Variáveis Aleatórias Contínuas
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- Guilherme Ribeiro
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1 Variáveis Aleatórias Contínuas Bacharelado em Administração - FEA - Noturno 2 o Semestre 2017 MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
2 Objetivos da Aula Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Exemplos de Distribuições Contínuas 3 Variáveis Aleatórias Contínuas 4 Esperança 5 Variância 6 Função de Distribuição Acumulada 7 Outras Distribuições MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
3 Objetivos da Aula Objetivos da Aula Variáveis Contínuas O objetivo principal desta aula é apresentar alguns formas de distribuições de variáveis aleatórias contínuas, discutir as principais propriedades para esse tipo de variável e ilustrar com algumas aplicações. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
4 Exemplos de Distribuições Contínuas Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Exemplos de Distribuições Contínuas 3 Variáveis Aleatórias Contínuas 4 Esperança 5 Variância 6 Função de Distribuição Acumulada 7 Outras Distribuições MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
5 Distribuição Uniforme Exemplos de Distribuições Contínuas f(x) x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
6 Exemplos de Distribuições Contínuas Distribuição Triangular f(x) x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
7 Distribuição Normal Exemplos de Distribuições Contínuas f(x) x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
8 Exemplos de Distribuições Contínuas Distribuição Exponencial f(x) x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
9 Variáveis Aleatórias Contínuas Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Exemplos de Distribuições Contínuas 3 Variáveis Aleatórias Contínuas 4 Esperança 5 Variância 6 Função de Distribuição Acumulada 7 Outras Distribuições MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
10 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Definição Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo valores num intervalo de números reais, é denominada variável aleatória contínua. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
11 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Definição Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo valores num intervalo de números reais, é denominada variável aleatória contínua. Exemplos altura de um adulto custo do sinistro de um carro temperatura mínima diária saldo em aplicações financeiras ganho de peso após dieta distância percorrida MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
12 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Função densidade de probabilidade A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória X é uma função f (x) 0 cuja área total sob a curva seja igual à unidade. Em termos matemáticos + f (x)dx = 1. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
13 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Distribuição Uniforme Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5] (X U[1, 5]), a função densidade de probabilidade de X é definida por { 1 f (x) = 4 1 x 5, 0 c.c. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
14 Descrição de f (x) Variáveis Aleatórias Contínuas f(x) x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
15 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Distribuição Uniforme A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base = 4 e altura h = 1 4. Logo, a área total fica dada por A = h = = 1. f(x) A x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
16 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Distribuição Uniforme A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela solução da integral dx = = 1 4 x 5 1 dx = 1 (5 1) 4 = 4 4 = 1. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
17 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Probabilidade de eventos A probabilidade P(a X b) corresponde à área sob a curva no intervalo [a, b]. Em termos matemáticos P(a X b) = b a f (x)dx. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
18 Distribuição Uniforme Variáveis Aleatórias Contínuas Por exemplo, a probabilidade P(1 X 2) corresponde à área do retângulo de base = 1 e altura h = 1 4. Essa área fica dada por B = h = = 0, 25. f(x) B x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
19 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Distribuição Uniforme A probabilidade P(1 X 2) pode ser calculada diretamente pela solução da integral dx = = 1 4 x 2 1 dx = 1 (2 1) 4 = 1 4 = 0, 25. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
20 Esperança Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Exemplos de Distribuições Contínuas 3 Variáveis Aleatórias Contínuas 4 Esperança 5 Variância 6 Função de Distribuição Acumulada 7 Outras Distribuições MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
21 Esperança Esperança Definição A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X fica dada por µ = E(X) = + xf (x)dx. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
