Estatística I Aula 8. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 Estatística I Aula 8 Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

3 Lembram o que vimos sobre V.A. contínua na Aula 6? Definição: uma variável aleatória é considerada contínua quando pode tomar qualquer valor de determinado intervalo Variáveis aleatórias contínuas têm um número infinito de valores possíveis Exemplos: Retorno diário de uma ação na Bovespa Relação debt/equity das empresas no Novo Mercado da Bovespa Duração de uma chamada telefônica Vendas diárias de carne no açougue de um supermercado

4 Lembram o que vimos sobre V.A. contínua na Aula 6? Para v.a. contínua não faz sentido estabeler um par entre xi e p(xi) A probabilidade de ocorrer um xi específico é zero A distribuição de probabilidades é denominada função densidade de probabilidade que é uma função não negativa A probabilidade de ocorrer valores entre a e b é definida pela área sob a curva entre os valores a e b. f(x) P(a X b) (Note que a probabilidade de qualquer valor individual é zero) a b

5 Distribuição Uniforme A distribuição uniforme é uma distribuição de probabilidade que tem probabilidades iguais para todos os possíveis resultados da variável aleatória. Todos os valores do espaço amostral têm a mesma probabilidade de ocorrer. Por causa disso ela é também chamada de distribuição retangular.

6 Distribuição Uniforme A função densidade de probabilidade da Distribuição Uniforme: f(x) = b 1 a se a X b Onde: 0 caso contrário f(x) = valor da função densidade para qualquer valor de X a = valor mínimo de X b = valor máximo de X b f(x) 1 a a b X

7 Distribuição Uniforme A média, ou valor esperado, de uma variável que segue a distribuição uniforme é: µ = a + 2 b O desvio-padrão é: σ = (b - a) 12 2

8 Distribuição Uniforme Exemplo: encontre os parâmetros (média e desvio padrão) de uma v.a. que segue a distribuição uniforme e assume valores entre 2 X 6: f(x) = = 0,25 para 2 X 6 f(x) 0,25 a+ b 2+ 6 µ = = = X σ = (b - a) 12 2 = (6-2) 12 2 = 1,1547

9 Exemplo O tempo entre chegadas de clientes em um banco durante o horário entre meio-dia e uma hora da tarde apresenta uma distribuição uniforme entre 0 e 120 segundos. Qual é a probabilidade de que o tempo entre a chegada de dois clientes venha a ser? (a) menor que 20 segundos? (b) entre 10 e 30 segundos? (c) maior que 35 segundos? (d) quais são a média aritmética e o desvio-padrão do tempo entre as chegadas? f(x) 1/ X

10 Solução: (a) menor que 20 segundos? Exemplo P(X<20) = (20-0) x (1/120) = 1/6 = 0,1667 (b) entre 10 e 30 segundos? P(10<X<30) = (30-10) x (1/120) = 1/6 = 0,1667 (c) maior que 35 segundos? P(X>35) = P(35<X<120) = (120-35) x (1/120) = 0,7083 (d) quais são a média aritmética e o desvio-padrão do tempo entre as chegadas? µ = = 60 2 ( 120 0) 2 σ = = f(x) 1/ X

11 Distribuição Exponencial Usada para modelar o tempo entre duas ocorrências de um evento Muito utilizada em Teoria das Filas para estudar o tempo entre duas chegadas Exemplos: Tempo entre a chegada de clientes a um supermercado Tempo entre chamadas telefônicas Tempo entre transações em um terminal ATM É uma distribuição assimétrica à direita que se extende de zero até o infinito positivo

12 Distribuição Exponencial Forma 0,300 0,250 0,200 0,150 Taxa de Chegada (un./seg.) ,100 0,050 Intervalo entre Duas Chegadas Consecutivas (seg.) 0,

13 Distribuição Exponencial Definida por um único parâmetro, sua média λ (lambda) A probabilidade de que o tempo de chegada seja menor que um tempo especificado X é dada pela pela expressão: P(tempo antes da próxima chegada < X) = 1 e λx onde e = constante matemática aproximadamente igual a λ = a média aritmética do número de chegadas por unidade X = qualquer valor da variável contínua, em que 0 < X <

