DISTRIBUIÇÃO NORMAL. Para facilitar o trabalho do cálculo da área sob a curva, podemos escrever a fórmula acima da seguinte forma:

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1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL m.a.perissinotto DIN - 1 Seu aspecto gráfico é semelhante a um sino e, para sua construção, são necessários dois parâmetros: µ ( média ) e s ( desvio padrão ). A curva teórica é simétrica em relação à média e a representação matemática da função densidade de probabilidade é dada por: f(x) = 1 σ 2 π e (x-μ) σ 0 Sendo esta, uma curva de probabilidade, a área limitada pela mesma, é igual a 1. A curva normal tem as extremidades de forma assíntota, ou seja, vai de menos infinito a mais infinito. O ponto máximo coincide com a média e o ponto de inflexão da curva determina o desvio padrão. A área sob a curva normal costuma ser dividida em zonas de probabilidades, cada uma com a mesma base, isto é ± 1 s. Para facilitar o trabalho do cálculo da área sob a curva, podemos escrever a fórmula acima da seguinte forma: 1 P z = σ 2 π e- 1 2 z2 onde: z = número de s entre a média e o valor considerado Portanto, para calcular a probabilidade ( Pz ), acima ( ou abaixo ), de um número x ( qualquer ), calcula-se ( z ) e procurase ( Pz ) ( ou vice versa ) na tabela. A tabela foi construída considerando-se uma curva normal teórica de µ = 0 e s = 1 Limites de % dentro dos Z Especificação limites PPM ± 1s 1,0 68, ± 2s 2,0 95, ± 3s 3,0 99, ± 4s 4,0 99, ,4 ± 5s 5,0 99, ,58 ± 6s 6,0 99, ,002 considerando um processo com ± 6s, temos: para +6s = 0,001x10-6, ou seja 0,001ppm; para 6s = 0,001x10-6, ou seja 0,001ppm; então, no total, temos 0,002x10-6, e assim para os demais números de Z s A nossa tabela de valores de Pz em função de Z, corresponde a metade ( 50%) da curva de distribuição normal, ou seja: ATENÇÃO: Para encontrarmos a porcentagem total, devemos ter em conta a soma dos valores encontrados em função de Zi i e Zs.

2 m.a.perissinotto DIN - 2 De acordo com levantamentos na prática, temos que para um processo considerado com média centralizada e, completamente estável, vale o estudo acima, contudo dificilmente se tem o processo centralizado constantemente por todo o tempo. Após várias cartas de acompanhamento de um determinado processo a Motorola percebeu uma variação da média e, adotou como variação da média um desvio de ±1,5s ( fig. 1), logo para um processo estável com ±6s, teremos, como média ao longo do tempo 3,4ppm ao invés de 0,002ppm, ou seja o processo estará trabalhando no final, com aproximadamente ± 4,7s. V Figura 1 Informações sobre cálculo do ppm 1 parte do soluto ppm = 10 M partes da solução = massa de soluto em mg massa da solução em Kg = 1g 1000l Exemplos: 1 O padrão internacional estabelece, como a máxima concentração de mercúrio Hg por grama de água pótável igual a 5,0 x 10-4 mg/g, qual é essa quantidade expressa em ppm? Lembrando: ppm = mg Kg A mg mg 10 -B C Kg Kg C ppm 0,5ppm 2 - (PUCC-SP) No rótulo de uma garrafa de água mineral lêx-se, entre outras coisas: Conteúdo: 1,5l Bicarbonato de Cálcio: 20 ppm Com base nesses dados, determinar a massa de bicarbonato de cálcio no volume da garrafa. Dados: ppm= mg de soluto/litro de solução aquosa Sabendo que 1 ppm = 1 mg de soluto/litro de solução, temos 20ppm = 20 mg/l, então: 1l 20mg 1,5l X X = 1, X = 30mg = 0,03g 3 - (Unifesp) Dentre os metais pesados que contaminam nosso solo e águas há o chumbo (Pb), que apresenta uma concentração de 20ppm. Qual a quantidade de Pb em mg, numa amostra de 100g da costa terrestre? Então: 20ppm é igual a 20g de Pb em 10 6 de crosta terrestre. 20g 10 M g x 100g M A g 2mg

