Modelos de Distribuições

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1 7/5/017 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 05/07/017 19: ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Capítulo IV Modelos de Distribuições Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 1

2 7/5/017 IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas

3 7/5/ Introdução Existem variáveis aleatórias que têm uma função de distribuição pertencente a uma classe de distribuições teóricas. As distribuições teóricas, como o próprio nome indica, foram submetidas a estudos prévios e têm propriedades conhecidas; portanto, podem servir como modelo em determinadas situações em que a distribuição esteja identificada, poupando tempo na análise do problema estudado. 4.1 Introdução As distribuições teóricas que aqui serão estudadas são: Caso discreto - Distribuição binomial - Distribuição hipergeométrica - Distribuição de Poisson Caso contínuo - Distribuição uniforme - Distribuição exponencial - Distribuição normal - Distribuição qui-quadrado - Distribuição t de Student - Distribuição F 3

4 7/5/017 IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas 4. Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve de base a várias distribuições teóricas (distribuição binomial, distribuição binomial negativa e distribuição geométrica). Consideremos uma experiência aleatória na qual existem apenas dois acontecimentos em que estamos interessados: o acontecimento A que será designado por sucesso e o acontecimento contrário, A, que será designado por falha. O sucesso ocorre com probabilidade p, e o insucesso com probabilidade q = 1 p. 4

5 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli O espaço de resultados está assim particionado em dois acontecimentos S { A, A } em que: A sucesso A falha P( A ) p P( A ) q 1 p A uma experiência aleatória com estas características dá-se o nome de prova de Bernoulli. 4. Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli Principais características: Média : 1 0 x i f ( x i ) 0 q 1 p p Variância : E ( x ) i E( X ) 1 0 x i p p f ( x i ) 0 q 1 p( 1 p ) pq p p 5

6 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como o processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas seguintes condições: 1. Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis, designados como sucesso e falha.. A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada por p, permaneça constante. A probabilidade de falha designa-se por q = 1 p. 3. As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidos numa sequência de provas não influenciam os resultados da(s) provas(s) subsequente(s). 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos que apresentam apenas dois resultados: sucesso ou falha. Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses: - H1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas; - H. cada prova admite apenas dois resultados sucesso ou falha; - H3. a probabilidade de sucesso é p e de falha é 1 p = q. 6

7 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Considerando-se uma sucessão de n provas de Bernoulli, a variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos nessas n provas de Bernoulli tem distribuição binomial. A variável aleatória X, que é igual ao número de provas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com parâmetros p e n em que 0 < p < 1 e n = {1,, 3,..., n}. A função de probabilidade de X é n x n f ( x ) p q x x, x 0,1,,...,n 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial É assim chamada (binomial), pois variando X (número de vezes do sucesso) obtemos os termos correspondentes do desenvolvimento do binômio (q + p) n. Com efeito, n n n1 n( n 1 ) n n ( q p ) q nq p q p... p! n! n 0 n! n1 0 q p q p 0!( n 0 )! 1!( n 1 )!... Generalizando, tem-se: n! n!0! q 0 p n f ( x ) n! x!( n q x )! n x p x n p q x x n x 7

8 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Principais características: - De acordo com as hipóteses, observa-se que X é a soma de n variáveis do tipo Bernoulli, daí Média : E( X ) n np Variância : Var ( X ) n npq 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma certa molécula rara. Considere que as amostras sejam independentes em relação à presença da molécula rara. Encontre a probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente contenham a molécula rara. - Seja X = número de amostras de ar que contenham a molécula rara nas próximas amostras analisadas (sucessos); então, X é a variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 18. Assim, f ( x ) n p x x q n x 18 P( X ) (0,1 ) ( 0,9 ) 16 0,84 8

9 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Exemplo: Determine a probabilidade de que no mínimo 4 amostras contenham a molécula rara. - Neste caso, a probabilidade requerida é P( X x 18 x 4 ) ( 0,1 ) ( 0,9 ) x4 x 3 18 x 18 x 1 ( 0,1 ) ( 0,9 ) x0 x 1 ( 0,150 0,300 0,84 0,168 ) 0, Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Exemplo: Determine a probabilidade de que o número de amostras que contenham a molécula rara esteja entre 3 e 6. - Neste caso, a probabilidade requerida é P( x 18 x X 6 ) ( 0,1 ) ( 0,9 ) x3 x 0,168 0,070 0,0 0,005 0,65 9