14 Distribuição Exponencial Exemplo: Clientes chegam a um balcão de atendimento a uma taxa de 15 por hora. Qual a probabilidade de que o tempo de chegada entre dois clientes consecutivos seja menor do que 3 minutos? A média do número de chegadas por hora é 15, então λ = 15 3 minutos é igual a 0,05 horas P(tempo entre chegadas <.05) = 1 e -λx = 1 e -(15)(0,05) = 0,5276 Então há 52,76% de probabilidade de que o tempo entre chegadas sucessivas de clientes seja menor do que 3 minutos.

15 Distribuição Normal Propriedades tem o formato de sino Simétrica Média, Mediana e Moda são iguais a posição é caracterizada pela média, µ a dispersão é caracterizada pelo desviopadrão, σ a variável aleatória possui amplitude infinita: - a + caso limite para diversas outras distribuições fundamental para a inferência estatística definida por dois parâmetros (µ, σ) f(x) σ µ Média = Mediana = Moda

16 Distribuição Normal Função Densidade A fórmula para a função densidade de probabilidade da distribuição Normal é f(x) = 1 e 2πσσ 1 (X µ) 2 σ 2 Onde e = constante matemática aproximada para 2,71828 π = constante matemática aproximada para 3,14159 µ = média da população σ = desvio padrão da população X = qualquer valor da variável contínua, em que - < X < +

17 Distribuição Normal Forma f(x) B A C X Variando os parâmetros µ e σ, obtemos diferentes distribuições normais

18 Distribuição Normal Forma f(x) Mudando µ a distribuição move-se para a direita ou esquerda. σ Mudando σ a dispersão é aumentada ou diminuída. µ X

19 Distribuição Normal Padrão Qualquer distribuição normal (com qualquer combinação de média e desvio padrão) pode ser transformada em uma distribuição normal padrão (Z). Necessário transformar X unidades em Z unidades. A distribuição normal padrão tem média 0 e desvio padrão igual a 1.

20 Distribuição Normal Padrão Para converter qualquer variável aleatória normal, X, em uma variável aleatória normal padronizada, Z, subtrai-se a média de X e divide-se pelo desvio padrão: Z = X σ µ

21 Distribuição Normal Padrão: Função Densidade de Probabilidade A fórmula da função densidade de probabilidade normal padrão é: f(z)= = 1 2π e Z 2 2 Onde: e = constante matemática aproximada para 2,71828 π = constante matemática aproximada para 3,14159 Z = qualquer valor da distribuição normal padrão

22 Distribuição Normal Padrão: Forma Também conhecida como distribuição Z Media é 0 Desvio Padrão é 1 f(z) 1 0 Z Valores acima da média têm valores-z positivos, valores abaixo da média têm valores-z negativos

23 Distribuição Normal Padrão: Exemplo Se X é uma variável aleatória normalmente distribuída com média 100 e desvio padrão igual a 50, o valor-z para um valor X = 200 é X µ Z = = σ 50 = 2,0 Isto quer dizer que X = 200 está dois desvios-padrão (2 incrementos de 50 unidades) acima da média 100.

24 Distribuição Normal Padrão: Exemplo X (µ = 100, σ = 50) 2.0 Z (µ = 0, σ = 1) Observe que a distribuição é a mesma, somente a escala é diferente. Nós podemos expressar o problema na unidade original (X) ou em unidades padronizadas (Z)

25 Probabilidades na Distribuição Normal As probabilidades, como em qualquer distribuição contínua, é medida pela área sob a curva f(x) P(a X b) a b (Observe que a probabilidade de ocorrência de qualquer valor individual é zero)

26 Probabilidades na Distribuição Normal A área total sob a curva é 1,0, e a curva é simétrica, então, metade está acima da média e metade está abaixo da média. f(x) P( < X< µ) = 0,5 P(µ < X < ) = 0, P( < X< ) = 1,0