3 m.a.perissinotto DIN - 3 TABELA DOS VALORES DE Pz EM FUNÇÃO DE Z z x,x0 x,x1 x,x2 x,x3 x,x4 x,x5 x,x6 x,x7 x,x8 x,x9 3,9x 0, , , , , , , , , , ,8x 0, , , , , , , , , , ,7x 0, , , , , , , , , , ,6x 0, , , , , , , , , , ,5x 0, , , , , , , , , , ,4x 0, , , , , , , , , , ,3x 0, , , , , , , , , , ,2x 0, , , , , , , , , , ,1x 0, , , , , , , , , , ,0x 0, , , , , , , , , , ,9x 0, , , , , , , , , , ,8x 0, , , , , , , , ,00 0, ,7x 0, , , , , , , , , , ,6x 0, , , , , , , , , , ,5x 0, , , , , , , , , , ,4x 0, , , , , , , , , , ,3x 0, , , , , , , , , , ,2x 0, , , , , , , , , , ,1x 0, , , , , , , , , , ,0x 0, , , , , , , , , ,9x 0, , , , , , , , , , ,8x 0, , , , , , , , , , ,7x 0, , , , , , , , , , ,6x 0, , , , , , , , , , ,5x 0, , , , , , , , , , ,4x 0, , , , , , , , , , ,3x 0, , , , , , , , , , ,2x 0, , , , , , , ,10 0, , ,1x 0, , , , , , , , , , ,0x , , , , , , , , , ,9x 0, , , , , , , , , , ,8x 0, , , , ,50 0, , , , , ,7x 0,24 0, , , , , , , , , ,6x 0, , , , , , , , , , ,5x 0, , , , , , , , , , ,4x 0, , , , , , , , , , ,3x 0, , , , , , , , ,35 0, ,2x 0, , , , , , , , , , ,1x 0, , , , , , , , , , ,0x 0, , ,49 0, , , , , , Exemplo: - Z=2,56 ð ( 2,5x na primeira coluna e, na 8ª x,x6 ð 2,56 ð P z =0,0052 0,520%) z 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 x ,671 20,658 13,346 8,54 5,4125 3,3975 2,1125 1,3010 0,7935 0,4790 z 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 x10-6 0,2865 0,1700 0,0995 0,0580 0,0335 0,0190 0,0105 0,0060 0,0035,0020 z 6,0 x10-6 0,0010 Exemplo: Z=4,4 ð ( na coluna 4,4 = 5,4125 x , % )

4 m.a.perissinotto DIN - 4 CÁLCULO DE Z Z i = xt LIE σ Z s = LSE xt σ LIE = Limite Inferior Especificado LSE = Limite Superior Especificado Exemplo: Uma distribuição tem µ = 6500 e s =, calcular: a) % de peças abaixo de Z ] = = 1,0 tab P b = 0, , 87% b) % de peças acima de Z i = = 3,0 tab P b = 0, , 135% c) % de peças entre 6300 e 6900 Z ] = Z i = = 1,0 tab P b = 0,1587 = 2,0 tab P b = 0,0228 Pz total = 0, ,0228 = 0,1815 = 18,15% d) % de peças entre 6100 e 6300 Z ]m = Z ]n = = 1,0 tab P b = 0,1587 = 2,0 tab P b = 0,0228 (0,1587 0,0228) = 0,139 13, 59%

5 m.a.perissinotto DIN - 5 EXERCÍCIOS: Sabendo-se que na produção de uma determinada peça, uma dimensão tem distribuição normal, em função dos dados, determinar: a) % para x < 98mm, com média µ = 100 e s = 5 b) % para x entre 90 e 105mm, com µ = 100 e s = 5 c) Qual o valor do s, para obtermos 25,78% de peças acima de 102mm, em um processo que apresenta µ = 100? d) Qual o LSE acima do qual temos 10% de peças com µ=100 e s =5? e) No intervalo, µ = 100 e x = 98, qual deve ser o valor do s para obtermos 6 sigmas? f) qual o valor do s para obter 95,44% entre 98 e 102mm, com µ = 100? g) quantos s simetricamente em relação a média, incluirão 86% de todas as peças?

