Solução: A distribuição normal. Representação gráfica. Cálculo de probabilidades. A normal padrão. σ Será uma N(0; 1).

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1 A distribuição normal Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f (x) =.e π. σ x µ. σ, x R Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br com - < µ < e σ > 0 Representação gráfica Cálculo de probabilidades 0, 0,6 N(0; ) N(0; 0,5) N(0; ) N(; ) P(X x) = x.e π. σ u µ. σ du =? 0, A normal não é integrável por meio do TFC, isto é, não existe uma F(x) tal que F (x) = f(x). Solução: A normal padrão A curva escolhida é a Utilizar integração numérica. Como não é possível fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente). N(0, ), isto é, com µ = 0 e σ =. Se X é uma N(µ, σ), então: Z = X µ σ Será uma N(0; ).

2 A distribuição N(0, ) A fdp da variável Z é dada por: ϕ(z) =.e π z., z R 0,3 0, uma vez que µ = 0 e σ =. 0, -4,0-3,0 -,0 -,0,0,0 3,0 4,0 Tabela: O que é tabelado é a FDA da variável Z, isto é: z - P(Z z) = ϕ(u)du = u z. =.e du = Φ(z) - π A FDA da N(0; ),0 0,9 0, 0,7 0,6 0,5 Φ(z) 0,3 0, z 0, -4,0-3,0 -,0 -,0,0,0 3,0 4,0 Uso da tabela Área à esquerda (abaixo) de z P(Z z) = Φ(z) = Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) = - P(Z z) = - Φ(z) = Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z) = Φ(z) Φ(z) A tabela é construída como uma matriz. As linhas fornecem a unidade ou unidade mais décimo e as colunas fornecem os centésimos. Assim para ler, por exemplo, -0,5 deve-se procurar na linha do 0, + coluna do 5 (sexta coluna). A primeira é a do 0 (zero).

3 A aproximação é centesimal ( casas após a vírgula) exceto nas linhas 3 e +3, que estão destacadas, onde a aproximação é, em virtude da pouca área, decimal. Observe que está escrito 3 e não 3,0! Tabela da N(0; ) Aproximação centesimal, isto é, fatias de. Depois do -3,0 segue,99 o,9 até +,99 e daí 3,0. 0,3 0, 0, Aproximação decimal, isto é, fatias de 0,. Depois do ±3,0 segue ±3, o ±3, até ±3,9. -4,0-3,0 -,0 -,0,0,0 3,0 4,0 z P(Z < -3,3) -, = Φ(-3,3) , , , P(Z < -,53) -, = F(-,53) , , , P(Z < -,00) 9 = F(-,00) -, ,0 Prof. Lorí Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemática - Departamento 7 de Estatística Exemplo: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão. Determinar: (a) P(X 40) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 6) (a) P(X 40) X µ P(X 40) = P( ) = = P(Z,5) = 0,56% (b) P(X > 65) X µ P(X > 65) = P( > ) = = P(Z >,) = P(Z <,) = = Φ(,) = Φ(,) = 3,0% 3

4 (c) P(45 < X < 6) P(45 < X < 6) = X µ 6 50 = P( < < ) = P( 0,6 < Z <,50) = = Φ(,50) Φ( 0,6) = = 93,3% 7,67% = 65,65% A função inversa: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão. Determinar: (a) P(X x) = 5% (b) P(X > x) = % Para resolver este tipo de exercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito direto na tabela. Só que agora devemos procurar uma probabilidade (corpo da tabela) e obter um valor de z (lateral da tabela). 5 4 Graficamente 5% P(X x) = 5% x Em (a) temos P(X x) = 5% X µ P(X x) = P( ) = = P(Z z) = Φ(z) = 5% onde z = Se Φ(z) = 5%, então Φ [ Φ(z)] = Φ z = Φ (5) (5%) Procurando na tabela, o valor (z) mais próximo de 5% = 5, tem-se: 4

5 z , , , , , , , z = -, z = -, , , , , , , , , Como os dois valores estão a mesma distância, isto é, apresentam o mesmo erro (005), pega-se a média entre eles. Assim,64 +,65 z = =,645 Como z =, tem se :,645 = z = x = 50,645. = 36,4 X µ P(X > x) = P( > ) = = P(Z > z) = Φ(z) = % = Mas Em (b) temos P(X > x) = % Φ(z) = Φ( z) Logo z = Φ () % P(X > x) = % x Procurando na tabela, o valor (z) mais próximo de % =, tem-se: z = -,33 Conforme pode ser visto na próxima lâmina! 5

6 z , , , z = -,33 -, , , , , , ,0 7 Como z = Φ (), tem se : (,33) = x =, = 6,64 Aproximação da Binomial pela Normal: É possível se estabelecer aproximações entre as variáveis discretas: Binomial, Hipergeométrica e Poisson conforme visto. É, também, possível aproximar uma variável discreta (a Binomial) por uma contínua (a Normal). P(X = x) P(x 0,5 Y x + 0,5) P(x < X < x ) P(x + 0,5 Y x - 0,5) P(x X x ) P(x - 0,5 Y x + 0,5) Onde Y é uma normal de média µ = np e desvio variância σ = npq 0,5 Graficamente Exemplo: 0, Determinar a probabilidade de que em 0 lançamentos de um dado honesto se obtenha face seis: (a) Exatamente 0 vezes. (b) Mais do que 5 vezes. 6

7 Tem-se: X = número de faces seis em 0 lançamentos. n = 0 p = /6 X ~ B(0; /6) Então: (a) P(X = 0) = = 9,73% (b) P(X > 30) = P(X 30) = 30 x 0 x 0 5 = - = 0, 7% x= 0 x 6 6 Aproximado pela normal, tem-se: Y = número de faces seis em 0 lançamentos, será aproximadamente uma normal: µ Y = 0.(/6) = 0 e σ Y = 0.(/ 6).(5/ 6) = 4,05 (a) P(X = 0) = P(9,5 < Y < 0,5) = = P(-0, < Z < 0,) = = Φ(0,) Φ(-0,) = 9,75% (b) P(X > 30) = - P(X 30) = = - P(Y 30,5) = P(Z,57) = = Φ(-,57) = 0,5% 7