27 Tabelas da Probabiliade Normal todo livro de estatística tem Tabelas de Probabilidade para a distribuição Normal Padronizada para utilizá-las é preciso observar que área sob a curva é informada pela tabela nos exemplos trabalhados na sua apostila as probabilidades fornecidas pela tabela são de áreas à direita de Z, ou seja, probabilidades de que o valor seja maior do que Z (isto é, a área começa em Z e termina no infinito positivo) vamos observar o caso em que a tabela informa a probabilidade de que o valor seja menor do que Z (isto é, a área começando no infinito negativo e terminando em Z).9772 Exemplo: P(Z < 2,00) = 0, Z

28 Tabelas da Probabilidade Normal A coluna dá o valor de Z na segunda casa decimal Z A linha mostra o valor de Z para a primeira casa decimal ,9772 O valor da tabela dá a probabilidade de que Z esteja entre Z = e Z igual ao valor desejado. P(Z < 2,00) = 0,

29 Encontrando Probabilidades Normais Procedimento Para encontrar P(a < X < b) quando X é distribuído normalmente (segundo a distribuição normal): Especifique a distribuição normal do seu problema em termos da variável X. Transforme os valores-x em valores-z. Use as tabelas da distribuição Normal padrão.

30 Encontrando Probabilidades Normais Exemplo Seja X uma variável aleatória que represente o tempo (em segundos) para fazer o download de um arquivo na internet. Suponha que X tenha distribuição normal com média 8,0 e desvio-padrão 5,0 Encontre P(X < 8,6) X

31 Encontrando Probabilidades Normais Exemplo Supondo que X seja normal com média 8,0 e desvio-padrão 5,0. Encontre a P(X < 8,6). X µ 8,6 8,0 Z = = = σ 5,0 0,12 µ = 8 σ = 10 µ = 0 σ = 1 8 8,6 X 0 0,12 Z P(X < 8,6) P(Z < 0,12)

32 Encontrando Probabilidades Normais Exemplo Tabela da Distribuição Normal Padronizada (Extrato) Z P(X < 8,6) = P(Z < 0,12).5478 µ = 0 σ = ,12 Z

33 Encontrando Probabilidades Normais Exemplo Encontrando P(X > 8,6) P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 - P(Z 0,12) = 1,0 0,5478 = 0,4522 0,5478 1,0 0,5478 = 0, ,12 Z

34 Encontrando Probabilidades Normais Entre dois valores Suponha X uma v.a. com distribuição normal com média 8,0 e desvio padrão 5,0. Encontre P(8 < X < 8,6) Calcule os valores-z: X µ 8 8 Z = = = σ ,6 X X µ 8,6 8 Z = = = σ 5 0,12 0 0,12 P(8 < X < 8,6) Z = P(0 < Z < 0,12)

35 Encontrando Probabilidades Normais Entre dois valores Tabela da Distribuição Normal Padronizada (Extrato) Z ,5000 P(8 < X < 8.6) = P(0 < Z < 0,12) = P(Z < 0,12) P(Z 0) = 0,5478 0,5000 = 0,0478 0, ,00 0,12 Z

36 Dada a probabilidade Normal, Encontrar o valor X Seja X uma v.a. que represente o tempo (em segundos) para fazer o download de um arquivo na Internet. Suponha que X siga uma distribuição Normal com média 8,0 e desvio padrão 5,0 Encontre X tal que 20% dos tempos para download sejam inferiores a X. 0,2000? 8,0? 0 X Z

37 Dada a probabilidade Normal, Encontrar o valor X Primeiro, encontre o valor-z correspondente à probabilidade conhecida usando a tabela. Z , ? 8,0-0,84 0 X Z

38 Dada a probabilidade Normal, Encontrar o valor X A seguir, converta o valor-z em valor-x usando a fórmula. X -µ Z= σ X - µ = Z σ X = = = µ + 8,0+ 3,80 Zσ ( 0,84)5,0 Então 20% dos tempos para fazer o download são menores do que 3,80 segundos.

