AULA 8. DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS CONTÍNUAS Uniforme, Exponencial e Normal 19/05/2017

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1 AULA 8 DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS CONTÍNUAS Uniforme, Exponencial e Normal 19/05/2017

2 As funções de distribuição (acumulada) e de densidade para v.a. contínuas = =. Se a densidade f(x)for continua no seu campo de definição, então decorre do teorema fundamental do cálculo que: () = =çã A probabilidade de < = < = () Qualquer função pode ser densidade de probabilidade para a v.a. x: Basta que no domínio da variável aleatória x a seguinte propriedade seja válida: Supondo que + "# $ %.=1 '

3 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME

4 1 = () ( ) =0 ) " ) "$ () E[x] = (+',) -.+/ 0 = (, +)- 1- Função Densidade de Probabilidades Uniforme x

5 Função Acumulada de Probabilidade Uniforme

6 Como mudara variávelde uma Distribuiçãode Probabilidades

7 Relação entre y e x dada por uma função contínua: y = g(x) y dy 2 4 =( ) g 4.4=. dx x g 4 =f(x). 6 67

8 Seja uma Função Acumulada qualquer dada por: Vamos calcular a Distribuição da variável y definida por: com

9 Portanto com Vamos lembrar que: # 7 4 =f(x) = 8 4 = 1 () # 7 4 =1 Ou seja, a Função Acumulada tem Distribuição Uniforme com v.a. variando entre zero e um (informação muito importante para geração de variáveis aleatórias com distribuição de probabilidades conhecida)

10 NORMAL OU GAUSSIANA

11 ,:,; = < ) () <<+ e σ>0 E[x] = µ e var (x) = ; = é ) F(:;; = ) Se N(0;1) temos a chamada distribuição normal padronizada: H I = 1 2K ( = ) I= : ; ~F(0; 1)

12 Quem é a variável padronizada z? I= : ; Esta é a variável padrão normal N(0;1)

13 A Distribuição Acumulada Normal ou Gaussiana =.= 1 ; 2K exp : = 2; =. H I = H 1 2K exp I= 2.I A Função H I é tabelada!!! P= 0Q R é variável padronizada

14 Considere que se deseja calcular a probabilidade da variável normal x variar k desvio-padrão, ou seja: : S; :+S; = S : ; S = S I S = H S H ( S) Para qualquer distribuição Normal Supondo, por exemplo, k=1,96 P(-1,96 z +1,96) = Fz(1,96)-Fz(-1,96) = 0,95

15 A Distribuição Normal pode ser usada para calcular aproximadamente uma probabilidade Binomial. Se X tem distribuição binomial de parâmetros n,p(ou seja, a media é igual a npe variância igual a npq), para n grande, vale a aproximação de que x é uma Normal de := ; = =T Dica: esta regra vale para npq 10

16 Uma moeda tem probabilidade de sair cara igual a 0,3. Joga-se a moeda 1000 vezes. Calcule a probabilidade do número de caras ser superior a 400? 400 = =400 + =401.. =1000 Muita conta..mas é possível Mas X pode ser aproximado por uma N(300;210), calcular esta probabilidade: 400 =1 I Como a media é 300, o valor 400 difere em 100 da média, considerando que o desvio-padrão é 14,5, 100 corresponde à aproximadamente 6,9 vezes o desvio padrão. Vimos que para k=1,96 a probabilidade fora do intervalo é 5% Para 1% k é igual a 2,6, ou seja, para k=6,9 o valor deve ser muito pequeno, próximo de zero!

17 distribuicao-normal fdp da Distribuição Normal

18 Portanto, a Distribuição Normal é dada pelas seguintes expressões:,:,; = < ) () <<+ e σ>0 E[x] = µ e var (x) = ; = é ) F(:;; = ) Se N(0;1) temos a chamada distribuição normal padronizada: H I = 1 2K ( = ) I= : ; ~F(0; 1)

19 Regra Prática: A Distribuição Normal pode ser usada para calcular aproximadamente uma probabilidade Binomial. Se X tem distribuição binomial de parâmetros n,p(ou seja, a media é igual a npe variância igual a npq), para n grande, vale a aproximação de que x é uma Normal de := ; = =T Dica: esta regra vale para npq 10

20 Outras propriedades da Distribuição Normal: Se é ) F :;; = "ã 2=+ é um N aμ+; ; = onde Y= a X + b é um modelo de regressão linear Se ~F : ;; = 2~F : 7 ;; 7 = "ã e +2 ~F(: +: 7 ;; = +; 7 = ) 2 ~ F(: : 7 ;; = +; 7 = )

21 Distribuição Exponencial

22 A função densidade exponencial: =_. ` >0 _>0 A Função Acumulada da Exponencial: =.=1 ` b c = 1 _ $ = 1 _ =

23 Propriedades da Função exponencial: A função exponencial não tem memória, isto é: >"+ >" = > > "+ >" = e(fgh'i,fgh) e(fgh) = e(fgh'i) j(fgh) = kbl(mno) k Blm = `i =(>) c = 1 _ $ = 1 _ =