22 Variância Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Exemplos de Distribuições Contínuas 3 Variáveis Aleatórias Contínuas 4 Esperança 5 Variância 6 Função de Distribuição Acumulada 7 Outras Distribuições MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
23 Variância Variância Definição A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por Var(X) = E[X µ] 2 = E(X 2 ) µ 2, em que E(X 2 ) = + x 2 f (x)dx. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
24 Variância Distribuição Uniforme Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a,b] (X U[a, b]), então f (x) = (b a) 1 para a x b e f (x) = 0 em caso contrário. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
25 Variância Distribuição Uniforme Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a,b] (X U[a, b]), então f (x) = (b a) 1 para a x b e f (x) = 0 em caso contrário. Esperança A esperança de X fica dada por E(X) = a + b 2. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
26 Variância Distribuição Uniforme Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a,b] (X U[a, b]), então f (x) = (b a) 1 para a x b e f (x) = 0 em caso contrário. Esperança A esperança de X fica dada por Variância A variância de X fica dada por E(X) = a + b 2. Var(X) = (b a)2. 12 MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
27 Função de Distribuição Acumulada Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Exemplos de Distribuições Contínuas 3 Variáveis Aleatórias Contínuas 4 Esperança 5 Variância 6 Função de Distribuição Acumulada 7 Outras Distribuições MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
28 Função de Distribuição Acumulada Função de distribuição acumulada Definição A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória T contínua é definida por F(x) = P(T x) = x f (t)dt. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
29 Função de Distribuição Acumulada Função de Distribuição Acumulada Distribuição Uniforme A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória T U[a, b] é dada por F(x) = 0 x < a, x b a a x < b, 1 x b. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
30 Descrição de F(x) Função de Distribuição Acumulada F(x) a b x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
31 Outras Distribuições Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Exemplos de Distribuições Contínuas 3 Variáveis Aleatórias Contínuas 4 Esperança 5 Variância 6 Função de Distribuição Acumulada 7 Outras Distribuições MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
32 Distribuição Exponencial Outras Distribuições Distribuição Exponencial Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ > 0 (X Exp(λ)), a função densidade de probabilidade de X é definida por f (x) = λe λx, em que x > 0. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
33 Outras Distribuições Descrição de f (x) f(x) x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
34 Distribuição Exponencial Outras Distribuições Área total A área total sob a curva é calculada através da integral + 0 λe λx dx = λ + 0 e λx dx = 1. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
35 Distribuição Exponencial Probabilidade de eventos Outras Distribuições A probabilidade P(1 X 2) corresponde à área na figura abaixo e pode ser calculada pela integral A = 2 1 λe λx dx = e λ e 2λ. f(x) A x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
36 Distribuição Exponencial Outras Distribuições Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ > 0. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
37 Distribuição Exponencial Outras Distribuições Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ > 0. Esperança A esperança de X fica dada por E(X) = 1 λ. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
38 Distribuição Exponencial Outras Distribuições Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ > 0. Esperança A esperança de X fica dada por E(X) = 1 λ. Variância A variância de X fica dada por Var(X) = 1 λ 2. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
39 Outras Distribuições Distribuição Exponencial Função de distribuição acumulada A Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatória T Exp(λ) fica dada por { F(x) = 0 x 0, 1 e λx x > 0. MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
40 Outras Distribuições Descrição de F(x) para λ = 1 F(x) x MAE0219 (IME-USP) Variáveis Aleatórias Contínuas 2 o Semestre / 35
41 Distribuição normal A distribuição normal é uma distribuição contínua cuja densidade de probabilidade é dada pela seguinte expressão: f(x) = σ 1 2π e (x µ ) 2 2σ 2, - < x <
42 O gráfico da densidade normal Propriedades: A curva normal é simétrica em torno da média µ; Como consequência a mediana é igual à média µ- σ e µ + σ são os pontos onde a concavidade da curva muda de sentido A área sob a curva e acima do eixo horizontal é igual a 1.
43 Parâmetros da distibuição normal A distribuição normal depende dos parâmetros de posição µ e de dispersão σ 2. Quando falamos distribuição normal estamos empregando o termo num sentido um tanto ambíguo, que pode se referir a uma distribuição normal com um µ e um σ 2 dados ou ao conjunto de todas as distribuições normais em que - < µ < e σ 2 > 0.