10 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Distribuição hipergeométrica Suponhamos que temos um conjunto de N elementos e que M destes elementos têm uma certa característica em que estamos interessados (sucesso); logo os outros N-M elementos não têm essa característica. Ao retirarmos n elementos do conjunto inicial de N elementos (retirar de forma aleatória e sem reposição probabilidade do sucesso não constante) consideremos X a variável aleatória que representa o número de elementos que são retirados e que têm a característica em que estamos interessados. A variável aleatória definida nas condições anteriores tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n. 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição hipergeométrica A probabilidade da variável aleatória assumir o valor x é dada por: M N M x n x P( X x ) b( x, N,M,n ) N n com x máx0,n ( N M ),...,minn,m Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n, então: M E( X ) n N M N M N n Var ( X ) n N N N 1 10

11 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Distribuição hipergeométrica Exemplo: Na produção de 1000 parafusos em uma máquina A foi observado que 100 apresentam algum tipo de defeito. Como vão ser utilizados 10 parafusos de cada vez, determine a probabilidade de todos serem perfeitos. - Neste caso, N = 1000, M = 100 e n = 10, a probabilidade requerida, portanto, será: P( X ) 0, Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francês Simon Poisson) está associada a um grande conjunto de situações práticas cujos alguns exemplos são os seguintes: - Número de mensagens que chegam em um servidor no intervalo de uma hora. - Número de partículas defeituosas em um cm 3 de volume de um certo líquido. - Número de defeitos em um metro de comprimento, de um fio produzido por uma máquina têxtil. 11

12 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Todos os exemplos apresentados têm uma característica comum: a variável aleatória em estudo representa o número de ocorrências de um certo evento ao longo de um intervalo (tempo, comprimento, área ou volume). Os valores que a variável aleatória pode assumir são valores inteiros não negativos: 0, 1,..., n, Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Outras características que identicam uma distribuição de Poisson são: - O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são variáveis independentes. - A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar é a mesma para intervalos da mesma dimensão; isto é, a probabilidade depende apenas da amplitude do intervalo e não da posição em que se situa nesse intervalo. - As ocorrências do fenômeno descrito verificam-se uma a uma e nunca em grupos. 1

13 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Para encontrar a expressão que dá a probabilidade de x sucessos num intervalo t, algumas hipóteses precisam ser admitidas: H1. P(X = 1, t) = λ t (ou seja, a probabilidade de um sucesso num intervalo t é proporcional à amplitude do intervalo). H. P(X > 1, t) = 0. H3. P (X 0, t) = 1 λ H4. As ocorrências de sucessos em intervalos são independentes. Tem-se que t = t/n, logo P(X = 1, t) = λt/n. 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Para encontrar a expressão que dá P(X,t), ou seja, a probabilidade de X sucessos no intervalo t, pode-se calcular o limite de uma distribuição binomial com parâmetros n e t/n. Assim: n t P( x,t ) lim x x n x ( t ) P( x,t ) e x! x t 1 n t n x 13

14 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo for λ > 0, a variável aleatória X, que é igual ao número de ocorrências no intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ, sendo a função de distribuição de X dada por Características: x ( t ) f ( x ) x! e t, x 0,1,,... Média : Variância : E( X ) t Var( X ) t 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Exemplo: Mensagens chegam a um servidor de computadores de acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de 10 por hora. a) Qual a probabilidade de 3 mensagens chegarem em 1 hora? b) Qual a probabilidade de 6 mensagens chegarem em 30 minutos? 14

15 7/5/ Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Exemplo: a) Seja X a representação do número de mensagens em 1 hora. Então E(X) = 10 mensagens e E( x ) t 10 x ( t ) f ( x ) x! e t ( 10 1 ) P( X 3 ) 3! ( 10 ) 3! 0, e 101 b) Seja X a representação do número de mensagens em 30 minutos (0,5 hora). Então E(X) = 10.0,5 = 5 mensagens e x ( t ) f ( x ) x! e t ( 10 0,5 ) P( X 6 ) 6! 6 e 100,5 3 ( 5 ) 6! 6 e 10 e 5 0,146 IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas 15

