostra de tamanho n seja retirada dessa população e, a partir dessa amostra, seja calculada s 2. Então a estatística: χ 2 = (n 1) s2 σ 2 = ( n Xi X ) 2 σ 2, tem distribuição Qui-quadrado com ν = (n 1) graus de liberdade (gl.). i=1

20 Teoremas Fundamentais Teorema Sejam X χ 2 ν 1 e Y χ 2 ν 2 variáveis aleatórias independentes com distribuição Qui-quadrado com ν 1 e ν 2 graus de liberdade, respectivamente. Então a estatística: F = X/ν 1 Y /ν 2, tem distribuição F de Snedecor com ν 1 graus de liberdade no numerador e ν 2 graus de liberdade no denominador.

21 Estimação Sumário 1 Algumas distribuições importantes 2 Teoremas Fundamentais 3 Estimação

22 Estimação Estimação A estimação de um parâmetro pode ser feita de duas formas: 1 Pontual. 2 Intervalar.

23 Estimação Estimadores pontuais Seja X uma variável aleatória associada a uma população com média µ e variância σ 2. Os estimadores pontuais mais apropriados para µ e σ 2, obtidos a partir de uma amostra de tamanho n, retirada dessa população são: Parâmetro Estimador µ ˆµ = x = σ 2 ˆσ 2 = s 2 = n x i i=1 n n (x i x) 2 i=1 n 1

24 Estimação Estimadores intervalares 1 São obtidos por meio dos intervalos de confiança. 2 Dado um parâmetro θ e um nível de significância α, o intervalo de (1 α) 100% de confiança para θ é o formado pelos números a e b tais que P(a θ b) = (1 α). 3 IC (1 α) 100% (θ) = [a, b].

25 Estimação Intervalo de (1 α) 100% de confiança para a média populacional µ com a variância populacional σ 2 conhecida IC (1 α) 100% (µ) = em que, z ( α 2 ) é o quantil de α 2 O termo z ( α 2 ) σ 2 n erro de estimação. [ x z ( α 2 ) σ 2 n ; x + z ( α 2 ) ] σ 2 da distribuição normal padrão. pode ser chamada margem de erro e/ou n

26 Estimação Exemplo 1 Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas que têm vida útil distribuída aproximadamente normal, com variância igual a 1600 horas 2. Em uma amostra de 16 lâmpadas foi obtida média igual a 800 horas. Encontre o intervalo de 95% de confiança para a média.

27 Estimação Intervalo de (1 α) 100% de confiança para a média populacional µ com a variância populacional desconhecida IC (1 α) 100% (µ) = [ x t (n 1, α 2 ) s 2 n ; x + t (n 1, α 2 ) ] s 2 n em que, t ( α 2 ) é o quantil de α 2 n 1 graus de liberdade. da distribuição t de Student com

28 Estimação Exemplo 1 Um engenheiro químico afirma que a média populacional do rendimento de certo lote do processo é 500 gramas por mililitro de matéria-prima. Para checar essa informação, ele amostra 25 lotes a cada mês. Se o valor de 500 gramas por mililitro ficar dentro do intervalo de confiança de 90%, ele fica satisfeito com sua afirmação. Em um determinado mês, o resultado do rendimento teve média igual a 518 gramas por mililitro e desvio padrão de 40 gramas por mililitro. Nesse mês ele ficou satisfeito com sua afirmação?

29 Estimação Intervalo de (1 α) 100% de confiança para a proporção P de uma distribuição Normal IC (1 α) 100% (P) = [ p z α 2 p(1 p) n ; p + z α 2 ] p(1 p) n em que, z α 2 é o quantil de α 2 da distribuição Normal padrão, p é o número de ocorrências do evento de interesse dividido por n, que é o tamanho da amostra.

30 Estimação Exemplo 1 A chefe do setor de enfermagem de um certo hospital afirma que 70% dos pacientes atendidos pelo hospital estão satisfeitos com o serviço prestado pelas enfermeiras. O diretor do hospital escolheu então, uma amostra aleatória de 500 pacientes e descobriu que 340 pacientes dessa amostra estavam satisfeitos com o serviço prestado pelas enfermeiras. Com 99% de confiança, a informação obtida por essa amostra confirma a afirmação da chefe do setor de enfermagem?

31 Estimação Intervalo de (1 α) 100% de confiança para a variância populacional σ 2 Se uma amostra de tamanho n é retirada de uma população com distribuição Normal com variância σ 2, então: [ ] IC (1 α) 100% (σ 2 (n 1)s 2 (n 1)s 2 ) = ; χ 2 α 2 χ 2 1 α 2 em que, χ 2 α e χ 2 1 α são os quantis de α e de 1 α 2, respectivamente, da distribuição χ 2 ν com χ = n 1 graus de liberdade.

32 Estimação Exemplo 1 Os pesos, em decagramas, de dez pacotes de sementes de grama são: 46,4 46,1 45,8 47,0 46,1 45,9 45,8 46,9 45,2 46,0 Assumindo que o peso dos pacotes sementes de grama possui distribuição normal, determine o intervalo de 90% confiança para a variância.

33 Estimação Correção para populações finitas Para população finita, o erro de estimação deverá ser multiplicado pelo fator de correção N n N 1, ou seja, [ ] N n IC ((1 α) 100%) (θ) = ˆθ ± e, N 1 em que N é o tamanho da população e n é o tamanho da amostra.