Notas de Aula. Estatística Elementar. by Mario F. Triola. Tradução: Denis Santos

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1 Notas de Aula Estatística Elementar 10ª Edição by Mario F. Triola Tradução: Denis Santos Slide 1

2 Capítulo 8 Teste de Hipótese 8-1 Visão Geral 8-2 Fundamentos do Teste de Hipótese 8-3 Testando Afirmações sobre uma Proporção 8-4 Testando Afirmações sobre uma Média: σ Conhecido 8-5 Testando Afirmações sobre uma Média: σ Desconhecido 8-6 Testando Afirmações sobre o Desvio Padrão ou Variância Slide 2

3 Seção 8-1 Visão Geral Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 3

4 Definições Em estatística, uma hipótese é uma afirmação ou setença sobre as propriedades de uma população. Um Teste de hipótese (ou teste de significância) é um procedimento padronizado para testar uma afirmação sobre as propriedades de uma população. Slide 4

5 Regra do Evento Raro para a Inferência Estatística Se, sob uma dada suposição, a probabilidade de um evento particular observado é excepcionalmente pequena, nós concluímos que a suposição provavelmente não é correta. Slide 5

6 Exemplo: As Indústrias ProCare Ltda. forneceram, certa vez, um produto chamado Gender Choice (Escolha o Sexo) que, de acordo com a propaganda, permitia aos casais aumentar em até 80% as suas chances de ter uma menina. Suponha que façamos um experimento com 100 casais que querem ter meninas e que eles sigam o Gender Choice, um sistema fácil de usar em casa descrito na embalagem cor de rosa para meninas. Com o propósito de testar a afirmação de que há um acréscimo na proporção de meninas vamos assumir que o Gender Choice não tem efeito. Usando o bom senso e nenhum método formal de estatística, o que podemos concluir sobre a suposição de nenhum efeito do Gender Choice se 100 casais usando Gender Choice tiverem 100 bebês sendo: a) 52 meninas? b) 97 meninas? Slide 6

7 Exemplo: Indústrias ProCare Industries Ltda.: Parte a) a) Nós em geral esperamos cerca de 50 meninas em 100 nascimentos. O resultado de 52 meninas é bastante próximo de 50, então não podemos concluir que o Gender Choice é realmente eficaz. Se os 100 casais não usaram nenhum método especial para seleção de gênero, o resultado de 52 meninas pode ocorrer facilmente. A suposição de não efeito do Gender Choice aparenta ser correta. Não temos evidência para afirmar que p Gender Choice é eficiente. Slide 7

8 Exemplo: Indústrias ProCare Industries Ltda.: Parte b) b) O resultado de 97 meninas em 100 nascimentos é extremamente improvável de acontecer. Podemos explicar este fato por duas maneiras: Um evento extremamente raro ocorreu devido a fatores aleatórios, ou o Gender Choice é eficiente. A probabilidade extremamente baixa em termos 97 meninas em 100 nascimentos é uma forte evidência contra a suposição inicial de que o Gender Choice não funciona. Slide 8

9 Seção 8-2 Fundamentos de Teste de Hipótese Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 9

10 Pontos Chave Esta seção apresenta os componentes individuais de um teste de hipótese, e as seções seguintes usarão estes componentes em um procedimento claro e objetivo. A função de cada um deles deve ser bem compreendido: Hipótese Nula Hipótese Alternativa Estatística do Teste Região Crítica Nível de Significância Valor Crítico P-valor Erro Tipo I e II Slide 10

11 Seção 8-2 Objetivos Dada uma afirmação, identificar as hipóteses nula e alternativa, e expressá-las em forma simbólica. Dada uma afirmação e uma amostra, calcular o valor da estatística do teste. Dado um nível de significância. Identificar o(s) valor(es) crítico(s). Dado o valor da estatística do teste, identificar o P-valor. Formar uma conclusão a respeito do teste de hipótese em uma linguagem simples e não técnica. Slide 11

12 Exemplo: Vamos usar novamente o exemplo do Gender Choice que foi distribuido pelaws Indústrias ProCare. As Indústrias ProCare afirmaram que os casais que usarem a caixa rosa do Gender Choice terão as chances de terem meninas maiores que 50%, ou 0,5. Vamos novamente considerar o experimento onde 100 casais usam o Gender Choice com a intenção de terem uma menina. Vamos assumir que nos 100 nascimentos temos exatamente 52 meninas, e vamos formalizar algumas análises: Sob circunstâncias normais a proporção de meninas é de 0,5, então a afirmação de que o Gender Choice é funcional pode ser expressa como p > 0,5. Usando a distribuição normal como uma aproximação à binomial nós achamos que P(52 ou mais meninas em 100 nascimentos) = 0,3821. A Figura 8-1 a seguir mostra que com uma probabilidade de 0,5, a ocorrência de 52 meninas em 100 nascimentos não é incomum. Slide 12

13 Figura 8-1 Nós não podemos excluir o efeito aleatório como uma possível explicação. Concluímos, então, que a proporção de meninas que nasceram de casais que usaram o Gender Choice não é significantemente maior do que o número esperado devido a fatores aleatórios. Slide 13

14 Observações Afirmação: Para casais que usam Gender Choice, a proporção de meninas é p > 0.5. Suposição de trabalho: A proporção de meninas é p = 0.5 (com o Gender Choice sem surtir efeito). A amostra apresenta 52 meninas em 100 nascimentos, então a proporção amostral éˆp = 52/100 = Assumindo que p = 0.5, nós usamos a distribuição normal como uma aproximação à distribuição binomial para achar que P (Pelo menos 52 meninas em 100 nascimentos) = Há duas possíveis explicações para o resultado de 52 meninas em 100 nascimentos: Ou uma variação aleatória ocorreu (com probabilidade igual a ), ou a proporção de meninas nascidas de casais que usaram Gender Choice é maior que 0.5. Não há evidência suficiente para basear afirmação do Gender Choice. Slide 14