6 m.a.perissinotto DIN - 6 EXEMPLOS: (l) Um eixo deve ser produzido obedecendo a especificação F = 10 ± 0,1 mm. Peças fora de tol. são rejeitadas, somente peças acima da tolerância podem ser corrigidas a um custo de $51,00u.m. por peça. A) Fabricação com x = 10,0mm e, σ q = 0,05m custa $ 102,00 u.m. por peça. B) Outro processo com x = 10,0mm e, σ q = 0,10m custa $ 85,00 u.m. por peça. Qual o processo a ser adotado? ( supor distribuição normal) A) 10,0 9,9 Z ] = Z i = = 2,0 tab P 0,05 b = 0,0228 [2 (0,5 0,0228)] = 0,9544 0,9544 de uma peça custa $ 102,00 ð 2,28% é recuperável a $ 51,00 = $ 1,16 então temos: (0, ,0228)= 0,9772 de uma peça ( pois as peças abaixo da tol., não se recuperam), custa= 102,00 + 1,16= 103,16, logo o custo por peça recuperada será: 103,16 = $105, 57u. m. por peça 0,9772 B) 10,0 9,9 Z ] = Z i = = 1,0 tab P 0,1 b = 0,1587 [2 (0,5 0,1587)] = 0,6826 0,6826 de uma peça custa $85,00 ð 0,1587 é recuperável a $51,00 = $ 8,09 (0, ,1587)=0,8413 de uma peça (pois as peças abaixo da tol,. não se recuperam), custa = 85,00 + 8,09 = 93,09, Logo o custo por peça recuperada será: 93,09 = $ 110, 65u. m. por peça 0,8413 (2)- A dimensão de uma peça é 250,0mm, +0,2 0,5 o processo produtivo tem σ q 0,15mm, pergunta-se: A) Regulando a x para 250mm, calcular a % total de peças rejeitadas; A) Z ] = ƒ, - A,ƒ = 3,33 P,Cƒ b = 0, Z i = ƒ, - ƒ, = 1,33 P,Cƒ b = 0,09180 ==0,09223 B) Sabendo-se que o custo de recuperação é 5 vezes maior para peças menores, determinar entre as regulagens abaixo, qual a mais econômica, justificar. R C x = 249,85 R x = 250,0 e σ q = 0,125 B) - R 1 249,85 249,5 Zˆ = Z = = 2,33 P 0,15 = 0,0099, como o custo de recuperação das menores é 5x o custo de recuperação das maiores, então: 0,0099 x 5= 0,05 + 0,0099 = 0,0599 B) R 2 Zˆ = ,5 = 4 P 0,125 = 31, M 5 (custo da recuperação das menores) = 0, ,2 250 Z = = 1,6 P 0,125 = 0,05480 TOTAL = 0, ,05480 = 0,05496 C) qual deve ser o desvio padrão para um processo ±6σ, com a média centrada? C) Zˆ = Z = 6 = 249,85 249,5 σ = 0,35 σ == σ = 0,35 6 = 0, 0583

