Probabilidade e Estatística

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1 IFBA Probabilidade e Estatística Versão 1 Allan de Sousa Soares Graduação: Licenciatura em Matemática - UESB Especilização: Matemática Pura - UESB Mestrado: Matemática Pura - UFMG Vitória da Conquista - BA

2 Aula Distribuição Normal de Gauss Nesta parte abordaremos a distribuição Normal de Gauss, considerada a distribuição mais importante da probabilidade cuja aplicabilidade engloba uma série de fenômenos. Seja X uma v.a. contínua. Dizemos que X tem distribuição normal se sua fdp é dada por: f(x) = 1 2π e 1 2( x µ ) 2, < x < Seu gráfico é dado por: Note que: I) ϕ(z) é simétrica em relação à origem. II) ϕ(z) possui um máximo em z = 0. Neste caso, ϕ(z = 0) = 0, 39. III) ϕ(z) possui uma assíntota horizontal, isto é, lim z ± ϕ(z) = 0. IV) Possui inflexões em z = 1 e z = 1. Contudo, a distribuição de Gaus apresenta certa dificuldades no cálculo de probabilidades, isto é, a integral P (a < x < b) = b a f(x)dx = b a 1 2π e 1 2( x µ ) 2 dx apresenta grandes dificuldades em seus cálculos, sendo necessário a aplicação de séries. 0.2 Distribuição Normal Padrão Seja Z uma v.a. tal que: Z i = X i µ em que X é uma v.a. normal com média µ e variância 2. Temos que ( ) X µ E(Z) = E ( ) X µ V ar(z) = V ar Assim, podemos definir, Note que donde, = 1 E(X) E(X) E(X µ) = = 0 = 1 V ar(x) V ar(x µ) = 2 2 = 1 f(x) = 1 1 2π e 2( X µ ) 2 Z i = X i µ Seu gráfico é dado por: dz = 1 dx ϕ(z) = 1 2π e 1 2 z2 0.3 Uso da Tabela de Distribuição Normal Padrão Agora veremos como calcular as probabilidades sub a curva normal por meio da utilização da tabela associada à distribuição padronizada. Para tanto, utilizaremos a tabela de Faixa Central. Ela oferece a área sob a curva normal padrão entre z = 0 e qualquer valor positivo z 1, isto é, P (0 < z < z 1 ) Usando a simetria da distribuição normal padrão podemos calcular probabilidades como P (z 1 < z < 0) P (z 1 < z < z 2 ) 2

3 Exemplo 1. Determine as probabilidades: a) P (0 < z < 1) b) P ( 2, 55 < z < 1, 2) c) P (z < 1, 93) Solução: Em cada situação precisamos de um desenho para facilitar. Depois utilizamos a tabela em anexo. a) Assim, z 2 = X µ = 60, 0 48, 0 = 1, 64 P (40 < x < 60) = P ( 1, 10 < z < 1, 64) = = P (0 < z < 1, 10) + P (0 < z < 1, 64) = 0, , 4495 = 0, 8138 b) Analogamente (faça o desenho e as contas), temos P (x < 30, 0 ou x > 65, 0) = P (z < 2, 47 ou z > 2, 33) = Para se obter a probabilidade basta obtermos os valores correspondentes à abscissa de z na tabela em anexo. Assim, temos P (0 < z < 1) = 0, 3413 b) Analogamente, = P (z < 2, 47) + P (z > 2, 33) = = (0, 5 P (0 < z < 2, 47)) + (0, 5 P (0 < z < 2, 33)) = = 1 P (0 < z < 2, 47) P (0 < z < 2, 33) = = 1 0, , 4901 = 0, 0167 P ( 2, 55 < z < 1, 2) = P ( 2, 55 < z < 0)+P (0 < z < 1, 2) c) Analogamente, = P (0 < z < 2, 55) + P (0 < z < 1, 2) = = 0, , 4946 = 0, 8795 P (z > 1, 93) = 0, 5 P (0 < z < 1, 93) = 0, 5 0, 4732 = 0, 0268 Exemplo 2. Os pesos de alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média 48, 0 kg e desvio padrão kg. aluno medir: a) entre 40, 0 e 60, 0 kg. Determine a probabilidade de um b) menos que 30, 0 ou mais que 65, 0 kg. Solução: a) Inicialmente devemos transferir o problema para a forma padrão µ z = 0 e 1 z = 1. Isto é, z 1 = X µ = 40, 0 48, 0 = 1, 10 Observação 3. Supondo uma distribuição normal quais os percis separam os valores menores que x + n, onde n varia no conjunto { 3, 2, 1, 1, 2, 3}. Usando a forma padronizada, temos que P (x < x 3) P (z < 3) = 0, 0013 P (x < x 2) P (z < 2) = 0, 0228 P (x < x ) P (z < 1) = 0, 1587 P (x < x + ) P (z < 1) = 0, 8413 P (x < x + 2) P (z < 2) = 0, 9772 P (x < x + 3) P (z < 3) = 0, 9987 ou melhor, P (x 3 < x < x + 3) P ( 3 < z < 3) = 0, 9974 P (x 2 < x < x + 2) P ( 2 < z < 2) = 0, 9544 P (x < x < x + ) P ( 1 < z < 1) = 0, 6826 Portanto, conhecendo-se a média e o desvio padrão de uma amostra (adequamente escolhida) podemos estimar se esta é ou não normal observando as devidas porcentagens de elememntos em cada região. Exemplo 4. Estude a amostra a seguir com base na Observação 3. 47,0 48,5 49,7 51,4 51,9 54,7 55,4 57,4 58,0 59,2 59,9 60,4 61,2 61,2 61,8 62,4 63,2 63,2 63,2 63,2 64,4 65,2 67,5 69,3 69,9 70,2 70,4 77,3 78,4 78,9 3

