Solução dos Exercícios - Capítulos 1 a 3

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1 Capítulo 9 Solução dos Exercícios - Capítulos a 3 9. Capítulo. a Como o valor se refere aos pacientes estudados, e não a todos os pacientes, esse é o valor de uma estatística amostral. b Estatística amostral - foi testada uma amostra c Parâmetro populacional - a companhia realizou os cálculos com base em todos os clientes d Parâmetro populacional - o fabricante está se referindo à população de todas as baterias. Embora ele não tenha condições de testar todas as baterias, ele está fazendo uma hipótese sobre o parâmetro populacional. No estudo de teste de hipóteses, o procedimento se baseia na hipótese que se faz sobre um parâmetro populacional.. Como estamos trabalhando com amostras de tamanho, a média e a mediana amostrais são as mesmas, ou seja, a distribuição amostral da mediana amostral Q é igual à distribuição da média amostral. Logo, E Q = 4, 0, que é diferente da mediana populacional, que é 3,5. 3. X Bernp n X i Bin n; p i= n n E X i = np Var X i = np p i= i= E P = B P = Var P = EQM P = n n + p n n + p p = p n + np p n + np p n + + p np p + p = n + n + 4. Note que P é viesado para estimar p e para um tamanho n fixo de amostra, o EQM máximo ocorre quando p = n n. E σ = σ C [ EX X + EX 3 X 4 + EX X 6 ] = σ 3

2 3 CAPÍTULO 9. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS - CAPÍTULOS A 3 Como as X i s são iid, segue que Logo, EX i X i+ = EX i + EX i+ EX i X i+ = VarX i + [EX i ] + VarX i+ + [EX i+ ] EX i EX i+ = σ + µ + σ + µ µ µ = σ 5.. E σ = σ C [ 3 σ ] = σ C = 6 Vento X Onda Y XY X 9,9 6, 8,4 5,4,7 7,0 0 0,9 9,0 0, 3, 9,0 9,0 8 9,5 3, ,7 4, 36 9,9 7, 8 5 0, 0,5 5 8,0 6,0 64 9,6 3,4 8 3,0 36,0 44 9,7 5,3 8, 5, 44 9,5 3,5 8 3, 37, 44 8,7, ,4,8 49 3,5 3,5 69 9,7 5, ,6 4, ,7 4, 36 8,4, 64 Soma 9 39, e a equação da reta é 9 39, b = 4 = 0, â = 39, 3 9 0, 6896 = 0, Ônda = 0, , 6896 Vento 9. Capítulo. X N 5;,5 8

3 9.. CAPÍTULO 33 a b P4, 5 X 6 = P 4, Z = P 0, 85 Z, 70,5 8,5 8 = P 0, 85 Z 0 + P0 < Z, 70 = P0 Z 0, 85 + P0 Z, 70 = 0, , 4554 = 0, 7577 = Tabela PX > 6, = P Z >. Os erros são: Φ, 70 Φ 0, 85 = Φ, 70 [ Φ0, 85] = 0, , 803 = 0, , 5 = PZ >, 87,5 = Φ, 87 = 0, 9693 = 0, Tabela = 0, 5 P0 Z, 87 = 0, 5 0, 4693 = 0, 0307 Tabela E : estabelecer que são da máquina, quando na verdade foram produzidos pela máquina ou E : estabelecer que são da máquina, quando na verdade foram produzidos pela máquina. A regra de decisão é a seguinte: X > 3 = máquina X 3 = máquina Na máquina o comprimento é N0; 6 e na máquina, N5; 6. PE = [ P X 3 X N 5; 6 ] 3 5 = P Z = PZ 6 = Tabela Φ, 00 = 0, 977 = 0, 5 P0 Z = 0, 5 0, 477 = 0, 08 [ PE = P X > 3 X N 0; 6 ] 6 = Tabela Φ3, 00 = 0, 9987 = 3 0 = P Z > = PZ > 3 0, 5 P0 Z 3 = 0, 5 0, 4987 = 0, Note que e é igual a X menos uma constante e sabemos que EX = µ e V arx = σ n. a Das propriedades da média e da variância, resulta que b X Nµ; 0 e n = 0. Queremos Ee = EX µ = µ µ = 0 Vare = VarX = σ P e > = Pe < + Pe > = PX µ < + PX µ > X µ = P < X µ + P > = PZ < + PZ > = PZ > = [0, 5 P0 Z ] = 0, 5 0, 343 = 0, 374 = [ Φ] =, 0 0, 843 = 0, 374 Tabela n