39 Aproximação da Binomial pela Normal Tabelas da binomial nem sempre disponíveis Uso da distribuição normal como aproximação n grande Correção de continuidade.0 n = 10 p = 0.50 P(X) X

40 Aproximação da Binomial pela Normal P(x) x

41 Aproximação da Binomial pela Normal P(x).0 x Probabilidade Binomial Altura da barra

42 Aproximação da Binomial pela Normal P(x).0 x Probabilidade Binomial Altura da barra Probabilidade Normal : Área sob a curva de 3.5 a 4.5

43 Aproximação da Binomial pela Normal P(x) Probabilidade adicionada pela curva normal Probabilidade perdida pela curva normal x Probabilidade Binomial Altura da barra Probabilidade Normal : Área sob a curva de 3.5 a 4.5

44 Correção de Continuidade Ajuste de 1/2 unidade para uma variável discreta Aproxima uma distribuição discreta por uma contínua Aumenta a precisão 3.5 (4 -.5) (4 +.5)

45 Regra empírica É considerada prática segura utilizar a aproximação normal da distribuição binomial somente quandonp en(1 p) forem ambos maiores do que 5; simbolicamente, quando np> 5 e n(1 p) > 5 Probabilidades binomiais podem ser aproximadas distribuições normais com médiaµ = n p por e desvio padrãoσ = np(1 p)

46 Lembram da Fórmula da Distribuição Binomial? P(X) n! X!(n X = p (1 p X)! ) n X P(X) = probabilidade de X sucessos em n tentativas, com probabilidade de sucesso p em cada tentativa X = no. de sucessos na amostra, (X = 0, 1, 2,..., n) n p = tamanho da amostra (numero de tentativas ou observações) = probabilidade de sucesso Exemplo: lançar uma moeda 4 vezes, seja x = # caras: n = 4 p = p = (1 -.5) =.5 X = 0, 1, 2, 3, 4

47 Exemplo Use a distribuição normal para aproximar a probabilidade binomial de obter 6 caras e 10 coroas em 16 lançamentos de uma moeda equilibrada, e compare o resultado com o valor dado pela distribuição binomial. Pela distribuição binomial: P(X= 6) = 16! 0,5 6!(16 6)! 6 (0,5) Podemos usar a aproximação pela normal? 10 = 0, n p= 16 = 8 e n (1 p ) = 16 1 = R :sim, pois são ambos maiores que 5

48 Exemplo A aproximação normal à probabilidade de 6 caras e 10 coroas é dada pela área da figura abaixo Como µ =16 e σ = 16 = 2, obtemos ,5 8 z= = 1,25 e z 2 6,5 8 = 2 = 0,75 em unidades padronizadas para x = 5,5 e x = 6,5. 5,5 6,5 Z = 1,25 Z = 0,75 No. de caras

49 Exemplo z 5,5 8 = = 1,25 e z 2 = 6,5 8 2 = 0,75 Em uma tabela que dê a área abaixo da distribuição normal padronizada acumulada, de - até Z teremos: P(z 0,75) = 0,7734 P(z 1,25) = 0,8944 então a probabilidade que procuramos será 0,8944 0,7734 = 0,121 Ou seja, bem próximo da probabilidade que encontramos pela distribuição binomial que foi de 0,122 0 z Z

50 Quando a aproximação pela Normal é útil Quando sem ela teríamos que calcular probabilidades binomiais individuais para vários valores de x. Exemplo: Se 5% dos tijolos fabricados apresentam defeitos, qual a probabilidade de que em um lote de 150 pelo menos 9 apresentem defeitos. Resposta: neste caso teríamos que calcular probabilidades binomiais para X=9, X=10, X=11, X=12...X=148, X=149, X=150. Como 150(0,05)=7,5 e 150(1-0,05)=142,5 ambos maiores do que 5 podemos usar a aproximação pela Normal Com µ =150 (0,05) = 7,5 e σ = 150(0,05)(0,95) 2, 67 obtemos 8,5 7,5 z= 0,37 2,67 Em uma tabela Normal semelhante à anterior encontraremos P(z 0,37) = 1 P(z 0,37) = 1 0,6443 = 0,3557

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