Distribuições de Probabilidade

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1 Distribuições de Probabilidade Carla Henriques, Nuno Bastos e Cristina Lucas Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

2 A distribuição binomial é a distribuição discreta mais usada na inferência estatística. Prova de Bernoulli Uma experiência aleatória que tem apenas dois resultados possíveis: S = Sucesso é uma prova de Bernoulli, onde F = Fracasso p = P(S) e q = 1 p = P(F) C. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

3 Considere-se a experiência aleatória caracterizada pelo seguinte: realizam-se n provas de Bernoulli em idênticas condições; cada prova tem apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso ; as provas são independentes umas das outras, isto é, o resultado de cada prova não influencia os resultados das restantes; as probabilidades de sucesso, p, e de fracasso, q = 1 p, mantêm-se inalteradas de prova para prova.. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

4 Definição Seja X o n o de sucessos obtidos em n provas de Bernoulli. Então X tem distribuição Binomial de parâmetros n e p e a sua função de probabilidade é dada por: ( ) n p f X (x) = x x (1 p) n x, x = 0, 1, 2,..., n 0, c.c. Abreviadamente escreve-se: X B(n, p) E(X) = np Var(X) = np(1 p) = npq C. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

5 Exemplo A experiência aleatória que consiste no lançamento de uma moeda é uma prova de Bernoulli. Lançando duas moedas estamos a realizar duas provas de Bernoulli. Considerando que os dois lançamentos são independentes e que as duas moedas são idênticas e honestas, a v.a. considerada neste exemplo X n o de caras obtidas no lançamento de duas moedas tem distribuição Binomial de parâmetros n=2 e p=0.5 X B(2, 0.5). x P(X=x) C. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

6 Exemplo Suponhamos que se lança um dado 5 vezes. Qual é a probabilidade de obter 2 quatros? E qual a probabilidade de obter no máximo 2 quatros? Resolução: Seja X a v.a. que representa o número de quatros obtidos em 5 lançamentos de um dado. X B(5, 1/6). As probabilidades pedidas são as seguintes, ( ) 5 P(X = 2) = ( )2 (1 1 6 )5 2 = F(2) = P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

7 A distribuição de Poisson é usada para tratar fenómenos aleatórios que envolvem a contagem de ocorrências num dado intervalo, geralmente de tempo ou de espaço. Exemplos n o de chamadas telefónicas recebidas por uma empresa numa hora; n o de nós existentes num metro de tecido de uma peça acabada de fabricar; n o de clientes que entra numa loja de conveniência no período de almoço; n o de acidentes que ocorrem na A25 numa semana; n o de peixes doentes num metro quadrado de área de uma baía poluída. C. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

8 Nem todos os fenómenos de contagem de ocorrências podem ser convenientemente modelados usando a distribuição de Poisson. No entanto, se: o número de ocorrências em determinado intervalo é independente do número de ocorrências noutro intervalo qualquer, não coincidente com o primeiro; a probabilidade de haver x ocorrências num intervalo de amplitude t, depende exclusivamente do n o x e da amplitude t. Isto é, considerando dois intervalos distintos mas com a mesma amplitude, são iguais as probabilidades de se registarem x ocorrências em cada um; a probabilidade de mais de uma ocorrência num intervalo suficientemente pequeno é aproximadamente igual zero, portanto desprezável; a probabilidade de haver exactamente uma ocorrência num intervalo suficientemente pequeno é aproximadamente proporcional ao tamanho do intervalo então, o número de ocorrências num intervalo qualquer de amplitude t, é uma variável aleatória X com distribuição de Poisson. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

9 Se X tem distribuição de Poisson de parâmetro µ então a função de probabilidade de X é dada por { e µ µ x f X (x) = x!, x=0,1,2,... 0, outros valores Escreve-se abreviadamente X Po(µ) A média e a variância desta distribuição são iguais ao parâmetro µ: E(X) = µ e Var(X) = µ. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

10 Sendo X n o de ocorrências num intervalo de amplitude t Se X tem distribuição de Poisson e se λ é o número médio de ocorrências por unidade, então µ = λt é o número médio de ocorrências num intervalo de amplitude t. Assim, f X (x) = e µ µ x x! = e λt (λt) x x!, x = 0, 1, 2, 3,... C. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

11 Exercício Suponhamos que os clientes entram num armazém à média de 60 por hora. Usando adequadamente a distribuição de Poisson: a) determine a probabilidade de que num intervalo de 5 minutos não entre ninguém no armazém; b) o intervalo de tempo tal que a probabilidade de que não entre ninguém no armazém durante o dito intervalo seja de 0.5. Sol: a)0.0067; b) Intervalo de aproximadamente 0.7 minutos.. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12

12 Relação entre a e a A relação entre as duas distribuições pode expressar-se através da expressão seguinte: lim B(n, p) n (np = λ) Poisson(λ) O interesse prático de aproximar uma distribuição Binomial por uma de Poisson resulta do cálculo da função de probabilidade ser mais simples no segundo caso. Tal aproximação só é razoável quando n for grande (n 20) e só tem interesse quando a distribuição Binomial for assimétrica (np < 7). De facto, como se verá, se a distribuição Binomial for simétrica (ou quase simétrica), é mais prático aproxima-la pela distribuição Normal, como adiante veremos. C. Henriques, N. Bastos e C. Lucas (DepMAT) Distribuições de Probabilidade 2010/ / 12