Cap. 5 Variáveis aleatórias discretas

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1 Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 5 Variáveis aleatórias discretas APOIO: Fundação de Apoio à Pesquisa Científica e Tecnológica do Estado de Santa Catarina (FAPESC) Departamento de Informática e Estatística UFSC (INE/CTC/UFSC)

2 Variável aleatória Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Eemplos: número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas; número de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote; número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção; número de pessoas que visitam um determinado site, num certo período de tempo;

3 Variável aleatória Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Eemplos: volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento; resistência ao desgaste de um certo tipo de aço, num teste padrão; tempo de resposta de um sistema computacional; grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção.

4 Variável aleatória Formalmente, uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais. X = número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)} X: 0 2

5 Variável aleatória discreta variável aleatória contínua os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável E. os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais E número de defeitos em... tempo de resposta de...

6 Variável aleatória discreta: função de probabilidade p ( ) = P( X = i i ) satisfazendo: p( ) i 0 p( i ) = i

7 Variável aleatória discreta: função de probabilidade X = número obtido no lançamento de um dado comum. p() f() / 6 / 6 área total =

8 Variável aleatória discreta: Função de distribuição acumulada F ( ) = P( X ), R até

9 Variável aleatória discreta: Função de Variável aleatória discreta: Função de distribuição acumulada distribuição acumulada < < < < < < = 6 se 6 5 se se se se se 6 se 0 ) ( F F() ½ 0 X = número obtido no lançamento de um dado comum.

10 Variável aleatória discreta: Valor esperado Valores possíveis Probabilidades p p 2 p 3... µ = E k ( X ) = j= j p j k p k Total

11 Variável aleatória discreta: Variância Valores possíveis k Total Probabilidades p p 2 p 3... p k σ 2 ou: k = V ( X ) = ( j µ ) p j j= 2 ) V ( X ) = E( X µ onde: E ( X 2 ) = k j= Desvio padrão: σ = DP ( X ) = Var( X ) 2 2 j p j 2

12 Propriedades do valor esperado e variância a)e(c) = c b)e(x + c) = E(X) + c c) E(cX) = ce(x) d)e(x + Y) = E(X) + E(Y) e) E(X Y) = E(X) E(Y) a)v(c) = 0 b)v(x + c) = V(X) c) V(cX) = c 2 V(X) d)dp(cx) = c DP(X)

13 Propriedades do valor esperado e variância p() Distribuição de X p(y) Distribuição de Y = X + c E(X) p(z) Distribuição de Z = cx E(X) + c y ce(x) z

14 Variáveis aleatórias independentes X, X2,..., Xn podem ser consideradas variáveis aleatórias independentes se o conhecimento de uma não altera as distribuições de probabilidades das demais. Vale para variáveis aleatórias independentes: V(X + Y) = V(X) + V(Y) V(X Y) = V(X) + V(Y)

15 Modelos discretos Distribuição de Bernoulli de parâmetro p (0 < p < ) E(X) = p p() V(X) = p.( p) 0 Total p p F( ) = 0 - p se < 0 se 0 < se

16 Distribuição Binomial Modelos discretos X = X + X X n onde X, X 2,..., X n são variáveis aleatórias independentes, sendo cada uma delas com distribuição de Bernoulli de parâmetro p constante (0 < p < ). Ou seja,

17 Distribuição Binomial Modelos discretos X = número de sucessos em n ensaios ensaios independentes e com P{sucesso} = p, constante para todo ensaio (0 < p < ).

18 Modelos discretos Distribuição Binomial, n = 4: SSFF SFSF SFFF SFFS SSSF FSFF FSSF SSFS FFSF FSFS SFSS FFFF FFFS FFSS FSSS SSSS Valores de X: Probab.: (-p) 4 4p(-p) 3 6p 2 (-p) 2 4p 3 (-p) p 4

19 Distribuição Binomial Modelos discretos n ( ) n p( ) =. p. p ( = 0,,..., n) n = n! ( n )!! E(X) = n.p V(X) = n.p.( p)

20 Distribuição Binomial Modelos discretos binomial com n = 5 e p = 0,5 binomial com n = 5 e p = 0,25 0,4 p() 0,4 p() 0,3 0,3 0,2 0,2 0, 0, E(X) = 2,5 E(X) =,25

21 Modelos discretos E Binomial n = 0 e p = 0,7 Tabela da binomial Qual a probabilidade da maioria também acessar a p24? P(X > 5) = = p(6) + p(7) + p(8) + p(9) + + p(0) = 0,8497 X > 5 n 0, ,0000 0, , , , , , , , ,2 0 0,0282

22 Modelos discretos Distribuição Hipergeométrica Amostra com n itens Lote com N itens: r defeituosos N r bons Amostragem aleatória com reposição Distribuição binomial Amostra com n itens Amostragem aleatória sem reposição Distribuição hipergeométrica

23 Modelos discretos Modelos discretos Distribuição Hipergeométrica = n N n r N r p ) ( [ = 0,,..., min(r, n)] E(X) = n.p V(X) = n.p.( p). N n N (p = r N)

24 Modelos discretos Distribuição de Poisson Na prática, muitas situações nas quais interessa o número de observações de uma variável em um intervalo contínuo (tempo ou espaço) podem ser convenientemente eplicadas pela distribuição de Poisson. chamadas telefônicas por minuto, Eemplos: mensagens que chegam a um servidor por segundo acidentes por dia, defeitos por m2, etc..

25 Modelos discretos Distribuição de Poisson. Suposições: Os números de ocorrências em quaisquer intervalos são independentes. A probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é zero. O número médio de ocorrências (λ) é constante em todo o intervalo considerado.

26 Modelos discretos Distribuição de Poisson. Uma justificativa: X = núm. de ocorrências em [t, t+] P( X P ( t t+ n intervalos de amplitude /n, com n a p = probab. de ocorrência em cada intervalo X n p p n = ) ( ) n a p a 0 n p a λ > 0 λ λ e = )! ( =, 2,...)

27 Modelos discretos Distribuição de Poisson p( ) e λ λ = = 0,, 2,...! E(X) = V(X) = λ

28 Modelos discretos Distribuição de Poisson 0.8 Probabilidade λ = 0, X

29 Modelos discretos Distribuição de Poisson 0.3 Probabilidade λ = X