2. Distribuições amostrais

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1 2. Distribuições amostrais USP-ICMC-SME 203 USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais 203 / 22

2 Amostra aleatória Notação. X: variável aleatória (v.a.). f(x; θ): função densidade de probabilidade (X contínua) ou função massa de probabilidade (X discreta). Será denominada função densidade. θ é o parâmetro (pode ser um vetor). Se X é discreta, f(x; θ) = P(X = x; θ). Definição As v.a. aleatórias X, X 2,..., X n constituem uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com função densidade f(x; θ), se (a) as n variáveis são independentes e (b) cada X i tem distribuição com função densidade f(x; θ). Também chamada de amostra aleatória simples (AAS). USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

3 A definição de amostra aleatória é satisfeita quando a a população é infinita ou quando a população é finita e a amostra é selecionada com reposição. Exemplo Seleção de uma amostra de tamanho n = 8 de uma v.a. com distribuição Poisson(3). Em R: rpois(8, 3). Amostras selecionadas sem reposição de uma população finita, não satisfazem a definição da amostra aleatória, pois as variaveis aleatórias X,..., X n não são independentes. Se o tamanho da amostra é muito pequeno em relação ao tamanho da população, a definição é satisfeita aproximadamente. USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

4 Definição Uma estatística T é qualquer função que dependa apenas da amostra X, X 2,..., X n. T = T (X, X 2,..., X n ) com valores t = T (x,..., x n ). Exemplo Total amostral : n X i. i= Média amostral : X = n n X i. { } /2 n Desvio padrão amostral : S = (X i X) 2. n i= i= Máximo amostral : X (n) = max(x, X 2,..., X n ). Amplitude amostral : X (n) X (), X () = min(x, X 2,..., X n ). USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

5 Uma estatística T é uma variável aleatória (pois é uma função das v.a. X, X 2,..., X n ). A distribuição de T é chamada de distribuição amostral da estatística T. Exemplo Distribuição do número de erros de impressão. x 0 2 Total f(x) = P(X = x) /2 2/5 /0 Determine a distribuição do número médio de erros em amostras de n = 2 observações. X = (X + X 2 )/2. USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

6 Distribuição de (X, X 2 ) e cálculo de x. x, x 2 x P(X = x, X 2 = x 2 ) 0, = 4 0, / = 5 0, = 20, 0 / = 5, = 4 25, 2 3/ = 25 2, = 20 2, 3/ = 25 2, = 00 USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

7 Distribuição de X. x P(X = x) 0 4 / = = = = 00 3/2 Total Exercício (a) Calcule E(X) e E(X). Surpresa? (b) Resolva o exercício com n = 3. USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

8 Distribuições de X e X X X P(X = x) P(X = x) x x USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

9 Aproximação de Monte Carlo Geração de um grande número de amostras de tamanho n = 2 da distribuição de X. Para cada amostra gerada calculamos x = (x + x 2 )/2. A tabela de frequências relativas de x é uma aproximação da distribuição de X. USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

10 Solução em R ## Aproximaç~ao de Monte Carlo # Distribuiç~ao de X x <- 0:2 fx <- c( / 2, 2 / 5, / 0) # Número de repetiç~oes M < Aproximação de Monte Carlo # Cálculo das médias xb <- c() for (m in :M) { xb[m] <- mean(sample(x, 2, replace = TRUE, prob = fx)) } print(table(xb) / M) USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

11 Média amostral Propriedade. A v.a. Z = {X E(X)}/ V ar(x) tem média 0 e variância (padronização). Propriedade. Se X, X 2,..., X n é uma amostra aleatória de uma população com média µ e variância σ 2, então X tem média µ e variância σ 2 /n. Portanto, n(x µ)/σ tem média 0 e variância. Propriedade. Se X, X 2,..., X n é uma amostra aleatória de uma população N(µ, σ 2 ), então X N(µ, σ 2 /n). USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais 203 / 22

12 Média amostral X X f(x) x USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

13 Média amostral Teorema central do limite. Se X, X 2,..., X n é uma amostra aleatória de uma população com média µ e variância σ 2 (0 < σ 2 < ), então X N(µ, σ 2 /n), aproximadamente. Quanto maior n, melhor a aproximação. X pode ser discreta ou contínua. Exemplo População binomial com parâmetros n e 0,45. Experimento. Amostras com diferentes n são selecionadas (função rbinom em R) e os histogramas são obtidos (função hist). Aproximação pela distribuição N(0, 45; n 0,45 ( 0,45) ) (funções curve e dnorm). USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