15 Componentes de um Teste de Hipótese Formal Slide 15

16 Hipótese Nula: H 0 A hipótese nula (denotada por H 0 ) é 0 uma suposição de que o valor de um parâmetro populacional (tal como a proporção, média ou desvio padrão) é igual a algum valor pré-fixado. Nós testamos a hipótese nula diretamente. Podemos rejeitar H 0 ou não rejeitar H 0. Slide 16

17 Hipótese Alternativa: H 1 A hipótese alternativa (denotada por H 1 ou H a ou H A ) é a suposição de que o parâmetro populacional tem um valor que difere do apresentado na hipótese nula. A forma simbólica para a hipótese alternativa deve usar um destes sinais:, <, >. Slide 17

18 Notas sobre Como Formar suas Próprias Afirmações (Hipóteses) Se você está executando um estudo e quer usar um teste de hipótese para basear a sua afirmação, esta afirmação dever ser escrita de tal forma que se torne a hipótese alternativa. Slide 18

19 Notas sobre Como Identificar H 0 e H 1 Figura 8-2 Slide 19

20 Exemplo: Identifique as hipóteses nulas e alternativas. Use a Figura 8-2 e com base nas afirmações dadas expresse as hipóteses nula e alternativa correspondentes em forma simbólica. a) A proporção de motoristas que admitem passar em sinal vermelho é maior que 0,5. b) A altura média dos jogadores de basquetes da liga profissional é de no máximo 2,14m. c) O desvio padrão do escore de QI dos atores é igual a 15. Slide 20

21 Exemplo: Identifique as hipóteses nulas e alternativas. Use a Figura 8-2 e com base nas afirmações dadas expresse as hipóteses nula e alternativa correspondentes em forma simbólica. a) A proporção de motoristas que admitem ultrapassar o sinal vermelho é maior que 0,5. No passo 1 da Figura 8-2, nós expressamos a afirmação dada como p > 0.5. No passo 2I, nós vemos que se p > 0.5 é falso, então p 0.5 deve ser verdadeiro. No passo 3, observamos que a expressão p > 0.5 não contém a igualdade, então nós determinamos a hipótese alternativa H 1 como p > 0.5, e a hipótese nula H 0 como p = 0.5. Slide 21

22 Exemplo: Identifique as hipóteses nulas e alternativas. Use a Figura 8-2 e com base nas afirmações dadas expresse as hipóteses nula e alternativa correspondentes em forma simbólica. b) A altura média dos jogadores de basquetes da liga profissional é de no máximo 2,14m. No passo 1 da Figura 8-2 nós expressamos a média é de no máximo 2,14m simbolicamente como µ 2,14. No passo 2, nós vemos que se µ 2,14 é falsam então µ > 2,14 deve ser verdadeiro. No passo 3, nós vemos que se a expressão µ > 2,14 não contém a igualdade, então a hipótese alternativa H 1 será µ > 2,14, e H 0 será µ = 2,14. Slide 22

23 Exemplo: Identifique as hipóteses nulas e alternativas. Use a Figura 8-2 e com base nas afirmações dadas expresse as hipóteses nula e alternativa correspondentes em forma simbólica. c) O desvio padrão do escore de QI dos atores é igual a 15. No passo 1 da Figura 8-2 nós representamos esta afirmação como σ = 15. No passo 2, vemos que se σ = 15 é falso, então σ 15 deve ser verdadeiro. No passo 3, temos que a hipótese alternativa H 1 será σ 15, e que H 0 será σ = 15. Slide 23

24 Estatística de Teste A estatística do teste é um valor usado para tomar a decisão sobre a hipótese nula, e é calculada convertendo a estatística amostral em um escore com a suposição de que a hipótese nula é verdadeira. Slide 24

25 Estatística do Teste - Fórmulas z = p/\ - p pq n z = x - µ x σ χ 2 = n (n 1)s2 σ 2 Estatística do teste para proporções Estatística do teste para média Estatística do teste para desvio padrão Slide 25

26 Exemplo: Uma pesquisa com uma amostra aleatória de 880 motoristas adultos mostrou que 56% (ou p = 0.56) destes respondentes admitiram que ultrapassavam o sinal fechado. Encontre o valor da estatística do teste para a afirmação de que a maioria dos adultos admitem ultrapassar o sinal fechado. (Na Seção 8-3 nós veremos que há algumas suposições a serem observadas. Para este exemplo, admitamos que estas suposições são obedecidas e vamos nos focar em encontrar a estatística do teste adequada.) Slide 26

27 Solução: O exemplo anterior mostrou que a afirmação dada resulta nas seguintes hipóteses nula e alternativa: H 0 : p=0.5 e H 1 : p>0.5. Devido a trabalharmos sob a suposição de que a hipótese nula é verdadeira, ou seja, p=0.5, nós temos a seguinte estatística do teste: z = p /\ p = pq n (0.5)(0.5) 880 = 3.56 Slide 27

28 Interpretação: Nós sabemos dos capítulos anteriores que o valor de z=3,56 é excepcionalmente alto. Isto indica que mais que ser maior que 50%, o resultado amostral de 56% é significativamente maior que 50%. Veja figura abaixo: Slide 28

29 Região Crítica, Valor Crítico, Estatística do Teste Slide 29

30 Região Crítica A região crítica (ou região de rejeição) é o conjunto de valores para a estatística do teste que nos faz rejeitar a hipótese nula. Por exemplo, veja a região sombreada em vermelho na figura anterior. Slide 30