16 7/5/017 Distribuição uniforme A distribuição uniforme é a mais simples distribuição contínua; entretanto, é uma das mais importantes e utilizadas dentro da teoria de probabilidade. Tem uma importante característica a qual a probabilidade de acontecer um fenômeno de mesmo comprimento é a mesma. Consideremos uma variável aleatória contínua, cujos valores podem ocorrer dentro dum intervalo limitado (aberto ou fechado) [a,b]. Se quaisquer dois subintervalos de igual amplitude têm a mesma probabilidade, então a variável aleatória tem distribuição uniforme. Distribuição uniforme Diz-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a,b] se a sua função de densidade de probabilidade for dada por: f ( 1 x ) b a 0 a x b para outros valores de x 16

17 7/5/017 Distribuição uniforme Os parâmetros caracterizadores desta distribuição são a e b, que satisfazem a condição < a < b < +. Sua função de distribuição cumulativa F(x) é dada por: 0 x a F( x ) b a 1 x a a x b x b Características: Se a variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [a,b] então: a b E( X ) ( b a ) Var( X ) 1, Distribuição uniforme Exemplo: A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede telefônica de 7 km foi modelada por uma distribuição uniforme no intervalo [0,7]. Qual é a probabilidade de que uma pane venha a ocorrer nos primeiros 800 metros? E qual a probabilidade de que ocorra nos 3 km centrais da rede? f ( x ) 1 1 b a 7 0 P( a x b ) f ( x )dx b a 1 7, para 0 x 7 ( a ) P(0 x 0,8 ) ( b ) P( x 5 ) 1 x dx ,8 0 1 x dx ,8 0 0,8 0, ,

18 7/5/017 Distribuição uniforme Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta (0,). Qual a probabilidade de que este ponto esteja entre 1 e 1,5? - Seja X a representação da variável escolher um ponto de (0,). A função densidade de probabilidade de X é dada por: Então: 1 1 f ( x ) 0,5 b a 0 P( a x b ) para 0 x P( 1 x 1,5 ) b a 1,5 1, f ( x )dx 0,5dx 0,5 Distribuição Exponencial A distribuição exponencial está intimamente ligada à distribuição de Poisson. Se o número de ocorrências de um certo acontecimento segue uma distribuição de Poisson, a medida de espaço entre duas ocorrências consecutivas ou a medida de espaço até à primeira ocorrência segue uma distribuição exponencial. A distribuição de probabilidade de um intervalo entre dois sucessos consecutivos de uma lei de Poisson é a distribuição exponencial. A distribuição exponencial é também usualmente utilizada na descrição do tempo de vida de aparelhos, de organismos etc. (lei de falhas exponencial). 18

19 7/5/017 Distribuição Exponencial Sua função densidade de probabilidadea é dada por f ( x ) λe λx para x 0 onde λ é o parâmetro caracterizador da distribuição, sendo λ > 0. Características: Média : Variância : E( X ) Var ( X ) 1 1 Distribuição Exponencial O gráfico de f(x) é dado por: f(x) λ 0 x Função distribuição cumulativa: F( x ) 0 F( x ) x 0 λe, λx dx 1 e para x para x λx,

20 7/5/017 Distribuição Exponencial Conhecida a função distribuição cumulativa de x, pode-se facilmente determinar P( X x x 0 0 x 1 e 0 ) 1 F( x0 ) 1 e f(x) λ e -λx o 0 x o x Distribuição Exponencial Exemplo: Os defeitos de um tecido seguem a distribuição de Poisson com média de um defeito a cada 400 m de tecido. Qual a probabilidade de que o intervalo entre dois defeitos consecutivos seja: a) No mínimo de 1000 m; b) Entre 800 e 1000 m. Calcule a média e a variância. 0

21 7/5/017 Distribuição Exponencial Exemplo: - Sabe-se que na distribuição de Poisson E(x) = λt, então: E( x ) a ) P( x 1defeito t 400 m 1000 ) e x e 1 / 400 defeito 1m ,081 ou 8,1% defeito / m b ) P( 800 x 1000 ) P( x e ) P( x 1000 ) e ,053 ou 5,3% Distribuição Exponencial Exemplo: Média : Variância : 1 1 E( X ) 400 m Var ( X ) m