4 34 CAPÍTULO 9. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS - CAPÍTULOS A 3 c P e > δ = 0, 0 Pe < δ + Pe > δ = 0, 0 PX µ < δ + PX µ > δ = 0, 0 X µ P < δ X µ + P > δ = 0, 0 P Z < δ + P Z > δ = 0, P Z > δ = 0, 0 P Z > δ = 0, 005 0, 5 P 0 Z δ = 0, 005 P 0 Z δ = 0, 495 δ =, 58 δ = 5, 6 corpo da d P e < = 0, 95 P < X µ < = 0, 95 P P < Z < 0 0 n + P P 0 Z < = 0, n corpo da 0 Z < 0 n = 0, 95 P < Z < 0 0 n n 0 Z < 0 n n 0 =, 96 n = 39, n 537 = 0, 95 = 0, Parafusos pequenos: X < 8, 5, onde X é o comprimento do parafuso. a X Nµ;. Como PX < 8, 5 = 0, 05, resulta que 8,5 tem que ser menor que µ, ou seja, a abscissa 8,5 µ tem que estar no lado negativo da escala da normal padronizada. PX < 8, 5 = 0, 05 P Z < 8, 5 µ = 0, 05 P Z > 8, 5 µ = 0, 05 P0 Z µ 8, 5 = 0, 45 µ 8, 5 =, 64 µ =, 4 Corpo da b Parada desnecessária: amostra indica processo fora de controle X < 9, quando, na verdade, o processo está sob controle µ =, 4. [ P X < 9 X N, 4; ] 9, 4 = P Z < = PZ <, 8 = PZ >, 8 4 0, 5 = 0, 5 P0 Z, 8 = 0, 5 0, 4887 = 0, 03 c Máquina desregulada: X > 9; processo operando sem ajuste: X N 9, 5; [ P X > 9 X N 9, 5; ] = P Z > 9 9, 5 = PZ > = P < Z < 0 + PZ 0 4 0, 5 = P0 < Z < + PZ 0 = 0, , 5 = 0, Afirmativa do gerente: µ = e σ = 0, 05. Como n = 0, podemos usar o teorema limite central. Logo, X N. ; 0,05 0 PX, 985 = P Z, 985 = PZ 3, 0 = PZ 3, 0 = 0, 5 P0 Z < 3, 0 0,05 = 0, 5 0, 4987 = 0, 003

5 9.. CAPÍTULO 35 A probabilidade de se obter esse valor nas condições dadas pelo gerente é muito pequena, o que pode nos fazer suspeitar da veracidade das afirmativas. É provável que, ou a média não seja e, sim, menor que, ou o desvio padrão não seja 0,05 e, sim, maior que 0,05. Esboce gráficos da normal para compreender melhor esse comentário! 6. a 8 0, 4 = 7, > 5 8 0, 6 =, 8 > 5 X N 7, ; 4, 3 PX 5 P 4, 5 7, Z 4, 3 = PZ 3, 5 = 0, 5 0, 4998 = 0, 000, 5 7, PX < P Z = PZ, 74 = PZ, 74 = 0, 5 0, 4969 = 0, 003 4, 3 b 40 0, 3 = > , 7 = 8 > 5 X N; 8, 4 9, 5 PX < P Z = PZ 0, 86 = PZ 0, 86 = 0, 5 0, 305 = 0, 949 8, 4 5, 5 7, 5 P5 < X < 8 P Z = P4, 66 Z 5, , 4 8, 4 c 65 0, 9 = 58, 5 > , = 6, 5 > 5 X N58, 5; 5, 85 57, 5 58, 5 58, 5 58, 5 PX = 58 P Z = P 0, 4 Z 0 = P0 Z 0, 4 = 0, 59 5, 85 5, 85 60, 5 58, 5 63, 5 58, 5 P60 < X 63 P Z = P0, 83 Z, 07 = 0, , 967 = 0, 84 5, 85 5, 85 d 0 0, = 0, 0 > 5 0 0, 8 = 80, 0 > 5 X N0; 6 4, 5 0 P5 X 35 P Z 4 e 50 0, =, 0 > , 8 = 40, 0 > 5 X N; 8 6, 5 PX > 6 P Z = PZ 5, , 5 0 = P, 3 Z 3, 88 = 0, , 3708 = 0, 9 4 4, 5 9, 5 P5 X < P Z = P, 94 Z 0, 8 = P0, 8 Z, = 0, , 074 = 0, 404 f np = 35 n p = 5 X N35;, 5 PX 5 P 5, 5 35 Z, 5 = PZ, 93 = 0, 5 0, 4983 = 0, 007 g np = 50 n p = 50 X N50; 5 4, 5 50 P4 < X 56 P Z 5 h np = 50 n p = 50 X N50; 5 PX > 60 P Z 56, 5 50 = P, 5 Z, 3 = 0, , 403 = 0, , 5 50 = PZ, = 0, 5 0, 48 = 0, 079 5