31 Nível de Significância O nível de significância (denotado por α) é a probabilidade de que a estatística do teste irá pertencer à região crítica quando a hipótese nula for verdadeira. Este é o mesmo α que introduzimos na Seção 7-2. Valores comuns para α são 0.05, 0.01, e Slide 31

32 Valor Crítico Um valor crítico é qualquer valor que separa a região crítica (onde rejeitamos a hipótese nula) dos valores da estatística do teste que não nos faz rejeitar a H 0. O valor crítico depende da natureza da hipótese nula, da distribuição amostral que é utilizada, e do nível de significância α. Veja na figura anterior que o valor crítico de z=1.645 corresponde ao nível de significância de α=0.05. Slide 32

33 Testes Bilateral, Unilateral à Esquerda e Unilateral à Direita As caudas em uma distribuição são regiões nos extremos das mesmas limitados por valores críticos. Slide 33

34 Teste Bilateral H 0 : = H 1 : α é dividido igualmente entre as duas caudas da região crítica Significa menor ou maior que Slide 34

35 Teste Unilateral à Direita H 0 : = H 1 : > Pontos à Direita Slide 35

36 Teste Unilateral à Esquerda H 0 : = Pontos à Esquerda H 1 : < Slide 36

37 P-Valor O P-valor (ou p-valor ou valor de probabilidade) é a probabilidade de ter um valor da estatística de teste que está pelo menos tão extremo como a estatística calculada para a amostra em questão, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. A hipótese nula é rejeitado se o P-valor é muito pequeno, tal como 0,05 ou menos. Slide 37

38 Conclusões em Testes de Hipótese Nós sempre testamos a hipótese nula; A conclusão inicial será sempre uma das abaixo: 1. Rejeitar a hipótese nula. 2. Falhar em rejeitar a hipótese nula. Slide 38

39 Regra de Decisão Método Tradicional: Rejeitamos H 0 se a estatística de teste pertence à região crítica. Falhamos em rejeitar H 0 se a estatística de teste não pertence à região crítica. Slide 39

40 Regra de Decisão - cont Método do P-valor: Rejeitamos H 0 se o P-valor α (onde α é o nível de significância, como 0,05, por exemplo.). Falhamos em rejeitar H 0 se o P- valor>α. Slide 40

41 Regra de Decisão - cont Uma outra opção: Ao invés de usar um nível de significância (feito 0,05, por exemplo), simplesmente identifique o P-valor e deixe a decisão para o leitor. Slide 41

42 Regra de Decisão - cont Intervalos de Confiança: Devido ao IC para um parâmetro populacional conter os valores mais prováveis para este parâmetro, rejeitamos a afirmação de que o parâmetro não é igual a um determinado valor se ele não estiver contido no IC. Slide 42

43 Procedimento para Encontrar o P-Valor Figura 8-6 Slide 43

44 Exemplo: Como calcular o P-valor: Primeiro, verifique se as condições dadas resultam em um teste bilateral ou unilateral à esquerda ou à direita. Em seguida, calcule o P-valor e formule sua conclusão a respeito da hipótese nula. a) Um nível de significância α=0.05 é usado para testar a afirmação de que p>0.25, e os dados amostrais resultaram em uma estatística de teste z=1.18. b) Um nível de significância α=0.05 é usado para testar a afirmação de que p 0.25, e os dados amostrais resultaram em uma estatística de teste z = Slide 44

45 Exemplo: Como calcular o P-valor: Primeiro, verifique se as condições dadas resultam em um teste bilateral ou unilateral à esquerda ou à direita. Em seguida, calcule o P-valor e formule sua conclusão a respeito da hipótese nula. a) Com a afirmação de que p>0.25, temos que o teste é unilateral à direita. Assim, de acordo com a Figura 8-6, temos que o P-valor é a área à direita da estatística do teste z=1.18. Usando a Tabela A-2 encontramos que a área à direita é Assim, temos que o P-valor=0.1190, sendo maior que o nível de significância, e não podemos rejeitar a hipótese nula. O P-valor é relativamente alto, o que indica que este resultado amostral pode ocorrer facilmente devido à aleatoriedade do processo. Slide 45

46 Exemplo: Como calcular o P-valor: Primeiro, verifique se as condições dadas resultam em um teste bilateral ou unilateral à esquerda ou à direita. Em seguida, calcule o P-valor e formule sua conclusão a respeito da hipótese nula. b) Com a afirmação de que p 0.25, o teste é bilateral, e como a estatística do teste z=2.34 está à direita do centro da distribuição, de acordo com a Figura 8-6 temos que o P-valor é igual ao dobro da área à direita de z=2.34. Utilizando a Tabela A-2 nós vemos que a área à direita de z=2.34 é , assim, temos que P- valor=2x0.0096= O P-valor é menor que o nível de significância, assim rejeitamos a hipótese nula. O valor pequeno do P-valor indica que este resultado amostral é bastante raro, considerando H 0 válida. Slide 46

47 Escrevendo as Conclusões Finais Figura 8-7 Slide 47

48 Aceitar Versus Não Rejeitar Alguns autores usam aceitar a hipótese nula. Nós não estamos provando a hipótese nula. A amostra evidencia que não temos força para rejeitar a hipótese nula (Assim como não temos evidência de que a hipótese é verdadeira). Slide 48

49 Erro Tipo I Um Erro Tipo I é o erro cometido ao rejeitarmos H 0 quando ela é verdadeira. A letra grega α é usada para representar a probabilidade de se cometer o Erro Tipo I. Slide 49