44 O significado de µ e σ 2 Da simetria da curva tem-se que E(X) = µ. Pode-se calcular a variância de X, obtém-se: E{ X- E(X)} 2 = σ 2. Ou seja σ 2 é a variância de X. Usaremos a seguinte notação para indicar a distribuição normal com média µ e variância σ 2 : X ~ N(µ, σ 2 )
45 Importância da distribuição normal A distribuição normal é uma das mais importantes na Estatística porque um grande número de fenômenos aleatórios podem ser aproximados por essa distribuição. Ela foi introduzida pelo matemático alemão Karl Frederich Gauss em 1809 para descrever a distribuição dos erros de medidas. Na próxima aula vamos utilizar um resultado da teoria das probabilidades que mostra um caráter universal da distribuição normal e justifica porque ela é encontrada com freqüência. Este resultado é denominado Teorema Central do Limite.
46 Propriedades dos modelos contínuos Em resumo, as variáveis contínuas têm as seguintes propriedades: A distribuição de probabilidades de uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade f, satisfazendo: (i) A área sob f é 1; (ii) P(a X b) é dada pela área sob o gráfico de f acima do eixo x e entre os pontos a e b; (iii) f(x) 0 para todo x. Uma consequência de (ii) é que P(X = x) = 0 para todo x.
47 Probabilidades de intervalos Decorre da propriedade (iv), que: P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b)
48 Curvas normais com mesma média mas com desvios padrão diferentes.
49 Curvas normais com mesmo desvio padrão mas com médias diferentes.
50 Cálculo de probabilidades para uma variável aleatória X com distribuição N(µ, σ 2 ) P(a < X < b) = área sob a curva e acima do eixo horizontal entre a e b.
51 Para calcular probabilidades associadas a qualquer distribuição N(µ, σ 2 ) vamos usar a seguinte propriedade da distribuição normal: Se X tem distribuição N(µ, σ 2 ) então a v. a. X - µ Z =, σ tem distribuicão normal com média 0 e variância 1.
52 Conclusão A importância desse resultado é que a nova variável tem também distribução normal. Portanto, para calcular P (a < X < b) reduz-se X a uma variável normal padrão Z P(a < X < b) = P a - µ X - µ b - µ < < = σ σ σ P a - µ b µ < Z < - σ σ Z ~ N (0,1)
53 Uso da tabela normal padrão A tabela II do livro Noções de Estatística fornece os valores de: A(z) = P(Z z), para z 0.
54 Parte inteira e primeira decimal de z Distribuição Normal : Valores de P( Z < z ) = A(z) Segunda decimal de z
55 Exemplo (a): Seja Z ~ N (0,1) Calcular P(Z 1,71) P(Z 1,71) = A(1,71) = 0,9564
56 Exemplo (b): Seja Z ~ N (0,1) Calcular P(0 < Z 1,71) P(0 < Z 1,71) = A(1,71) - 0,5 = 0,9564-0,5 = 0,4564
57 Exemplo (c): Seja Z ~ N (0,1) Calcular P(1,32 < Z 1,79) P(1,32 < Z 1,79) = A(1,79) - A(1,32) = 0,9633-0,9066 = 0,0567
58 Exemplo (d): Seja Z ~ N (0,1) Calcular P(Z 1,5) P(Z 1,5) = 1 - A(1,5) = 1-0,9332 = 0,0668
59 Exemplo (e): Seja Z ~ N (0,1) Calcular P(Z -1,3) P(Z -1,3) = 1 - A(1,3) = 1-0,9032 = 0,0968
60 Exemplo (f): Seja Z ~ N (0,1) Calcular P(-1,32 < Z < 0) P(-1,32 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,32) = A(1,32) - 0,5 = 0,9066-0,5 = 0,4066