6 36 CAPÍTULO 9. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS - CAPÍTULOS A 3 i np = 8 n p = X N8; 4, 8 4, 5 8 PX = 5 P Z 5, 5 8 = P, 60 Z, 4 = P, 4 Z, 60 4, 8 4, 8 = 0, , 3786 = 0, 0734 j np = 9 n p = X N9; 6, 3 PX P Z, 5 9 6, 3 = PZ = 0, 5 0, 343 = 0, 587 k np = 8 n p = 7 X N8; 7, 9, 5 8 P9 < X < P Z, 5 8 = P0, 56 Z 0, 93 = 0, 338 0, 3 = 0, 5 7, 7, l np = 6 n p = 4 X N8; 4, 8, 5 8 P X 6 P Z 6, 5 8 = P, 60 Z 3, 88 = 0, , 445 = 0, , 8 4, 8 m np = 5 n p = 35 X N5;, 5 PX > 8 P 8, 5 5 Z, 5 = PZ, 08 = 0, 5 0, 3599 = 0, 40 n np = 5, 6 n p =, 4 X N5, 6; 4, 48 5, 5 5, 6 6, 5 5, 6 PX = 6 P Z = P 0, 05 Z 0, 43 = 0, , 664 = 0, 863 4, 48 4, 48 o np = 38 n p = 57 X N38;, 8 9, , 5 38 P30 X < 48 P Z = P, 78 Z, 99 = 0, , 465 = 0, 939, 8, 8 7. X = número de pessoas que votaram. Então X bin0; 0, 6 e X N6, ; 38, , 5 6, PX 70 P Z = PZ 5, 78 = Se a proporção de votantes é de 6%, a probabilidade de encontrarmos 70 ou mais votantes em uma amostra aleatória simples de 0 é muito baixa. Talvez as pessoas entrevistadas não estejam sendo sinceras, com vergonha de dizer que não votaram X = número de meninas em 64 partos ; X bin64; 0, 5 e X N3; 6 35, 5 3 PX 36 P Z = PZ 0, 875 = 0, 5 0, 36 = 0, Esse é um resultado que pode ocorrer por mero acaso, ou seja, não é um resultado não-usual. 9. X = número de passageiros que se apresentam para o voo em questão. X bin400; 0, 85 e X N340; , PX > 350 P Z = PZ, 47 = 0, 5 0, 49 = 0, Essa é uma probabilidade um pouco alta; talvez valha a pena a companhia rever a política de reservas e aceitar menos que 400 reservas.

7 9.3. CAPÍTULO X = número de defeituosos na amostra ; X bin0; 0,. A taxa de falhas do processo é constante e igual a 0,. Embora a amostragem seja feita sem reposição, podemos usar a aproximação binomial, uma vez que temos uma população razoavelmente grande e o tamanho da amostra é bem menor do que o tamanho da população. Note que aqui não podemos usar a aproximação normal, uma vez que 0 0, = < 5. Queremos PX = PX < = [PX = 0 + PX = ] 0 0 = 0, 0 0, 9 0 0,, 9 9 = 0 = 0, 3975 = 0, Capítulo 3. α = 0, 90 = z 0,05 =, 64 α = 0, 99 = z 0,005 =, 58 α = 0, 80 = z 0, =, 8. P0 Z, 8 = 0, 3997 = 0, 5 α/ = 0, 3997 α/ = 0, 5 0, 3997 = 0, 03 α = 0, 006 α 0, 80 ou 80% P0 Z, 80 = 0, 464 = 0, 5 α/ = 0, 464 α/ = 0, 5 0, 464 α/ = 0, 0359 α = 0, 078 α = 0, 98 0, 93 ou 93% 3. α = 0, 98 = α/ = 0, 0 z 0,0 =, 33 ε =, = 0, 7767 Como a média amostral observada é x = = 34, 333, o intervalo de confiança é [34, 333 0, 7767; 34, , 7767] = [33, 556 ; 35, ] 4. Como a amostra é a mesma, isso significa que a população é a mesma, bem como o tamanho de amostra, ou seja, σ e n são os mesmos. Vimos que um nível de confiança maior resulta em um intervalo de confiança maior; logo, o segundo intervalo foi construído com base em um nível de confiança maior do que o utilizado na construção do primeiro. 5. Mantidos fixos o nível de confiança e o desvio padrão populacional, vimos que a margem de erro é inversamente proporcional à raiz quadrada de n. Assim, para reduzir pela metade a margem de erro, temos que dobrar n, ou seja, temos que quadruplicar o tamanho amostral n. 6. É dado que X Nµ; 9. Como n = 5, sabemos que 9 X N µ; 5 Com α = 0, 99, temos que α = 0, 0 e α/ = 0, 005. Assim, temos que procurar no corpo da tabela a abscissa correspondente ao valor 0, 5 0, 005 = 0, 495,o que nos dá z 0,005 =, 58. Então P, 58 Z, 58 = 0, 99 P, 58 X µ, 58 = 0, 99 9 P, X µ, 58 5 P, 548 X µ, 548 = 0, 99 PX, 548 µ X +, 548 = 0, 99 9 = 0, 99 5