50 Erro Tipo II Um Erro Tipo II é o erro cometido quando não rejeitamos H 0 e ela é falsa. A letra grega β é usada para representar a probabilidade de se cometer o Erro Tipo II. Slide 50

51 Exemplo: Assuma que estamos realizando um teste de hipótese para p>0.5. Aqui, temos que as hipóteses nula e alternativa são: H 0 :p=0.5, e H 1 :p>0.5 a) Identifique um erro tipo I. b) Identifique um erro tipo II. Slide 51

52 Exemplo: Assuma que estamos realizando um teste de hipótese para p>0.5. Aqui, temos que as hipóteses nula e alternativa são: H 0 :p=0.5, e H 1 :p>0.5. a) Um erro tipo I é o erro de se rejeitar uma hipótese nula verdadeira, então neste caso, o erro tipo I ocorrerá quando tivermos evidências de que p>0.5, quando na verdade temos p=0.5. Slide 52

53 Exemplo: Assuma que estamos realizando um teste de hipótese para p>0.5. Aqui, temos que as hipóteses nula e alternativa são: H 0 :p=0.5, e H 1 :p>0.5 b) Um erro tipo II é o erro de não rejeitarmos uma hipótese nula falsa, ou seja, para este exemplo seria não rejeitar p=0.5 (e por conseqüência não aceitar que p>0.5) quando na verdade temos p>0.5. Slide 53

54 Erro Tipo I e Erro Tipo II Slide 54

55 Controlando os Erros Tipo I e Tipo II Para qualquer α fixado, um aumento no tamanho da amostra n causa uma diminuição em β. Para qualquer tamanho de amostra n fixo, uma diminuição de α causará em aumento de β. Inversamente, um acréscimo em α causará uma dimnuição em β. Para diminuir tanto α quanto β, temos que aumentar o tamanho da amostra. Slide 55

56 Definição O poder do teste de hipótese é a probabilidade (1 - β ) de rejeitar uma hipótese nula falsa, que é calculada usando um valor fixo para o nível de significância α e um valor fixo para o parâmetro populacional que é uma alternativa ao valor assumido como verdadeiro na hipótese nula. Em outras palavras, o poder do teste de hipótese é a probabilidade de aceitar uma hipótese alternativa verdadeira. Slide 56

57 Metodologia Detalhada do Teste de Hipótese Método do P- valor Slide 57

58 Metodologia Detalhada do Teste de Hipótese Método Tradicional Slide 58

59 Metodologia Detalhada do Teste de Hipótese - cont Um IC para um parâmetro populacional contém os valores mais verossímeis para este parâmetro. Nós podemos então rejeitar uma afirmação de que o parâmetro populacional não está incluído bo IC. Veja na Tabela 8-2 abaixo os níveis de confiança do IC para os níveis de significância de acordo com o tipo do teste (bilateral ou unilateral): Slide 59

60 Metodologia Detalhada do Teste de Hipótese - cont Cuidado: Em alguns casos, a conclusão baseada no IC pode diferir da conclusão do teste de hipótese. Veja os comentários presentes em cada uma das seções seguinte. Slide 60

61 Recapitulando In this section we have discussed: Hipótese Nula Hipótese Alternativa Estatística do Teste Região Crítica Nível de Significância e P-valor Valor Crítico Erro Tipo I e II Poder de um Teste de Hipótese Slide 61

62 Seção 8-3 Testando uma Afirmação sobre uma Proporção Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 62

63 Pontos Chave Esta seção apresenta o procedimento completo para testar a hipótese feita sobre uma proporção populacional. Esta seção utiliza os componentes apresentados na seção anterior para os métodos do P-valor, tradicional ou uso do I.C. Slide 63

64 Requisitos para Testar Afirmações sobre uma Proporção Populacional p 1) As observações devem vir de um plano de amostra aleatória simples. 2) As condições para a distribuição binomial são satisfeitas (Seção 5-3). 3) As condições np 5 e nq 5 são satisfeitas, então a distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição normal com µ = np and σ = npq. Slide 64

65 Notação n = número de tentativas p = x (proporção amostral) n p = proporção populacional (usada na hipótese nula) q = 1 p Slide 65

66 Estatística de Teste para Testar uma Afirmação sobre uma Proporção z = p p pq n Slide 66

67 Método do P-Valor Use a mesma metodologia descrita na Seção 8-2 e na Figura 8-8. Use a distribuição normal padronizada (Tabela A-2). Slide 67

68 Método Tradicional Use a mesma metodologia descrita na Seção 8-2 e na Figura 8-9. Slide 68

69 Método do Intervalo de Confiança Use a mesma metodologia descrita na Seção 8-2 e na Tabela 8-2. Slide 69

70 Exemplo: Um artigo distribuído pela Associated Press incluía estes resultados de relativos a uma pesquisa nacional: De 880 motoristas selecionados aleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavam o sinal vermelho. A afirmação é que a maioria dos americanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5. Os dados amostrais são n=880, e p=0,56. np = (880)(0,5) = nq = (880)(0,5) = Slide 70

71 Exemplo: Um artigo distribuído pela Associated Press incluía estes resultados de relativos a uma pesquisa nacional: De 880 motoristas selecionados aleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavam o sinal vermelho. A afirmação é que a maioria dos americanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5. Os dados amostrais são n=880, e p=0,56. Nós usaremos o Método do P-valor. H 0 : p = 0.5 H 1 : p > 0.5 α = 0.05 z = p p = = 3.56 pq n (0.5)(0.5) 880 De acordo com a Tabela A-2, observamos que para valores de z = 3.50 ou maiores, nós usamos para a área acumulada à esquerda da estatística do teste. O P-valor é = Como o P-valor é menor que α = 0.05, rejeitamos a hipótese nula. Não temos evidências suficientes para admitirmos a hipótese nula como válida. Slide 71