4 com x = 62, 8 e S = 10, 1. Solução: Note que i) P (62, 8 10, 1 < x < 62, , 1) = P (52, 7 < x < 72, 9) ii) = P (54, 7 x 7) = 22 = 0, , , 6826 E = 7, 4% 0, 6826 P (62, , 1 < x < 62, , 1) = P (42, 6 < x < 83) iii) = P (47, 0 x 78, 9) = = 1 E 2 = 1 0, , , 8% P (62, , 1 < x < 62, , 1) = P (32, 5 < x < 93, 1) = P (47, 0 x 78, 9) = = 1 E 3 = 1 0, , , 26% Assim, podemos tomar como erro o maior dos erros, isto é, a curva se dista de uma curva normal em 7, 4% aproximadamente. Poderíamos também usar os quartis, decis ou percis para estimarmos o quanto uma distribuição qualquer se aproxima de uma curva normal. Por exemplo, em se tratando de uma distribuição normal, a tabela nos dá que Q 1 está associado á abscissa z = 0, 67, isto é P (x < Q 1 ) = P (z < 0, 67). Usando a relação entre Z e X, temos que Q 1 µ = 0, 67 Q 1 62, 8 Observando a distribuição temos que Q 1 = E = 55, , , 4 57, 9 56, 4 = 0, 67 Q 1 = 57, 9 = 56, 4 2, 7%. Contudo, saber se um a distribuição tem um caráter normal é mais complicado. Costuma-se então recorrer aos chamados testes de normalidade (Unidade 3). 0.4 Exercícios 1) Seja z uma v.a. com distribuição normal padronizada. Determine: a) P ( 1, 48 < z < 2, 05) b) P (z > 1, 08) c) P ( z < 0, 5) d) P ( z > 0, 3) 2) A duração de um certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio-padrão 45 dias. Supondo tratar-se de uma distribuição normal, determine: a) a probabilidade de uma peça durar menos que 750 dias. b) a duração de tal sorte que este componente apresente uma probabilidade de defeito inferior a 10%. (Dica: Uma margem de defeito baixa está ligada à uma duração baixa.) c) o mesmo que o anterior, porém, com uma probabilidade de defeito inferior a 1%. 3) Parte 1: Usando os quartis Q 1, Q 2 e Q 3 estime qual das distribuições a seguir apresenta uma curva mais próxima da curva normal exata. 32,0 41,5 42,7 53,4 54,9 55,7 55,4 58,4 59,0 61,2 61,9 62,4 63,2 64,2 64,8 65,4 65,6 66,8 67,2 67,2 68,4 69,2 70,5 72,3 74,9 79,2 80,4 82,3 83,4 87,9 36,0 44,5 46,7 50,4 51,9 54,7 55,4 57,4 58,0 59,2 59,9 60,4 61,2 61,2 61,8 62,4 63,2 63,2 63,2 63,2 64,4 65,2 69,5 70,3 70,9 71,2 82,4 89,3 90,4 94,9 Dica: Repita o que foi feito na Observação 3. Parte 2: Pesquise sobre testes de normalidades e compare com as conclusões obtidas na Parte 1. (Unidade 3) REPOSTAS: 1) a) 0, 9104 b) 0, 1401 c) 0, 3830 d) 0, ) a) 0, 0132 b) 792, 4 horas c) 745, 15 horas 3) Resposta aberta. Consulte o professor. 4

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