22 7/5/017 Distribuição Normal É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística. A grande maioria das variáveis aleatórias contínuas que descrevem processos físicos ou características humanas seguem uma distribuição normal. Algumas vezes, as variáveis aleatórias não seguem uma distribuição normal, mas aproximam-se muito desta. Por outro lado, a distribuição normal desempenha um papel crucial na inferência estatística. É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss Distribuição Normal Seja X uma variável aleatória contínua, X terá uma distribuição normal se f ( x ) σ 1 e π ( x μ ) σ para x onde μ e σ são os parâmetros caracterizadores da distribuição. Se a variável aleatória X tem distribuição normal então: E( X ) e Var( X ) A notação N(μ,σ ) é frequentemente usada para denotar uma distribuição normal, com média μ e variância σ.,

23 7/5/017 Distribuição Normal Quando se utiliza a distribuição normal na forma como se apresenta, para o cálculo das probabilidades, surgem dois problemas: - A integração de f(x) fica difícultada, pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento da função em série; - A elaboração de uma tabela de probabilidades única inexiste, pois como f(x) depende de dois parâmetros, isto acarreta um grande trabalho para tabelar essas propriedades considerando-se as várias combinações de μ e σ. Distribuição Normal Esses problemas podem ser contornados por meio de uma mudança de variável, obtendo-se, assim, a distribuição normal padronizada ou reduzida. Distribuição normal padrão: - Seja Z uma variável aleatória tal que: Z i X i em que X é uma variável normal de média μ e variância σ. 3

24 7/5/017 Distribuição Normal Distribuição normal padrão: - A média e a variância de Z serão: E( Z ) Var ( Z ) X 1 E X 1 Var E( X ) E( X ) E( ) Var ( X ) Var ( X ) Logo, a função densidade de probabilidade será: z 1 ( z ) e, z - Como a média de Z é 0 e a variância 1, as probabilidades podem ser facilmente calculadas e tabeladas. 0 Distribuição Normal Propriedades da distribuição normal 1. f(x) é simétrica em relação à média x = μ, ou φ(z) é simétrica em relação a z = 0. f(x) φ(z) μ 0 4

25 7/5/017 Distribuição Normal Propriedades da distribuição normal. f(x) possui um máximo para x = μ, ou φ(z) possui um máximo para z = 0. φ(z) 0,39 Distribuição Normal Propriedades da distribuição normal 3. f(x) tende a zero quando x tende para ±, o mesmo acontecendo com φ(z) quando z tende para ± ; isto é, x ou z são assíntotas de f(x) ou φ(z). 5

26 7/5/017 Distribuição Normal Propriedades da distribuição normal 4. f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem μ + σ e μ σ, da mesma forma φ(z) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e 1. μ-σ μ+σ Distribuição Normal Propriedades da distribuição normal 5. Em ambas as funções 99,99% dos valores da variável pertencem ao intervalo [μ - 4σ, μ + 4σ]. 6

27 7/5/017 Distribuição Normal Propriedades da distribuição normal 6. Na figura (a) estão representadas duas distribuições que têm o mesmo valor médio (μ 1 = μ ), mas diferentes desvios padrões (σ 1 < σ ). Na figura (b) estão representadas duas distribuições que têm o mesmo desvio padrão, mas médias diferentes. (a) 1 (b) Distribuição Normal Propriedades da distribuição normal 6. Alguns resultados úteis relativos à distribuição normal, são sumarizados na figura abaixo. Para qualquer variável aleatória normal, P( X ) 0,687 P( X ) 0,9545 P( 3 X 3 ) 0,9975 7

28 7/5/017 Distribuição Normal Propriedades da distribuição normal - Pelo fato de mais de 0,9975 da probabilidade de uma distribuição normal estar dentro do intervalo (μ - 3σ, μ + 3σ), 6σ é frequentemente referida como a largura de uma distribuição normal. - A integração numérica pode ser usada para mostrar que a área sob a função densidade de probabilidade normal de < x < é igual a 1. Distribuição Normal Uso da tabela de distribuição normal padrão - Existem vários tipos de tabelas que oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal padrão. - Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = - até o valor de z considerado, ou seja, P(Z z). z o 8

29 7/5/017 Distribuição Normal Uso da tabela de distribuição normal padrão - O uso da tabela para encontrar, por exemplo, P(Z 1,53) é ilustrado na figura abaixo: P(Z 1,53) = Φ (1,53) = área sombreada 1,53 z ,01 0,0 0, ,09 0 0, , , , , ,1 0, , , , , ,5 0, , , , , ,9 0, , , , , Distribuição Normal Uso da tabela de distribuição normal padrão - Definição: A função Φ(z) = P(Z z) é usada para denotar uma probabilidade proveniente da tabela anterior. Ela é chamada de função distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal padrão. - Uma tabela é requerida porque a probabilidade não pode ser determinada pelos métodos elementares. 9