72 Exemplo: Um artigo distribuído pela Associated Press incluía estes resultados de relativos a uma pesquisa nacional: De 880 motoristas selecionados aleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavam o sinal vermelho. A afirmação é que a maioria dos americanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5. Os dados amostrais são n=880, e p=0,56. Nós usaremos o Método do P-valor. H 0 : p = 0.5 H 1 : p > 0.5 α = 0.05 z = 3.56 Slide 72

73 Exemplo: Um artigo distribuído pela Associated Press incluía estes resultados de relativos a uma pesquisa nacional: De 880 motoristas selecionados aleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavam o sinal vermelho. A afirmação é que a maioria dos americanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5. Os dados amostrais são n=880, e p=0,56. Nós usaremos o Método Tradicional. z = p p = = 3.56 H 0 : p = 0.5 H 1 : p > 0.5 pq (0.5)(0.5) α = 0.05 n 880 Este é um teste bilateral à direita, então a região crítica é uma área de 0,05. Assim, temos que z=1,645 é o valor crítico da região crítica. Portanto, rejeitamos a hipótese nula. Não temos evidências suficientes para admitirmos a afirmação como válida. Slide 73

74 Exemplo: Um artigo distribuído pela Associated Press incluía estes resultados de relativos a uma pesquisa nacional: De 880 motoristas selecionados aleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavam o sinal vermelho. A afirmação é que a maioria dos americanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5. Os dados amostrais são n=880, e p=0,56. Nós usaremos o Método do IC. Para testar uma hipótese unilateral com nível de significância α, nós iremos construir um intervalo de confiança com 1 2α de nível de confiança. Nós contruimos um IC com 90% de confiança. Nós obtemos < p < Estamos 90% confiantes que o valor verdadeiro de p está contido no intervalo de limites e Assim, não podemos afirmar que p>0.5, já que esse valor não pertence ao IC. Slide 74

75 CUIDADO Quando testamos afirmações sobre proporção populacional, o método tradicional e o método do P- valor são equivalentes e terão os mesmos resultados desde que usem o mesmo desvio padrão baseado na proporção suposta p. Por outro lado, o IC usa um desvio padrão estimado baseado na proporção amostral p. Consequentimente, é possível que os métodos tradicional e P-valor tenham uma conclusão diferente do que o método do IC. Uma boa tática é utilizar o IC para estimar a proporção populacional, mas utilizar os métodos tradicional ou P- valor para teste de hipótese. Slide 75

76 Obtendo P p algumas vezes é informado diretamente: 10% dos carros esportivos observados são vermelho é expresso como p = 0.10 p algumas vezes é calculado: 96 residências pesquisadas têm TV a cabo e 54 não é calculado usando x n 96 (96+54) p = = = 0.64 (determinando a proporção amostral de residências com TV a cabo) Slide 76

77 Exemplo: Quando Gregory Mendel realizou seu famoso experimento de hibridação com ervilhas, um dos experimentos resultou em uma geração constituída de 428 ervilhas com vagens verdes e 152 com vagens amarelos. Segundo a teoria de Mendel, 1/4 das ervilhas desta geração teria bagos amarelos. Use 5% de significância com o método do P-valor para testar a afirmação de Mendel. Nós notamos que n= =580, então p = 0.262, e p = Slide 77

78 Exemplo: Quando Gregory Mendel realizou seu famoso experimento de hibridação com ervilhas, um dos experimentos resultou em uma geração constituída de 428 ervilhas com vagens verdes e 152 com vagens amarelos. Segundo a teoria de Mendel, 1/4 das ervilhas desta geração teria bagos amarelos. Use 5% de significância com o método do P-valor para testar a afirmação de Mendel. H 0 : p = 0.25 H 1 : p 0.25 n = 580 α = 0.05 p = z = p p pq n = = 0.67 (0.25)(0.75) 580 Já que este é um teste bilateral, o P-valor será o dobro da área à direita da estatística do teste. Usando a Tabela A-2, o P-valor para z = 0.67 é = Slide 78

79 Exemplo: Quando Gregory Mendel realizou seu famoso experimento de hibridação com ervilhas, um dos experimentos resultou em uma geração constituída de 428 ervilhas com vagens verdes e 152 com vagens amarelos. Segundo a teoria de Mendel, 1/4 das ervilhas desta geração teria bagos amarelos. Use 5% de significância com o método do P-valor para testar a afirmação de Mendel. H 0 : p = 0.25 H 1 : p 0.25 n = 580 α = 0.05 p = z = p p pq n = = 0.67 (0.25)(0.75) 580 O P-valor é 2x0.2514= Assim, não podemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, não há evidência suficiente para refutar a afirmação de que ¼ das ervilhas desta geração tenham vagens amarelos. Slide 79

80 Recapitulando Nesta seção nós vimos: Teste estatístico para afirmações sobre uma proporção. Método do P-valor. Método do IC. Obtendo p. Slide 80

81 Seção 8-4 Testando Afirmações sobre uma Média: σ Conhecido Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 81

82 Pontos Chave Esta seção apresenta os métodos para se testar afirmações sobre a média de uma população, dado que o desvio padrão desta população é conhecido. Esta seção utiliza a distribuição normal com os mesmos componentes introduzidos na Seção 8-2. Slide 82

83 Requisitos para Testar Afirmações sobre uma Média Populacional (com σ Conhecido) 1) A amostra foi extraída segundo um plano de amostra aleatória simples. 2) O valor do desvio padrão populacional σ é conhecido. 3) Pelo menos uma destas condições deve ser satisfeita: a população é normalmente distribuída ou n>30. Slide 83