7 (3) A capacidade máxima de um elevador é de 500Kg. Se a distribuição x dos pesos dos usuários é suposta: ( µ = 70Kg ; s = 10Kg). Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de 7 passageiros (n=7) ultrapassarem esse limite? m.a.perissinotto DIN - 7 x = = 71,429 σ q = 10 7 = 3,78 x μ 71, Z = = = 0,378 tab P σ 3,78 b = 0,352 35, 2% b) Qual a probabilidade de 6 passageiros (n=6) ultrapassarem esse limite? x = = 83,33 σ q = 10 6 = 4,082 x μ 83,33 70 Z = = = 3,27 tab P σ 4,08 b = 0, , 054% (4) A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com uma média (µ ) e desvio padrão s = 10g. Pergunta-se: a) Em quanto deve ser regulado o peso médio m para que apenas 10% dos pacotes tenham menos do que 500g? Pela tabela ð P (z) = 0,1 então 1,28 logo: μ x μ 500 Z = = μ = (10 Z) σ 10 μ = (10 1,28) ,8 = 512, 8g b) Com a máquina de empacotar assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2 Kg? Peso de 4 pacotes = 2 Kg Peso de 1 pacote = 500 g σ q = σ n = 10 4 = 10 2 = 5 512, Z = 5 = 12,8 5 = 2,56 tab P b = 0, , 52% (5) Na análise de um estudo de Distribuição Normal, cuja especificação é 25,0 ±0,2, encontramos as seguintes porcentagens: acima do LSE=7,35% e, abaixo do LIE=2,74%. Qual o valor do σ q? LSE x P b = 0,0735 Z i = 1,45 1,45 = 1,45 σ T = 25,2 x [(1,45 σ q ) 25,2] = x P b = 0,0274 Z ] = 1,92 1,92 = σ q x LIE σ T 1,92 σ q = x 24,8 x = [(1,92 σ q ) + 24,8] (1,45 σ q ) + 25,2 = (1,92 σ q ) + 24,8 1,45σ q 1,92σ q = 24,8 25,2 3,37σ q = 0,4 σ q = 0,4 3,37 σ xt = 0, 1187

8 HISTOGRAMAS É uma forma de representação da distribuição de frequência através de um gráfico de colunas m.a.perissinotto DIN - 8 CONSTRUÇÃO: 1º passo: Coleta de dados. Retirar no mínimo 20 amostras ( N ) de 5 elementos ( n ) cada uma. Essa coleta de dados deverá abranger todo um ciclo de trabalho, procurando evitar mudanças como: MP, Troca de Operador, etc. Ex.: Inspeção de um eixo com especificação: 6,0 ± 0,5 mm º passo: Cálculo da amplitude R = X áq X í 6,7 5,1 = 1, 6 3º passo: Determinação do número de classes ( K ) O número de classes pode ser encontrado como sendo uma aproximação de A tabela, abaixo, nos dá uma orientação do nº de classes em função do nº de elementos. ( N * n ) K > = 11,18 4º passo: Determinação do tamanho de classe: h = R K h = 1,6 h = 0,145 h 0,2 11 5º passo: Distribuição dos valores em classes. A tabulação dos dados deverá ser de forma excludente, portanto é preciso definir fronteiras, uma das maneiras é considerar nos extremos de cada classe a metade da unidade da precisão do instrumento. 6º passo: Tabulação dos dados ( Anotar os dados separando-os por classes ) nº classe limites frequência quant 1 5,0-5,2 4,95-5, ,2-5,4 5,15-5, ,4-5,6 5,35-5, ,6-5,8 5,55-5, ,8-6,0 5,75-5, ,0-6,2 5,95-6, ,2-6,4 6,15-6, ,4-6,6 6,35-6, ,6-6,8 6,55-6,75 3 OBS.: É comum utilizar, na tabulação dos dados, a coluna de frequência para se ter uma idéia da curva de distribuição dos dados. 7º passo: Construção do histograma: eixo horizontal ( abcissas ) = classes eixo vertical ( ordenadas ) = frequência N n 8º passo: Polígono de frequência. Determina-se unindo os pontos médios superiores das colunas.