24 () Funções Exponenciais x

25 () x

26 EXPONENCIAL: A RELAÇÃO COM POISSON

27 Na Poisson a v.a. é o número de ocorrências de um evento no tempo e no espaço (v.a. Discreta); Na Exponencial a v.a. é o tempo ou a distância entre os eventos (v.a. Contínua)

28 Exemplo: Na Poisson tenho uma taxa de falhas num fio igual a 6 falhas a cada 20 metros: quero saber qual a probabilidade de ocorrer em 15 metros 10 falhas? (quantidade de eventos num intervalo) Na Exponencial tenho a mesma taxa de falhas mas quero saber a probabilidade de ocorrer uma falha em 5 metros, por exemplo. (intervalo de tempo ou de espaço para ocorrer um evento)

29 Exercícios Exponencial

30 Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários ao Sistema podem ser modeladas como um Processo de Poisson, com media de 25 conexões/hora. Pergunta-se: a)qual a probabilidade de não haver conexões em mais de 6 minutos? (R: 0,082) b) Qual a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 minutos? (R: 0,152) c) Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer neste intervalo seja 0,90 (R: 0,25 min.)

31 Seja X o tempo entre detecções de uma partícula rara em um Contador Geiger e considere que X tenha distribuição exponencial com a=1,4 minutos. A)Qual a probabilidade de detectarmos uma partícula dentro de 30 segundos? B) Ligamos o contador Geiger e esperamos 3 minutos sem detectar partícula. Qual a probabilidade de se detectar partícula nos próximos 30 segundos? Resposta: A) 0,30 B) 0,035 Atenção uma outra forma de apresentar a Exponencial é escrevê-la com o parâmetro a = 1/λ desse modo a Função densidade passa a ser: = 1 p () 0 λ - é a taxa de ocorrência por intervalo a - é o tamanho do intervalo entre ocorrências

32 Exercícios Normal

33 Uma empresa produz televisores de dois tipos, tipo A (comum) e tipo B(luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m., respectivamente. (a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B. (b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B (c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?

34 Seja, XA: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo A X B: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo B XA~N(10; 22) Lucro A: 1200 u.m. Prejuízo A: 2500 u.m. XB~N(11; 32) LucroB: 2100 u.m. Prejuízo B: 7000 u.m. (a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B P(restituição de A) = P(XA< 6) = P(Z < (6-10)/2) = P(Z<-2,0) = 1 -A(2) = 1-0,9772 = 0,0228 P(restituição de B) = P(XB< 6) = P(Z < (6-11)/3) = P(Z<-1,67) = 1-A(1,67) =1-0,9525= 0,0475 A probabilidade de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B, respectivamente, são 2,28% e 4,75%. (b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B P(não restituição de A) = 1 P(restituição de A) = 1 0,0228 = 0,9772 P(não restituição de B) = 1 -P(restituição de B) = 1-0,0475 = 0,9525 Lucro médio de A = 1200 x 0, x 0,0228 = 1115,64 u.m. Lucro médio de B = 2100 x 0, x 0,0475 = 1667,75 u.m. (c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? A empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo B, pois o lucro B é maior que o lucro médio de A.

35 A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8; 1,5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm? Resolução A solução do problema resume-se em determinar a proporção da distribuição que está acima de 10 ppm, isto é, P(X>10) Usando a estatística z temos: P(X>10) = P(z> (10-8)/1,5) = P(z>1,33) = 1 P( 1,33) = 0,09 Portanto, espera-se que a água liberada pela fábrica exceda os limites regulatórios cerca de 9% do tempo.

36 O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 25,08 pol. e desvio padrão 0,05 pol. Se as especificações para esse eixo são 25,00 ±0,15 pol., determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações.

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47 Aplicação Importante da Exponencial: Confiabilidade e Tempo de Vida

48 Definições: Confiabilidade de um sistema: Probabilidade de que um sistema ou componente esteja operando dentro de condições especificadas por um determinado período de tempo ou número de operações. A Confiabilidade de um sistema cuja função de distribuição do tempo de vida é F(x) é, por definição R(x) = 1-F(x) Se F(x) é a Função da Exponencial então: q =1 =1 1 ` = ` para 0<<

49 Definições: Taxa de Falha é aproximadamente igual a probabilidade de que ocorra falha num intervalo de tempo r, após o instante x, dado que não houve falha até este instante (condicional), ou seja: h = lim v b e(xfx' fg) ( + ) lim v b.(>) < lim z A ' z A () <z A () b = = = { A() <z A () =h(x) No casoda Função Exponencial, substituindoos valoresnaexpressãoacima, chega-se a h =_ neste caso, se um componente tem taxa de falha constante, então não importa por quanto tempo ele já esteja funcionando, a chance de ele vir a falhar num pequeno intervalo de tempo subsequente é independente do tempo decorrido, ou seja, é constante.