INTERVALOS DE CONFIANÇA: DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS

Transcrição

1 INTERVALOS DE CONFIANÇA: DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS Lucas Santana da Cunha Universidade Estadual de Londrina 09 de outubro de 2017

2 Há situações em que o interesse do pesquisador é em comparar as médias de duas populações, sobre as quais ele realiza algum estudo; Pode-se fazer essa comparação através do intervalo de confiança para a diferença entre duas médias populacionais; O procedimento é análogo ao já visto para intervalo de confiança para uma população, coletando-se amostras independentes de cada uma das populações;

3 Consideremos duas amostras aleatórias, X 1, X 2,..., X n1 de tamanho e Y 1, Y 2,..., Y n2 de tamanho n 2, ambas com distribuição normal, médias µ 1 e µ 2 e variâncias σ1 2 e σ2 2 conhecidas, respectivamente. Assim, X N ( ) σ 1 µ 1, n1 e Y N ( ) σ 2 µ 2,. n2

4 Consideremos duas amostras aleatórias, X 1, X 2,..., X n1 de tamanho e Y 1, Y 2,..., Y n2 de tamanho n 2, ambas com distribuição normal, médias µ 1 e µ 2 e variâncias σ1 2 e σ2 2 conhecidas, respectivamente. Assim, X N ( ) σ 1 µ 1, n1 e Y N ( ) σ 2 µ 2,. n2 Daí, temos que, σ1 X Ȳ N µ 2 1 µ 2, + σ2 2 n 2

5 Assim, E daí, temos que Logo, P Z = (X Y ) (µ 1 µ 2 ) σ σ2 2 n 2 N(0, 1). z γ/2 X Ȳ (µ 1 µ 2 ) z σ 2 γ/2 = γ 1 + σ2 2 n 2 IC (γ100%) (µ 1 µ 2) = ( X Ȳ ) z γ/2 σ σ2 2 n 2 ; ( X Ȳ ) + z γ/2 σ σ2 2 n 2

6 Exemplo Estão sendo estudados dois processos para conservar alimentos, cuja principal variável de interesse é o tempo de duração destes. No processo A, o tempo X de duração segue a distribuição N(µ A, 100), e no processo B o tempo Y obedece à distribuição N(µ B, 100). Sorteiam-se duas amostras independentes: a de A, com 16 latas, apresentou tempo médio de duração igual a 50, e a de B, com 25 latas, duração média igual a 60. Pode-se dizer que os dois processos têm durações médias iguais a 95% de confiança?

7 Consideremos agora duas amostras aleatórias, X 1, X 2,..., X n1 de tamanho e Y 1, Y 2,..., Y n2 de tamanho n 2, com apenas uma diferença do caso anterior: as variâncias são desconhecidas, porém iguais, isto é, σ1 2 = σ2 2 = σ2. Temos que T = ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) s p n 2 t n1 +n 2 2 em que s p = ( 1)s1 2 + (n 2 1)s n 2 2

8 E daí, temos que P t (n1 +n 2 2;α/2) ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) t (n1 +n 2 2;α/2) = 1 α s p n 2

9 E daí, temos que P t (n1 +n 2 2;α/2) ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) t (n1 +n 2 2;α/2) = 1 α s p n 2 Logo, IC (1 α) (µ 1 µ 2) = (( X Ȳ ) t (a;α/2) s p 1n1 + 1n2 ; ( X Ȳ ) + t (a;α/2) s p 1n1 + 1n2 ) em que a = + n 2 2 graus de liberdade.

10 Exemplo 2 Os 36 alunos de uma turma são divididos ao acaso em dois grupos de 18. Para o primeiro grupo o ensino de Matemática é feito usando elementos de multimídia. Enquanto isso, no segundo grupo o ensino é feito pelo método tradicional (quadro negro e giz). No final do período é aplicado um teste, comum aos dois grupos, com os seguintes resultados: Grupo 1 7,3 8,2 6,0 7,7 8,0 6,1 5,6 5,3 5,9 5,8 5,8 7,1 5,1 8,0 7,6 8,3 4,9 6,5 Grupo 2 7,5 6,2 5,7 4,4 4,7 5,8 5,0 6,0 6,5 5,8 4,5 5,1 5,5 6,0 5,8 5,8 5,7 7,5 Considerando os dois grupos como amostras aleatórias de duas populações independentes e Normalmente distribuídas, com desvios-padrão idênticos, determine um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira diferença das médias populacionais dos dois grupos. Algum método obteve melhores resultados, em média, em relação ao outro?

11 Exercício 1 Um engenheiro civil tem a intensão de medir a força compressiva de dois tipos de concreto. De duas amostras aleatórias independentes de 10 elementos dos dois tipos resultaram: Tipo I Tipo II Considerando que as amostras provêm de populações normais com desvio padrão igual a 353 e 363, respectivamente, podemos considerar que os dois tipos de concreto são iguais em relação a força compressiva, considerando um nível de confiança de 90%?

12 Exercício 2 Um processo industrial usa uma ferramenta fabricada de aço tipo A, da qual uma amostra de 10 unidades apresentou vida média de 1400 horas e desvio-padrão de 120 horas. A mesma ferramenta passou a ser fabricada com aço tipo B e um lote de 20 unidades apresentou vida média de 1200 horas e desvio-padrão de 100 horas. Desde que o processo de fabricação da ferramenta não mudou, pode-se supor idênticos os desvios-padrão das populações normalmente distribuídas. Determinar o intervalo de confiança a 99% para a diferença entre as médias das populações de ambos os tipos de ferramenta e conclua.