14 Média amostral Distribuição exata de X n = 5 Probabilidade Densidade Número de sucessos Proporção amostral n = 30 Probabilidade Densidade Número de sucessos Proporção amostral n = 50 Probabilidade Densidade Número de sucessos Proporção amostral USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

15 Média amostral Exemplo População exponencial com média /2 e variância /4. Experimento. Amostras com diferentes n são selecionadas (função rexp em R) e os histogramas são obtidos (função hist). Aproximação pela distribuição N( 2, 4n ) (funções curve e dnorm). USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

16 Densidade n = Médias Densidade n = Médias Média amostral Densidade n = Médias Densidade n = Densidade n = Densidade n = Médias Médias Médias USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

17 Exemplo De uma população com média 0 e variância 7 selecionou-se uma amostra aleatória, X, X 2,..., X 5. Calcular P(X >, 5). A distribuição de X não foi informada. Padronização: Z = 5(X 0)/ 7 tem média 0 e variância. Calculamos ( ) 5(X 0) 5(, 5 0) P(X >, 5) = P > = P(Z >, 268). 7 7 Sabemos que Z N(0, ), aproximadamente. Solução em R. - pnorm(sqrt(5) *.5 / sqrt(7)) = Uma tabela da distribuição N(0, ) poderia ser consultada. Se a distribuição de X for normal, a solução apresentada é exata. USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

18 Proporção amostral Um experimento admite apenas um de dois possíveis resultados: sucessso e insucesso (experimento de Bernoulli). Definimos a v.a. X tal que X = se ocorre sucesso e X = 0, caso contrário. Ocorre sucesso com probalidade p. O experimento é repetido n vezes de forma independente. Definimos Y = n i= X i, que representa o número de sucessos na amostra de tamanho n. X = Y/n representa a proporção amostral de sucessos, com valores no conjunto {0, /n, 2/n,..., (n )/n, } (v.a. discreta). USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

19 Proporção amostral Como X Bernoulli(p), então Y binomial(n, p). Portanto, se k {0,, 2,..., n, n}, temos que ( P X = k ) ( ) n = P (Y = k) = p k ( p) n k, n k ou seja, a distribuição da proporção amostral é exata. Por outro lado, ( ) p( p) X N p,, aproximadamente. n USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

20 Exemplo Um esquema de controle de qualidade foi planejado de modo a garantir um máximo de 0% de itens defeituosos produzidos. Periodicamente seleciona-se uma amostra de 20 itens e, havendo mais de 5% de itens defeituosos, a produção é interrompida. Calcule a probabilidade de uma interrupção desnecessária. X i indica a situação do item, em que X i = indica um item defeituoso (evento sucesso ), i =,..., n, com n = 20. Supondo uma amostra aleatória, Y = 20 i= X i binomial(20, p) (número de itens defeituosos em uma amostra de n = 20 itens). USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

21 Exemplo No pior caso temos p = 0% = 0,. Assim, Y binomial(20; 0, ). Calculamos P(X > 0, 5) = P(X > 3/20) = P(Y > 3) = P(Y 4) = P(Y < 4) = P(Y 3) 3 ( ) 20 = 0, j 0, 9 20 j = 0, 330. j j=0 Em R: - pbinom(3, 20, 0.) ou pbinom(3, 20, 0., lower.tail = FALSE). Pode ser provado que a probabilidade de uma interrupção desnecessária cresce com p. USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22

22 Solução aproximada. Sabemos que ( X N 0, ; Calculamos P(X > 0, 5) = P 0, 0, 9 20 Exemplo ), aproximadamente. ( ) 20(X 0, ) 20(0, 5 0, ) > 0, 0, 9 0, 0, 9 = P(Z > 0, ) = P(Z 0, ), em que Z N(0, ). Consultando uma tabela de Z obtemos 0,2280. A aproximação é satisfatória? Realize um experimento para ajudar em sua resposta. Em R: z0 <- sqrt(20) * (0.5-0.) / sqrt(0. * 0.9) - pnorm(z0) ou pnorm(z0, lower.tail = FALSE). USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais / 22