Lucas Santana da Cunha de junho de 2018 Londrina

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1 Distribuição Normal Lucas Santana da Cunha de junho de 2018 Londrina 1 / 17

2 Distribuição Normal Dentre todas as distribuições de probabilidades, sejam discretas ou contínuas, a mais estudada e utilizada é a distribuição normal. As principais razões que fazem a distribuição normal o modelo mais importante na estatística são: Muitas variáveis biométricas tendem a ter distribuição Normal A distribuição das médias amostrais de uma variável qualquer tendem a ter distribuição Normal, mesmo que a variável em si não tenha distribuição Normal; Muitos testes e modelos estatísticos têm como pressuposição a normalidade dos dados, isto é, que os dados possuem distribuição Normal. 2 / 17

3 Definição A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua Y, seguindo uma distribuição normal, é dada por: em que: f (y) = 1 σ 2π e 1 2( y µ σ ) 2, < y <, µ R, é a posição central da distribuição (média); σ > 0, é a dispersão da distribuição (desvio padrão). Notação: Y N(µ; σ). 3 / 17

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5 Características Distribuição Normal As principais características dessa função são: A função gera um gráfico em forma de sino, sendo unimodal e simétrica; A média (µ) controla a localização do centro da distribuição (é o ponto de simetria) e o desvio padrão (σ) controla a dispersão da curva ao redor da média; O ponto de máximo de f (y) é o ponto Y = µ; Não possui limite inferior ou superior; 5 / 17

6 O desvio padrão define unidades padrões na distribuição a partir da média: Figura 1: Áreas sob a curva normal. 6 / 17

7 Cálculo da probabilidade Para se calcular a probabilidade da variável aleatória Y assumir valores entre a e b basta calcular a área compreendida entre estes intervalos P[a Y b] = b a 1 σ 2π e 1 2( y µ σ ) 2 dy 7 / 17

8 O cálculo direto de probabilidades envolvendo a distribuição normal exige recursos do cálculo avançado e, mesmo assim, dada a forma da função densidade, não é um processo muito elementar. Uma alternativa seria tabelar valores aproximados, permitindonos obter diretamente o valor da probabilidade desejada. Note-se, entretanto, que a função densidade da normal depende de dois parâmetros, µ e σ, de modo que se as probabilidades fossem tabeladas para todas as possíveis combinações teríamos infinitas tabelas. 8 / 17

9 Normal Padrão Distribuição Normal Devido as dificuldades de cálculo e em se construir tabelas da função dependendo de dois parâmetros, recorre-se a uma mudança de variável, transformando a variável aleatória Y na variável aleatória Z. Essa nova variável chama-se variável normal reduzida ou normal padrão. Denomina-se distribuição normal padrão, a distribuição normal de média zero e variância 1. As probabilidades associadas a distribuição normal reduzida são facilmente obtidas em tabelas. 9 / 17

10 Padronização Distribuição Normal Obtém-se uma escala de distribuição denominada escala reduzida, escala Z ou escore Z, que mede o afastamento das variáveis em relação à média em número de desvios-padrão. Assim, Z = Y µ σ Logo, tem-se que a f.d.p da normal padrão é f (z) = 1 2π e 1 2 z2, < z <, Notação: Z N(0; 1). 10 / 17

11 Tabela Distribuição Normal 11 / 17

12 Distribuição Normal Exemplo 1 Seja Z N(0; 1). Usando a tabela da distribuição normal padrão, calcular: a) P(0 < Z < 1, 57); b) P(0 < Z < 1, 08); c) P( 1, 89 < Z < 0); d) P( 0, 58 < Z < 0); e) P(1, 25 < Z < 2, 23); 12 / 17

13 Exemplo 2 Seja Y N(4; 1). Determine: a) P(Y 4); b) P(4 < Y < 5); c) P(2 < Y < 5); 13 / 17

14 Exemplo 3 Sabendo-se Z N(0; 1), obter z tal que: a) P(0 < Z < z) = 0, 475; b) P( z < Z < 0) = 0, 49492; c) P( z < Z < z) = 0, 97; d) P(Z < z) = 0, 30234; e) P(Z > z) = 0, 07493; f) P(Z < z) = 0, / 17

15 Distribuição Normal Exercício 1 Seja Z N(0; 1). Usando a tabela da distribuição normal padrão, calcular: a) P( 1, 23 < Z < 1, 05); b) P( 0, 85 < Z < 1, 92); c) P( 2, 22 < Z < 1, 35); d) P( 1, 93 < Z < 0, 80); e) P(0, 52 < Z < 1, 23); f) P(Z > 1, 27). 15 / 17

16 Exercício 2 Seja Y N(5; 2). Determine: a) P(5 < Y < 7); b) P(Y 1); c) P(0 Y 2); 16 / 17

17 Exercício 3 Sabendo-se Z N(0; 1), obter z tal que: a) P(0 < Z < z) = 0, 43699; b) P( z < Z < 0) = 0, 35314; c) P( z < Z < z) = 0, 95; d) P(Z < z) = 0, 82121; e) P(Z > z) = 0, 95254; f) P(Z < z) = 0, 36693; 17 / 17