ESTATÍSTICA Distribuições qui-quadrado, t de Student e F de Snedecor Lucas Schmidt

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1 ESTATÍSTICA Distribuições qui-quadrado, t de Student e F de Snedecor Lucas Schmidt lucas.breniuk@hotmail.com

2 Estimação de parâmetros Média Variância Proporção

3 Estimação de parâmetros Média: " estimador de µ, padronizado, seguirá distribuição Z (Normal com média 0 e variância=desvio-padrão=1) OU Distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. Variância: s² estimador de σ², seguirá distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Proporção: p estimador de π, padronizado, seguirá distribuição Z.

4 Distribuição da média amostral A distribuição de " estimador de µ será Z (normal) quando: conhecemos o valor do parâmetro σ ou n > 30 A distribuição de " estimador de µ, será t de Student quando: não conhecemos o valor do parâmetro σ e n 30

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9 Distribuição F Utilizada em: Significância da regressão (simples e múltipla); ANOVA (comparar 3 ou mais médias); Teste de duas variâncias amostrais (razão de duas variâncias)

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11 Teste Qui-quadrado Quando as variáveis são de natureza categórica, os dados coletados sãoapresentadoscomo frequênciasdecada categoria. Exemplo: Um distribuidor de ar-condicionados dividiu a cidade de São Paulo em quatro regiões: S, N, L e O. Deseja-se saber se a empresa atende igualmente as quatro regiões da cidade com vistas a estabelecer o local da central de distribuição.

12 Teste Qui-quadrado Verificou-se a quantidade instalada (frequência observada) em cada região a partir de uma amostra aleatória de 40 instalações realizadas no ano anterior: Frequência observada Frequência esperada Região S N L O Total Supondo-se que as regiões são atendidas de igual forma, espera-se que as 40 instalações estejam igualmente divididas entre as 4 regiões (frequência esperada supondo igualdade).

13 Teste Qui-quadrado As relações entre as variáveis serão testadas através da comparação de frequências obtidas em amostras de suas categorias, com frequências esperadas baseadas, em cada caso, em hipóteses particulares. Logo, são testes de hipóteses e possuem relação com a análise dos dados de uma amostra.

14 Bondade de ajustamento (goodness of fit) A hipótese nula é uma condição estipulada referida ao padrão esperado defrequênciasem umasériedecategorias. Deseja-setestar seos dados evidenciam o padrão esperado. As frequências esperadas podem basear-se em qualquer suposição relativa à forma da distribuição de frequências na população.

15 Exemplo do Ar-condicionado de SP São estabelecidas as hipóteses: H 0 : A quantidade de instalações está igualmente distribuída entre as quatro regiões H 1 : A quantidade de instalações não está igualmente distribuída entre as quatro regiões Os valores encontrados na amostra (valores observados) são comparados com os valores esperados supondo igualdade. Para a hipótese nula ser aceita, a diferença entre os valores observados e os esperados deve ser atribuída ao acaso (à variabilidade da amostragem). A estatística de teste qui-quadrado baseia-se na magnitude dessa diferença para cada categoria na distribuição de frequência.

16 O valor qui-quadrado para testar a diferença entre padrões obtidos e esperados de frequências é:! "#$" = & ' ( * + ( OU & ' + (. ~ 0+ * ( * 1 ( em que 2 = graus de liberdade = número de colunas - 1

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18 Para o exemplo anterior, a estatística de teste será: Frequência observada Frequência esperada! "#$" = ' + ()* ( =,)-. + * ( -. Região S N L O Total ) ) Assumindo α = 0, = 4 1 = 3, temos que 0! =#> = 7,81 + 2) = 4 Conclusão: ao nível de 5% de significância, não rejeitamos Ho: as instalações estão igualmente distribuídas entre as quatro regiões da cidade.

19 FCC - Agente Fiscal de Rendas (SEFAZ/SP, 2009) Espera-se que o número de reclamações tributárias em um órgão público durante determinada semana seja igual a 25, em qualquer dia útil. Sabe-se que nesta semana ocorreram 125 reclamações com a seguinte distribuição por dia da semana: Para decidir se o número de reclamações tributárias correspondente não depende do dia da semana, a um nível de significância α, é calculado o valor do qui-quadrado (χ²) que se deve comparar com o valor do qui-quadrado crítico tabelado com 4 graus de liberdade. O valor de χ² é (A) 1,20 (B) 1,90 (C) 4,75 (D) 7,60 (E) 9,12 Resposta: D