9 ANÁLISE DE HISTOGRAMA m.a.perissinotto DIN - 9 A análise se faz pelo formato da curva, se esse formato for bem próximo a de um sino, podemos concluir que a distribuição é normal e apresenta somente variações aleatórias. C VARIAÇÕES ALEATÓRIAS D VARIAÇÕES CAUSAIS Fazem parte da natureza do processo, podem ser controladas São, de certa forma, imprevisíveis, devem ser detectadas e eliminadas rapidamente. Ex.: quebra de ferramenta ATENÇÃO: Nos casos em que não ocorre o formato SINO, năo devem ser utilizados os estimadores estatísticos, nesses casos, após detecção e eliminação das variações causais, nova coleta deverá ser realizada. Exemplos Histograma Truncado Histograma com 2 ou mais Modas provavelmente anteriormente já houvera uma inspeção selecionadora uma análise poderá mostrar, provavelmente, duas fontes de fornecimento. Histograma com muitas variações nas alturas das colunas neste caso verificar a calibragem do aparelho de medição MODA A moda (M o ) é o valor que mais se repete, ou seja, o valor pais provável a ser obtido. É a única medida de dispersão que pode ter mais de um valor, podendo ser o conjunto: Amodal = Ex.: 2,3,4,5,6 ( nenhum valor se repete) Monomodal = Ex.: 3,4,5,5,6,7,8 ( o valor 5 se repete) Bimodal = Ex.: 1,2,3,3,4,5,5,6,7 ( os valores 3 e 5 se repetem) MEDIANA A mediana (M e ) é o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos de mesmo tamanho. Para o cálculo correto da mediana, os valores devem estar ordenados do menor para o maior valor. Se n for ímpar, a posição da mediana é o valor central (Ex.: 2,3,4,5,6 M e = 4) Se n for par, a mediana é a média dos dois valores centrais, cuja posição é calculada pela média dos dois elementos centrais [Ex.: 2,3,4,5,6,7 (4+5/2)=4,5], cabe perceber que a mediana não precisa, necessariamente, fazer parte do conjunto de dados. 1º Caso: Média < Mediana < Moda - a curva da distribuição tem ASSIMETRIA NEGATIVA 2º Caso: Média = Mediana = Moda - a curva da distribuição é SIMÉTRICA 3º Caso: Média > Mediana > Moda - a curva da distribuição tem ASSIMETRIA POSITIVA Exercícios:

10 m.a.perissinotto DIN No setor de envase de uma empresa o controle do peso de cada embalagem primária segue a especificação: 500g ±10g, na embalagem secundária cabem 40 pacotes. O cliente define, como média, na amostragem, no máximo 1,5% abaixo do peso e, adota como inspeção: N Nível Tipo Regime NQA Tab. 1 n Ac Re D 40 II SIMPLES ATENUADA 1,0 Considerando o processo estável com média 495g, pergunta-se: a) Qual deve ser o valor do s do processo para atender a legislação? b) Qual a probabilidade do cliente encontrar: 1. 0 (zero) embalagem abaixo do peso mínimo? 2. Exatamente 1 (uma) embalagem abaixo do peso mínimo? 3. Até 1 (uma) embalagem abaixo do peso mínimo? Um determinado produto com especificação 8,0 ± 0,1mm, tem um custo de produção igual R$ 2,95, o processo tem uma distribuição normal com média igual a 7,95mm e, desvio padrão igual a 0,05mm. O custo para recuperação de peças abaixo da mínima custa o dobro das acima da máxima. Após apresentar o resultado a gerência pediu que a média fosse centralizada a) Qual % de peças abaixo da mínima? b) Após a centralização da média qual a % abaixo da mínima? c) Qual o valor da média seria adequada para termos no máximo 0,5% de peças abaixo da mínima? Nome: Número T

11 m.a.perissinotto DIN - 11 EXERCÍCIOS: (1)- Em um processo com a característica 50,0±0,5, determinou-se a porcentagem abaixo do LIE=0,023% e, acima do LSE=6,68%. Qual deverá ser o σ para atender essa determinação? (2)- Para um eixo com um diâmetro de 3 ± 0,018mm, um fornecedor propôs o mesmo preço e prazo dos demais fornecedores. Enviou os registros do controle, conforme abaixo. Qual a porcentagem de rejeição desse fornecedor? x = 3mm e σ q = 0,0044mm (3)- Dado um processo sob controle estatístico, com média 170mm e um desvio padrão 8mm, qual a probabilidade de obtermos peças com valores entre 154mm e 186mm? (4)- Uma dimensão de 8,0±0,05mm, está sob controle estatístico com média centrada, qual deverá ser o valor do desvio padrão para obtermos 95% de peças OK? (5)- No controle estatístico de um componente eletrônico obtivemos resistência média de 48W, com desvio padrão de 1,25W. A especificação define uma resistência mínima de 45W. Qual a porcentagem de componentes serão rejeitados?