84 Estatística do Teste para Testar Afirmações sobre uma Média (com σ Conhecido) x µ x z = σ n Slide 84

85 Exemplo: Temos uma amostra da temperatura corporal de 106 pessoas, tendo média F. Assuma que esta amostra veio de uma amostra aleatória simples e que o desvio padrão populacional σ é conhecido e igual a 0.62 F. Teste com 5% de significância a idéia popular de que a temperatura corporal média de adultos sadios é igual a 98.6 F. Use o método do P-valor. H 0 : µ = 98.6 H 1 : µ 98.6 α = 0.05 x = 98.2 σ = 0.62 z = x µ x σ = n = Este é um teste bilateral e a estatística do teste está à esquerda do centro da distribuição, logo o P-valor é igual ao dobro da área à esquerda de z= Utilizando a Tabela A-2 calculamos que a área à esquerda de z= 6.64 é , assim o P-valor é 2x(0.0001) = igual a Slide 85

86 Exemplo: Temos uma amostra da temperatura corporal de 106 pessoas, tendo média F. Assuma que esta amostra veio de uma amostra aleatória simples e que o desvio padrão populacional σ é conhecido e igual a 0.62 F. Teste com 5% de significância a idéia popular de que a temperatura corporal média de adultos sadios é igual a 98.6 F. Use o método do P-valor. H 0 : µ = 98.6 H 1 : µ 98.6 α = 0.05 x = 98.2 σ = 0.62 z = 6.64 Slide 86

87 Exemplo: Temos uma amostra da temperatura corporal de 106 pessoas, tendo média F. Assuma que esta amostra veio de uma amostra aleatória simples e que o desvio padrão populacional σ é conhecido e igual a 0.62 F. Teste com 5% de significância a idéia popular de que a temperatura corporal média de adultos sadios é igual a 98.6 F. Use o método do P-valor. H 0 : µ = 98.6 H 1 : µ 98.6 α = 0.05 x = 98.2 σ = 0.62 z = 6.64 Como o P-valor é igual a , e como este valor é menor que o nível de significância α=0.05, nós rejeitamos a hipótese nula. Assim, temos evidência suficiente para concluir que a temperatura corporal média de adultos saudáveis é diferente de 98.6 F. Slide 87

88 Exemplo: Temos uma amostra da temperatura corporal de 106 pessoas, tendo média F. Assuma que esta amostra veio de uma amostra aleatória simples e que o desvio padrão populacional σ é conhecido e igual a 0.62 F. Teste com 5% de significância a idéia popular de que a temperatura corporal média de adultos sadios é igual a 98.6 F. Use o método tradicional. H 0 : µ = 98.6 H 1 : µ 98.6 α = 0.05 x = 98.2 σ = 0.62 z = 6.64 Nós encontramos como valores críticos z= 1.96 e z=1.96. Nós rejeitamos a hipótese nula, pois a estatística do teste z= 6.64 pertence à região crítica. Temos evidência suficiente para concluir que a temperatura corporalmédia de adultos saudáveis é diferente de 98.6 F. Slide 88

89 Exemplo: Temos uma amostra da temperatura corporal de 106 pessoas, tendo média F. Assuma que esta amostra veio de uma amostra aleatória simples e que o desvio padrão populacional σ é conhecido e igual a 0.62 F. Teste com 5% de significância a idéia popular de que a temperatura corporal média de adultos sadios é igual a 98.6 F. Use o método do intervalo de confiança. H 0 : µ = 98.6 H 1 : µ 98.6 α = 0.05 x = 98.2 σ = 0.62 Para um teste de hipótese bilateral com 5% de significância, construímos um IC com 95% de confiabilidade. Assim, temos: < µ < Nós estamos 95% confiantes de que o intervalo de a contém o valor verdadeiro de µ, assim, aparentemente 98.6 nãopode ser o valor verdadeiro de µ. Slide 89

90 Relações Subjacentes ao Teste de Hipótese Se, sob uma dada suposição, temos uma probabilidade extremamente pequena de obtermos um resultado amostral tão extremo como o que observamos, podemos concluir que a suposição inicial provavelmente não é correta. Quando testamos uma afirmação, fazemos uma suposição de igualdade (com a hipótese nula). A seguir, comparamos esta suposição com o resultado obtido com a amostra e tomamos uma destas conclusões: Slide 90

91 Relações Subjacentes ao Teste de Hipótese - cont Se o resultado amostral (ou resultado mais extremo) pode ocorrer facilmente quando a suposição (hipótese nula) é verdadeira, podemos atribuir a relativamente curta discrepância entre a suposição e o resultado amostral ter ocorrido devido a fatores aleatórios. Se o resultado amostral não pode ocorrer facilmente quando a suposição (hipótese nula) é verdadeira, nós explicamos a relativamente grande discrepância entre a suposição e o resultado amostral concluindo que a suposição inicial não é verdadeira, rejeitando, assim, esta suposição. Slide 91

92 Recapitulando Nesta seção nós apresentamos: Requisitos para testar afirmações sobre médias populacionais, com σ conhecido. Método do P-valor. Método Tradicional. Método do Intervalo de Confiança. Relações para os testes de hipótese. Slide 92

93 Seção 8-5 Testando Afirmações sobre uma Média : σ Desconhecido Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 93

94 Pontos Chave Esta seção apresenta a metodologia para testar afirmações sobre a média populacional quando não temos o valor de σ. Os métodos desta seção utilizam a distribuição t de Student vista anteriormente. Slide 94