61 Exemplo (g): Seja Z ~ N (0,1) Calcular P(-2,3 < Z -1,49) P(-2,3 < Z -1,49) = P(1,49 < Z 2,3) = A(2,3) - A(1,49) = 0,9893-0,9319 = 0,0574
62 Exemplo (h): Seja Z ~ N (0,1) Calcular P(-1 Z 2) P(-1 Z 2) = A(2) - [ 1 - A(1) ] = 0, (1-0,8413) = 0,8186
63 a) Como encontrar o valor z na distribuição N(0, 1) tal que P(Z z) = 0,975 z é tal que A(z) = 0,975 Pela tabela, z = 1,96
64 b) Como encontrar o valor z na distribuição N(0, 1) tal que: P(0 < Z z) = 0,4975 z é tal que A(z) = 0,5 + 0,4975 = 0,9975 Pela tabela, z = 2,81
65 c) Como encontrar o valor z na distribuição N(0, 1) tal que: P(Z z) = 0,3 z é tal que A(z) = 0,7 Pela tabela, z = 0,53
66 d) Como encontrar o valor z na distribuição N(0, 1) tal que P(Z z) = 0,975 Determine k tal que A(k) = 0,975 ; z = -k Pela tabela k = 1,96 z = -1,96
67 e) Como encontrar o valor z na distribuição N(0, 1) tal que P(Z z) = 0,10 Determine k tal que A(k) = 0,9 ; z = -k Pela tabela k = 1,28 z = -1,28
68 Exemplo (a): Seja X ~ N (10,64) Calcular P(6 < X < 12) 6-10 X P ( 6 < X < 12 ) = P < < = P 0,5 Z < ( - < ) 0, 25 P(6 < X < 12) = A(0,25) - [1 - A(0,5)] = 0, (1-0,6915) = 0,2902
69 Exemplo (b): Seja X ~ N (10,64) Calcular P(X < 8 ou X > 14) P(X < 8) + P(X > 14) = P Z < + P Z > = P(Z < - 0,25) + P(Z > 0,5) 8 8 P(X < 8 ou X > 14) = [1 - A(0,25)] + [1 - A(0,5)] = [1-0,5987] + [1-0,6915] = 0,7098
70 Exemplo (c): Seja X ~ N (10,64) Calcular k tal que P( X k) = 0,05 k - 10 P(X k) = 0,05 P Z = 0,05 8 z é tal que A(z) = 0,95. Pela tabela z = 1,64 k - 10 Então, z = = 8 1,64. Logo, k = ,64x8 = 23,12
71 Exemplo (d): Seja X ~ N (10,64) Calcular k tal que P( X k) = 0,025 k - 10 P(X k) = 0,025 P Z = 8 0,025 z é tal que A(z) = 0,975. Pela tabela z = 1,96 k - 10 Então, = -z = 8-1,96. Logo, k = 10-1,96x8 = -5,68
![Observação: Se X ~ N (µ, σ 2 ) µ - σ - µ µ + σ - µ (i) P ( µ - σ X µ + σ ) = P Z = P 1 Z 1 σ σ (- ) P(-1 Z 1) = 2 x [A(1) - 0,5] = 2 x](/docs-images/100/147380762/images/72-2.jpg "(0,8413-0,5) = 0,6826 Portanto P( µ - σ X µ + σ ) = 0,683 (ii) P( µ - 2σ X µ + 2σ ) = P( -2 Z 2 ) = 0,955 (iii) P( µ - 3σ X µ + 3σ ) = P( -3 Z 3")
72 Observação: Se X ~ N (µ, σ 2 ) µ - σ - µ µ + σ - µ (i) P ( µ - σ X µ + σ ) = P Z = P 1 Z 1 σ σ (- ) P(-1 Z 1) = 2 x [A(1) - 0,5] = 2 x (0,8413-0,5) = 0,6826 Portanto P( µ - σ X µ + σ ) = 0,683 (ii) P( µ - 2σ X µ + 2σ ) = P( -2 Z 2 ) = 0,955 (iii) P( µ - 3σ X µ + 3σ ) = P( -3 Z 3 ) = 0,997
73 Exemplo (a) O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com µ = 120 min e σ = 15 min. a) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é a probabilidade dele terminar o exame antes de 100 minutos? T: tempo gasto no exame vestibular T ~ N(120, 225) P(T < 100) = P Z < = P Z - 1,33 15 ( < ) P(Z < -1,33) = 1 - A(1,33) = 1-0,9082 = 0,0918
74 Exemplo (b) b) Qual deve ser o tempo de prova, de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado? T: tempo gasto no exame vestibular T ~ N(120, 225) t P(T < t) = 0,95 P Z < = 15 0,95 z é tal que A(z) = 0,95. Pela tabela z = 1,64 t Então, = 15 1,64 t = ,64x15 = 144,6 min
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