30 7/5/017 Distribuição Normal Uso da tabela de distribuição normal padrão - Outros exemplos: Distribuição Normal Uso da tabela de distribuição normal padrão - Exemplos: Os seguintes cálculos são mostrados de forma diagramática na figura a seguir. 1) P( Z 1,6 ) 1 P( Z 1,6 ) 1 0, ,

31 7/5/017 Distribuição Normal Uso da tabela de distribuição normal padrão ) P( Z 0,86 ) 0, ) P( Z 1,37 ) P( Z 1,37 ) 0,91465 Distribuição Normal Uso da tabela de distribuição normal padrão 4 ) P( 1,5 Z 0,37 ) P( Z 0, , , ,37 ) P( Z 1,5 ) 31

32 7/5/017 Distribuição Normal Uso da tabela de distribuição normal padrão 5 ) P( Z P( Z P( Z P( Z 4,6 ) 3,99 ) 0, ,6 ) 0,0003 4,6 ) 0 P( Z 3,99 ) Distribuição Normal Uso da tabela de distribuição normal padrão 6 ) P( Z z ) 0,05 Da tabela : P( Z P( Z z ) 0,95 0,95 ) z 1,65 ( valor mais próximo ). 3

33 7/5/017 Distribuição Normal Uso da tabela de distribuição normal padrão 7 ) P( z Z z ) 0,99 Por simetria, a área em cada extremidad e da distribuição é igual a ( 1 0,99 ) / 0,005. O valor de z correspond e a probabilidade de 0,995 na tabela. A probabilidade mais próxima desse valor na tabela é 0,99506, quando z,58. Distribuição Normal Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária - Todas as distribuições normais estão relacionadas algebricamente e a tabela da distribuição normal padrão pode ser usada para encontrar as probabilidades associadas com uma variável aleatória normal arbitrária usando a transformação Z i X i onde X é a variável aleatória normal de média μ e variância σ. 33

34 7/5/017 Distribuição Normal Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária - Exemplo: Suponha que as medidas de corrente em um pedaço de fio sigam a distribuição normal, com uma média de 10 miliampères e uma variância de 4 (miliampères). Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliampères? Distribuição Normal Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária - Seja X a representação da corrente em miliampères. A probabilidade requerida pode ser representada por P(X > 13). Usando a transformação de variável tem-se: Logo, P( X X Z 1,5 13 ) P( Z 1,5 ) 1 P( Z 1,5 ) 1 0, ,

35 7/5/017 Distribuição qui-quadrado Trata-se de um modelo de distribuição contínua muito importante para a teoria da inferência estatística. Seja X 1, X,..., X n, como uma amostra aleatória de uma distribuição normal, com média µ e variância σ desconhecidas. A grandeza ( n 1 ) S tem uma distribuição qui-quadrado, com n-1 graus de liberdade, abreviada como ou n1. Distribuição qui-quadrado Entendendo a ideia de graus de liberdade: Consideremos um conjunto de dados qualquer. Graus de liberdade é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores. Por exemplo, consideremos que estudantes obtiveram em um teste média 8,0. Assim, a soma das 10 notas deve ser 80 (restrição). Portanto, neste caso, temos um grau de liberdade 9 (10 1 = 9), pois as nove primeiras notas podem ser escolhidas aleatoriamente, contudo a 10ª nota deve ser igual a [10 (soma das 9 primeiras)]. 35

36 7/5/017 Distribuição qui-quadrado Em geral, a função densidade de probabilidade de uma variável qui-quadrado é dada baixo, em que k é o número de graus de liberdade e Γ(k/) é a função gama: f ( x ) k / 1 ( k / ) Pode-se demonstrar que a média de uma distribuição qui-quadrado é igual ao número de graus de liberdade, e que a variância é igual ao dobro do número de graus de liberdade: E Var ( k / ) 1 ( ) ( ) e /, ( m ) 0 e x x m1 dx Distribuição qui-quadrado A forma da curva que descreve a função densidade varia conforme o valor do grau de liberdade (valor do parâmetro φ): 36

37 7/5/017 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - A distribuição qui-quadrado está tabelada. A tabela fornece a abscissa da distribuição para diversas áreas (probabilidades) da cauda à direita. Assim: Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 01: Admita φ = 9 e α = 5%. Entra-se na 1ª coluna com φ = 9, e na 1ª linha com α = 0,05; na intersecção dessas obtém-se o número 16,9. φ = 9 α = 5% 16,9 37