95 Requisitos para Testar Afirmações sobre a Média com σ Desconhecido 1) A amostra foi extraída segundo um plano de amostra aleatória simples. 2) O valor do desvio padrão populacional σ não é conhecido. 3) Pelo menos uma destas condições deve ser satisfeita: a população é normalmente distribuída ou n>30. Slide 95

96 Estatística do Teste para Testar Afirmações sobre uma Média (com σ Desconhecido) t = x µ x sn P-valor e Valores Críticos Usar a Tabela A-3 Graus de Liberdade (GL) = n 1 Slide 96

97 Propriedades Importantes da Distribuição t de Student 1. A distribuição t de Student t é diferente para cada tamanho de amostra (veja Figura 7-5 na Seção 7-4). 2. A distribuição t de Student t tem a mesma forma que a distribuição normal (forma de sino); Sua forma mais alongada reflete uma maior variabilidade que é esperada quando usamos s para estimar σ. 3. A distribuição t de Student tem média t=0 (identicamente à distribuição normal padronizada que tem média z=0). 4. TO desvio padrão da distribuição t de Student varia de acordo com o tamanho da amostra e é maior que 1 (ao contrário da distribuição normal padronizada onde temos σ=1). 5. Para tamanhos de amostra suficientemente grande, temos que a distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal padronizada. Slide 97

98 Escolhendo entre as Distribuições Normal e t de Student t ao testar afirmações sobre uma média populacional µ Use a distribuição t de Student quando σ é desconhecido e ao menos uma destas condições são satisfeitas: A população é normalmente distribuída ou n>30. Slide 98

99 Exemplo: O conjunto de dados 13 no Apêndice B do texto inclui os pesos de 13 confeitos M&M vermelhos aleatoriamente selecionado de um pacote com 465 M&M s. O peso (em gramas) tem média x=0.8635g e desvio padrão s=0.0576g. O pacote afirma que o peso líquido total é de 396.9g. Assim, de acordo com o afirmado no pacote, um confeito M&M deve ter peso médio 396.9/465=0.8535g. Use os dados amostrais para ao nível de 5% testar a afirmação de um gerente de produção que está suspeitando falha no processo, fazendo com que os confeitos saiam com peso médio maior que g. Use o método tradicional. Temos que a amostragem utilizada é a aleatória simples, e não temos um valor conhecido de σ. O tamanho da amostra é n=13 e um gráfico quartilquartil sugere normalidade na distribuição dos dados. Slide 99

100 Exemplo: O conjunto de dados 13 no Apêndice B do texto inclui os pesos de 13 confeitos M&M vermelhos aleatoriamente selecionado de um pacote com 465 M&M s. O peso (em gramas) tem média x=0.8635g e desvio padrão s=0.0576g. O pacote afirma que o peso líquido total é de 396.9g. Assim, de acordo com o afirmado no pacote, um confeito M&M deve ter peso médio 396.9/465=0.8535g. Use os dados amostrais para ao nível de 5% testar a afirmação de um gerente de produção que está suspeitando falha no processo, fazendo com que os confeitos saiam com peso médio maior que g. Use o método tradicional. H 0 : µ = x µ x H 1 : µ > = t = s = α = 0.05 x = n 13 s = n = 13 O valor crítico, de acordo com a Tabela A-3, é t=1.782 Slide 100

101 Exemplo: O conjunto de dados 13 no Apêndice B do texto inclui os pesos de 13 confeitos M&M vermelhos aleatoriamente selecionado de um pacote com 465 M&M s. O peso (em gramas) tem média x=0.8635g e desvio padrão s=0.0576g. O pacote afirma que o peso líquido total é de 396.9g. Assim, de acordo com o afirmado no pacote, um confeito M&M deve ter peso médio 396.9/465=0.8535g. Use os dados amostrais para ao nível de 5% testar a afirmação de um gerente de produção que está suspeitando falha no processo, fazendo com que os confeitos saiam com peso médio maior que g. Use o método tradicional. H 0 : µ = H 1 : µ > α = 0.05 x = s = n = 13 t = Valor Crítico t=1.782 Como a estatística do teste t=0.626 não pertence à região crítica, não podemos rejeitar H 0. Não temos evidência suficiente para afirmar que o peso médio dos confeitos M&M é maior que g. Slide 101

102 Distribução Normal Versus t de Student O valor crítico usado no exemplo anterior foi t=1.782, porém, se a distribuição normal fosse utilizada, teríamos o valor crítico z= O valor crítico da distribuição t de Student é maior (ou mais à direita), demonstrando que com a distribuição t, a evidência amostral deve ser mais extrema antes de considerá-la significante. Slide 102

103 Método do P-Value Neste caso, temos que usar um software estatístico ou uma calculadora TI-83/84 Plus. Alternativamente, podemos usar a Tabela A-3 para identificar a variação do P-valor. Slide 103

104 Exemplo: Assumindo que não temos acesso nem a um pacote estatístico ou a uma calculadora TI-83 Plus, use a Tabela A-3 para encontrar o range de variação do P-valor para cada um dos exemplos abaixo: a) Se temos uma hipótese unilateral à esquerda, o tamanho amostral é n=12, e a estatística de teste é t= b) Se temos uma hipótese unilateral à direita, o tamanho amostral é n=12, e a estatística de teste é t=1.222 c) Se temos uma hipótese bilateral, o tamanho amostral é n=12, e a estatística de teste é t= Slide 104

105 Exemplo: Assumindo que não temos acesso nem a um pacote estatístico ou a uma calculadora TI-83 Plus, use a Tabela A-3 para encontrar o range de variação do P-valor para cada um dos exemplos abaixo: Slide 105