8 38 CAPÍTULO 9. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS - CAPÍTULOS A 3 Como a média amostral obtida é x = 60 5 =, 4 o intervalo de confiança de 99% de confiança é [, 4, 548 ;, 4 +, 548] = [0, 85 ; 3, 948] 7. Queremos ε 0, 05, com σ = 4, e α = 0, 95. α = 0, 95 z α/ =, 96 Então, 96 4, n 0, 05 Logo, o tamanho mínimo necessário é n = 77., 96 4, n = 64, 64 0, 05 n 76, é dado que X Nµ; 0, 58. Como n = 5, sabemos que 0, 58 X N µ; 5 Com α = 0, 90, temos que α = 0, e α/ = 0, 05. Assim, temos que procurar no corpo da tabela a abscissa correspondente ao valor 0, 5 0, 05 = 0, 45,o que nos dá z 0,05 =, 64. Então P, 64 Z, 64 = 0, 90 P, 64 X µ, 64 = 0, 90 0,58 5 0, 58 P, 64 X µ, 64 5 P 0, 904 X µ 0, 904 = 0, 90 PX 0, 904 µ X + 0, 904 = 0, 90 0, 58 = 0, 90 5 Como a média amostral obtida é x =, 8 o intervalo de confiança de nível de confiança 99% é 9. α = 0, 05 α = 0, 95 z 0,05 =, 96 [, 8 0, 904 ;, 8 + 0, 904] = [, ;, 9904] a A margem de erro é ε =, =, 3859 Logo, o intervalo de confiança de nível de confiança 0,95 é [4, ; 4 +, 3859] = [40, 64 ; 43, 3859] b Como visto em a a margem de erro é ε =, c Temos que reduzir a margem de erro; logo, o tamanho da amostra terá que ser maior que 50. Logo, n deve ser no mínimo igual a 97. ε =, 96 5 n n, 96 5 = 9, 8 n 9, 8 = 96, 04

9 9.3. CAPÍTULO A média amostral é x = 343 = 343. a A margem de erro é ε =, = 309, 9 Logo, o intervalo de confiança de nível de confiança 95% é [ , 9 ; , 9] = [3400, ; 346, 9] b A margem de erro é ε =, = 407, 93 Logo, o intervalo de confiança de nível de confiança 95% é [ , 93 ; , 93] = [33904, 07 ; 3479, 93] c O gerente deve estar usando o nível de confiança de 99%.. a α = % α = 98% z 0,0 =, 33 p = = 0, 3 3 0, 3 3 0, 33 ε =, 33 = 0, e o intervalo de confiança é [0, 33 0, 03897; 0, , 03897] = [0, 7433; 0, 57] b α = % α = 90% z 0,05 =, 64 p = 7 0 = 0, 5967 = 0, 55 0, 45 ε =, 64 = 0, e o intervalo de confiança é [0, , 0355; 0, , 0355] = [0, 568; 0, 65]. O problema pede a estimativa para a proporção dos que não querem a fluoração; logo, p = 300 = 0, 4 a α = 5% α = 95% z 0,05 =, 96 e o intervalo de confiança é 0, 4 0, 6 ε =, 96 = 0, b α = 96% z 0,0 =, 05 [0, 4 0, 05544; 0, 4 + 0, 05544] = [0, 34456; 0, ] e o intervalo de confiança é 0, 4 0, 6 ε =, 05 = 0, [0, 4 0, 05798; 0, 4 + 0, 05798] = [0, 340; 0, ]

10 40 CAPÍTULO 9. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS - CAPÍTULOS A 3 3. É dado que n = 0, p = 0, 3 e EP P = 0, 03. α = 3% z 0,05 =, 7 ε =, 7 0, 03 = 0, 065 [0, 3 0, 065; 0, 3 + 0, 065] = [0, 549; 0, 385] 4. p = = 0, 38. Para uma margem de erro de 0,08 e um nível de confiança de 90%, o tamanho da amostra teria que ser, 64 n 0, 38 0, 6 = 99, 0 0, 08 Como o tamanho da amostra é 50, essa amostra é suficiente. 5. a p = b EP P = = 0, 5 0,5 0, = 0, 065 c α = 0, 80 z 0, =, 8 [0, 5, 8 0, 065; 0, 5 +, 8 0, 065] = [0, 9; 0, 777] 6. p 0 = 0, 35 Logo, n 350 n, 96 0, 35 0, 65 = 349, 59 0, 05

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