Variáveis Aleatórias Discretas 1/1

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1 Variáveis Aleatórias Discretas Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte do Espírito Santo DCEL Departamento de Computação e Eletrônica Variáveis Aleatórias Discretas 1/1

2 Variáveis Aleatórias Variável Aleatória (VA random variable) Uma variável quantitativa cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Exemplos a b c d Número de coroas obtidas ao se lançar 2 moedas. Número de defeitos em uma amostra retirada aleatoriamente de um lote. Número de visitas em um site num certo período de tempo. Tempo de resposta de um servidor web. Variáveis Aleatórias Discretas 2/1

3 Variáveis Aleatórias Definição Formal Uma variável aleatória X é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto dos números reais. Assinatura: X : Ω R. Exemplo X: número de coroas obtidas ao se lançar 2 moedas item (a). Ω = {(H, H), (H, T ), (T, H), (T, T )} X : Variáveis Aleatórias Discretas 3/1

4 Tipos de Variáveis Aleatórias Discretas Resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável. Exemplos: itens (b) e (c) número de defeitos/visitas em... Contínuas Resultados abrangem um intervalo dos números reais. Exemplo: item (d). 0 tempo de resposta de... Variáveis Aleatórias Discretas 4/1

5 Notação Probabilidade: P : 2 Ω [0, 1]. VA contínua: X : Ω R. VA discreta: X : Ω Z. X = x define um subconjunto (evento) de Ω. Formalmente usa-se X = x para representar X 1 (x). Logo, X = x define um evento. Então, P(X = x) é uma notação bem-definida. Alternativamente usa-se P{X = x} (livro do Ross). Variáveis Aleatórias Discretas 5/1

6 Função de probabilidade probability mass function Seja X uma VA discreta com possíveis valores x 1, x 2,... A função de probabilidade p associa cada valor possível x i à sua probabilidade de ocorrência p(x i ), isto é: p(x i ) = P(X = x i ) i = 1, 2,... Assinatura: p : Z [0, 1]. A função de probabilidade deve satisfazer as seguintes condições: p(x i ) > 0 i = 1, 2,... p(x) = 0 para todos os outros valores de x. p(x i ) = 1. i=1 Variáveis Aleatórias Discretas 6/1

7 Distribuição de Probabilidade Exemplo Definir uma VA discreta define o que pode ocorrer no experimento aleatório. Tem-se: quais resultados podem ocorrer; e qual a probabilidade de cada resultado ocorrer (a função de probabilidade p). X: número obtido com um dado honesto X : Ω [1, 6]. Valores possíveis (x) Probabilidade p(x) Variáveis Aleatórias Discretas 7/1

8 Exemplo (cont.) Pode-se escrever: p(x) = 1 /6 x = 1,..., 6. Graficamente: p(x) 1/ x Variáveis Aleatórias Discretas 8/1

9 Função de Distribuição Acumulada Definição Descreve a probabilidade de ocorrer um valor até b: F (b) = P(X b), b R. Assinatura: F : R [0, 1]. b Propriedades de F a F (b) é uma função não-decrescente de b. b lim b F (b) = F ( ) = 1. c lim b F (b) = F ( ) = 0. Variáveis Aleatórias Discretas 9/1

10 Função de Distribuição Acumulada (cont.) Exemplo X: número obtido na rolagem de um dado honesto. F (x) F (x) = 0 se x < 1 1/6 se 1 x < 2 2/6 se 2 x < 3 3/6 se 3 x < 4 4/6 se 4 x < 5 5/6 se 5 x < 6 1 se x 6 1 5/6 4/6 3/6 2/6 1/ x Variáveis Aleatórias Discretas 10/1

11 Função de Distribuição Acumulada (cont.) Probabilidade de uma VA estar em um intervalo Sabe-se que a < b {X a} {X b}. Logo P(a < X b) = F (b) F (a) para todo a < b. Probabilidade estritamente menor que b P(X < b) = lim P(X b h) h 0 + = lim F (b h) h 0 + Variáveis Aleatórias Discretas 11/1

12 Medidas de Síntese de Informação Valor esperado de uma VA discreta Seja X uma VA discreta com valores possíveis x i (i = 1,..., k) e função de probabilidade p(x i ). A média ou valor esperado (expected value) de X é definida como k µ = E[X] = x i p(x i ). i=1 Em palavras: o valor esperado de X é a média ponderada dos possíveis valores de X, onde os pesos são as probabilidades deste valores. E é a média dos resultados para infinitos experimentos. E não precisa ser um valor de X: centro de gravidade da distribuição de probabilidade. Variáveis Aleatórias Discretas 12/1

13 Valor Esperado Exemplo Seja uma função de probabilidade definida como p(1) = 1 2 = p(2), então E[X] = = 3. 2 Ou seja, a média usual dos valores de X. Por outro lado, se p(1) = 1 3 p(2) = 2 3, então E[X] = = 5 3. Variáveis Aleatórias Discretas 13/1

14 Variância Definição σ 2 = V (X) = E[(X E[X]) 2 ] = k (x i µ) 2 p(x i ) i=1 Variáveis Aleatórias Discretas 14/1

15 Variância Alternativamente V (X) = k (x i µ) 2 p(x i ) i=1 = k (xi 2 2x i µ + µ 2 ) p(x i ) i=1 = k k k xi 2 p(x i ) 2µ x i p(x i ) + µ 2 p(x i ) i=1 i=1 i=1 = k xi 2 p(x i ) 2µ 2 + µ 2 i=1 = E[X 2 ] µ 2 = E[X 2 ] (E[X]) 2 Variáveis Aleatórias Discretas 15/1

16 Desvio Padrão Definição σ = DP(X) = V (X) = σ 2 Exemplo X : número no dado p(x) = 1 /6 x = 1,..., 6 E[X] = 1 (1 6) +2 ( 1 6) +3 ( 1 6) +4 ( 1 6) +5 ( 1 6) +6 ( 1 ) 6 = 21 6 = 3.5 E[X 2 ] = 1 2 ( 1 ) ( = ) + 32 ( 1 6 ) + 42 ( 1 6 ) + 52 ( ) ( 1 6) = V (X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 = 91 6 ( ) = = Variáveis Aleatórias Discretas 16/1

17 Propriedades da Média e Variância Seja c uma constante e X e Y VAs. a) E[c] = c f) V (c) = 0 b) E[X + c] = E[X] + c g) V (X + c) = V (X) c) E[cX] = ce[x] h) V (cx) = c 2 V (X) d) E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] i) DP(cX) = c DP(X) e) E[X Y ] = E[X] E[Y ] Prova de (b): E[X + c] = i = i (x i + c) p(x i ) x i p(x i ) + c i p(x i ) = E[X] + c Variáveis Aleatórias Discretas 17/1

18 Propriedades da Média e Variância Gráficos p(x) X p(y) Y = X + c E[X] x E[X] + c y p(z) Z = cx ce[x] z Variáveis Aleatórias Discretas 18/1

19 VAs Independentes Definição Dados quaisquer conjuntos E 1,..., E n e VAs X 1,..., X n, as variáveis são independentes se e somente se P(X 1 E 1,..., X n E n ) = P(X 1 E 1 )... P(X n E n ). Propriedades Se X e Y são VAs independentes, então para quaisquer funções g e h: E[g(X) h(y )] = E[g(X)] E[h(Y )] e V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) V (X Y ) = V (X) V (Y ) Variáveis Aleatórias Discretas 19/1

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