38 7/5/017 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: Considere uma distribuição qui-quadrado com parâmetro 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 90º percentil. a) A média, a variância e o desvio padrão: ( 18 ( ( 18 ) ) 36 ) 36 6 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: b) A mediana 38

39 7/5/017 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: c) O 1º quartil Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: d) O 90º percentil 39

40 7/5/017 Distribuição t de Student Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha à distribuição normal padrão, N(0,1). É utilizada para inferências estatísticas, particularmente, quando se tem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos (Fonseca & Martins, 1996). Considere X 1, X 1,..., X n como uma amostra aleatória para uma distribuição normal com média e variância desconhecidas. A grandeza, X T S / n tem uma distribuição t, com n - 1 graus de liberdade. Distribuição t de Student A função densidade de probabilidade t é dada abaixo, sendo k o número de graus de liberdade: [( k 1 ) / 1 ( x ) x ( k1 ) / k ( k / ) [( x / k ) 1] f Como visto, a distribuição t também possui um parâmetro denominado grau de liberdade (k = φ = n - 1), e é simétrica em relação à sua média. A média dessa distribuição é zero, e sua variância é dada por: Var t ( t ) ( ) 40

41 7/5/017 Distribuição t de Student Gráfico da distribuição t de Student (para φ = 4): Observa-se que para valores de φ < 30 a distribuição t apresenta maior dispersão do que a normal padrão N(0,1), já que o desvio padrão, nesses casos, é maior do que 1, que é o desvio padrão da distribuição normal padrão. Distribuição t de Student Exemplo: - Para φ = 4 tem-se: 4 ( t 4 ) 1, Para φ = 35 tem-se: 35 ( t 35 ) 1, Para φ = 60 tem-se: 60 ( t 60 ) 1,

42 7/5/017 Distribuição t de Student Uso da tabela de distribuição t de Student - Trata-se de uma tabela unicaudal. Assim: 1 α α Encontra-se na tabela Distribuição t de Student Uso da tabela de distribuição t de Student - Procedimento de uso da tabela: 4

43 7/5/017 Distribuição t de Student Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro igual a 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 95º percentil. a) A média, a variância e o desvio padrão: Média : ( t 18 Variância : ( t Desvio padrão : ) ) 1,13 18 ( t 18 ) 1,13 1,06 Distribuição t de Student Exemplo: b) A mediana Md(t 18 ) : Md = c) O 1º quatil Q 1 : d) O 95º percentil P 95 : 43

44 7/5/017 Distribuição F de Snedecor Trata-se de um modelo de distribuição contínua também útil para inferências estatísticas. A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatórias independentes com distribuições qui-quadrado. Assim, uma distribuição F com υ (pronuncia-se upsilon) graus de liberdade no numerador e ν (pronuncia-se ni) graus de liberdade no denominador é expressa por: F(, ) Distribuição F de Snedecor Sejam W e Y variáveis aleatórias independentes qui-quadrado, com υ e ν graus de liberdade, respectivamente. Então a razão W / F Y / tem a função densidade de probabilidade ( / x ( x 1 f ( x ) ) 1 0 x e é dita seguir a distribuição F com υ graus de liberdade no numerador e ν graus de liberdade no denominador, geralmente abreviada com F υ,ν. / ) 1 44

45 7/5/017 Distribuição F de Snedecor A função F possui dois parâmetros: o grau de liberdade do numerador e o grau de liberdade do denominador, que são denominados, comumente, por υ e ν ou φ 1 e φ. A média, a variância e a moda dessa distribuição são dadas por: Média : Variância : Moda : Distribuição F de Snedecor Formas de gráficos da distribuição F : 45

46 7/5/017 Distribuição F de Snedecor Uso da tabela de distribuição F - A tabela fornece as abscissas que deixam α na cauda à direita, dados os parâmetros φ 1 e φ. Distribuição F de Snedecor Uso da tabela de distribuição F - Para se encontrar o valor da abscissa F 1-α (u,v) utiliza-se a fórmula: 1 F1,u,v F - Exemplo: Admita uma distribuição F com u = 9, v = 5 e α = 5, determine as abscissas.,v,u 46

47 7/5/017 IV Modelos de Distribuições FIM 47