106 Exemplo: Assumindo que não temos acesso nem a um pacote estatístico ou a uma calculadora TI-83 Plus, use a Tabela A-3 para encontrar o range de variação do P-valor para cada um dos exemplos abaixo: a) O teste é unilateral à esquerda com estatística de teste t= 2.007, assim o P-valor é a área à esquerda de Devido à simetria da distribuição t, esta é a mesma área à direita de Qualquer estatística de teste entre e tem um P-valor entre e Podemos concluir que < P-valor < Slide 106

107 Exemplo: Assumindo que não temos acesso nem a um pacote estatístico ou a uma calculadora TI-83 Plus, use a Tabela A-3 para encontrar o range de variação do P-valor para cada um dos exemplos abaixo: b) O teste é unilateral à esquerda com estatística de teste t=1.222, assim o P-valor é a área à direita de Qualquer estatística de teste menor que terá um P-valor que será maior que Podemos concluir que P-valor > Slide 107

108 Exemplo: Assumindo que não temos acesso nem a um pacote estatístico ou a uma calculadora TI-83 Plus, use a Tabela A-3 para encontrar o range de variação do P-valor para cada um dos exemplos abaixo: c) O teste é bilateral com estatística de teste t= O P-valor é igual ao dobro da área à esquerda de 3.456, ou à direita de Qualquer estatística de teste maior que tem um P- valor menor que 0.01 para testes bilaterais. Podemos concluir que P-valor < Slide 108

109 Recapitulando Nesta seção nós discutimos: Requisitos para testar afirmações sobre a média populacional com σ desconhecido. A distribuição t de Student. O Método do P-valor. Slide 109

110 Seção 8-6 Testando Afirmações sobre o Desvio Padrão ou Variância Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 110

111 Pontos Chave Esta seção introduz a metodologia para testar uma afirmação sobre o desvio padrão σ ou variância de uma população σ 2. Estes métodos usam a distribuição qui-quadrado como referência. Esta distribuição foi utilizada anteriormente na Seção 7-5. Slide 111

112 Requisitos para Testar Afirmações sobre σ ou σ 2 1. O plano amostral utilizado é amostra aleatória simples. 2. A população tem distribuição normal. Esta suposição é mais restritiva neste teste do que nos testes para médias. Slide 112

113 Distribuição Qui-quadrado Estatística do Teste χ 2 = (n 1) s 2 σ 2 n s 2 σ 2 = tamanho da amostra = variância amostral = variância populacional (dada na hipótese nula) Slide 113

114 P-Valor e Valores Críticos para Distribuição Qui-quadrado Use a Tabela A-4. Graus de Liberdade: G.L.=n 1. Slide 114

115 Propriedades da Distribuição Qui-quadrado Todos os valores de χ 2 são não- negativos, e a distribuição não é simétrica (veja a Figura 8-13 a seguir). Há uma distribuição para cada número de graus de liberdade (veja a Figura 8-14 a seguir). Os valores críticos são encontrados com base na Tabela A-4 usando n-1 graus de liberdade. Slide 115

116 Propriedades da Distribuição Qui-quadrado - cont Propriedades da Distribuição Qui-quadrado Qui-quadrado com 10 e 20 graus de liberdade. Temos uma distribuição diferente para cada valor de graus de liberdade. Figura 8-13 Figura 8-14 Slide 116

117 Exemplo: Para uma amostra aleatória simples de adultos o escore QI é normalmente distribuído com média 100 e desvio padrão 15. Uma amostra aleatória de 13 professores de estatística forneceu um desvio padrão s=7.2. Assuma que o escore QI dos professores de estatística é normalmente distribuído e use5% de significância para testar a afirmação de que σ = 15. H 0 : σ = 15 H 1 : σ 15 α = 0.05 n = 13 s = 7.2 χ 2 = (n 1)s 2 = (13 1)(7.2) 2 σ = Slide 117

118 Exemplo: Para uma amostra aleatória simples de adultos o escore QI é normalmente distribuído com média 100 e desvio padrão 15. Uma amostra aleatória de 13 professores de estatística forneceu um desvio padrão s=7.2. Assuma que o escore QI dos professores de estatística é normalmente distribuído e use5% de significância para testar a afirmação de que σ = 15. H 0 : σ = 15 H 1 : σ 15 α = 0.05 n = 13 s = 7.2 χ 2 = Slide 118

119 Exemplo: Para uma amostra aleatória simples de adultos o escore QI é normalmente distribuído com média 100 e desvio padrão 15. Uma amostra aleatória de 13 professores de estatística forneceu um desvio padrão s=7.2. Assuma que o escore QI dos professores de estatística é normalmente distribuído e use5% de significância para testar a afirmação de que σ = 15. H 0 : σ = 15 H 1 : σ 15 α = 0.05 n = 13 s = 7.2 χ 2 = Os valores críticos e são encontrados na Tabela A-4 na 12ª linha (graus de liberdade= n 1) nas colunas correspondentes à e Slide 119

120 Exemplo: Para uma amostra aleatória simples de adultos o escore QI é normalmente distribuído com média 100 e desvio padrão 15. Uma amostra aleatória de 13 professores de estatística.forneceu um desvio padrão s=7.2. Assuma que o escore QI dos professores de estatística é normalmente distribuído e use5% de significância para testar a afirmação de que σ = 15. H 0 : σ = 15 H 1 : σ 15 α = 0.05 n = 13 s = 7.2 χ 2 = Como a estatística do teste pertence à região crítica, nós rejeitamos a hipótese nula. Temos evidência suficiente para rejeitar a afirmação de que o desvio padrão é igual à 15. Slide 120

121 Recapitulando Nesta seção nós discutimos: Testes para afirmações sobre desvio padrão e variância. Estatística de teste. Distribuição qui-quadrado. Valores críticos. Slide 121