b) Variáveis Aleatórias Contínuas

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1 Disciplina: 1171 b) Variáveis Aleatórias Contínuas Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 1

2 Uma variável aleatória é contínua (v.a.c.) se seu conjunto de valores é qualquer intervalo dos números reais, isto é, um conjunto não enumerável. Exemplo: Peso dos filhos. Função densidade de probabilidade Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou função densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz duas condições: 1) f(x) 0, para todo x (, ); ) A área definida por f(x) é igual a 1, ou seja: f ( x) dx 1

3 P(C=c) Exemplo 1 Arqueólogos estudaram uma certa região e mediram o comprimento de fósseis encontrados (em cm). Seja C a v.a.c. comprimento de fósseis, cuja sua função é dada como: f ( c) 1 40 c, 400 0, caso se 0 c 0; contrário. a) f(c) é uma função densidade de probabilidade? Gráfico da função densidade de probabilidade f (c) ou Área sob f 0 1 c ( c) dc Área sob f (c) = 0 (0,05) + [0(0,075 0,05)]/ = C Como: _ f(c) é positiva; e _a área é igual 1 f(c) é uma densidade. 3

4 b) Qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso nessa região, apresentar comprimento inferior a 8 cm? ou = 0,8 P(C < 8) = 8 (1/40) + [8 (9/00 1/40)]/ = 0,8 4

5 Função de distribuição acumulada Dada uma v.a.c. X com função densidade de probabilidade f(x), podemos definir a sua função de distribuição acumulada, F(x), como: x F ( x) P( X x) f ( t) dt 5

6 Exemplo 1 Considere o exemplo anterior, cuja função densidade de probabilidade é dada por: f ( c) 1 40 c, 400 0, caso se 0 c 0; contrário. A função de distribuição acumulada é dada por: Gráfico da função acumulada 6

7 Valor esperado () Dada a variável aleatória X contínua, com função densidade dada por f(x), chamamos de valor médio ou esperança matemática de X ao valor: E ( X ) x f ( x) dx Variância ( ) A variância da variável aleatória X contínua, com f.d.p. f(x), é definida por: ( x ) f ( x) dx E( X ) O desvio padrão () de X é definido como a raiz quadrada da variância. 7

8 Moda A moda é valor da variável que tem maior probabilidade de ocorrência P( X Mo) max f ( x) Mediana (Md X ) A mediana de uma v.a. X contínua, com f.d.p. f(x), é o valor que satisfaz às seguintes condições: 1 P( X Md X ) e P( X Md X ) X 1 Ou Md X = P 50 é o valor de t tal que: F(t) = 0,50 Percentil: P 100p é o valor de t tal que: F(t) = p 8

9 P(X) Exercício 1 Suponha que a função f(x) possa ser utilizada como um modelo teórico para representar as densidades de frequência para a variável X: rendimento mensal. f ( x) 0, 0, 0,0x, 0, para para para x 0 0 x 10 x 10 (i) Faça o gráfico desta função. (ii) Verifique se f(x) é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) X: número de salários mínimos Calcular as probabilidades esperadas da população com rendimento mensal: a) Entre 3 e 5 salários mínimos; b) Mais do que 10 salários mínimos. 9

10 Exercício 1 - Continuação Sendo f(x) uma f.d.p., como provado anteriormente, faça: c) Encontre a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico. d) Calcule o valor médio de X ( = E(X)). e) Calcule E(X ). f) A variância e o desvio padrão de X. g) Calcule a mediana. 10

11 Tarefa 1 Seja X a variável aleatória quantidade diária vendida de arroz em um supermercado, em centenas de quilos (x = 1 equivale a 100kg), com função densidade de probabilidade dada por: a) Faça o gráfico desta função b) Verifique se f(x) é uma f.d.p. 0, se x 0 x, se 0 x 1 f ( x) 3 1 x 1, se 1 x se x 3 c) Calcular a probabilidade de, em um dia escolhido ao acaso, se vender entre 50 e 00kg. d) Encontre a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico. e) Calcule o valor médio de X ( = E(X)). f) A variância e o desvio padrão de X. 11

12 c(0, 1) Para conferir: Tarefa 1 0, se x 0 x, se 0 x 1 f ( x) 3 1 x 1, se 1 x se x 3 No software R: plot(c(-1,4), c(0,1), type="n") curve(0*x, -1, 0, col="blue", lwd=4, add=t) curve(/3*x, 0, 1, col="red", lwd=4, add=t) curve(-1/3*x+1, 1, 3, col="darkgreen, lwd=4, add=t) curve(0*x, 3, 4, col="purple", lwd=4, add=t) abline(v=1, lty=) c(-1, 4) 1

13 Tarefa Suponha que a função f(x) possa ser utilizada como um modelo teórico para representar as densidades de frequência para a variável: X= rendimento mensal: f ( x) 0,003x 0, 0,06x 0,3, 0, para para x 0 para x 10 0 x 10 a) Faça o gráfico desta função b) Verifique se f(x) é uma f.d.p. Supondo este modelo, calcular as probabilidades esperadas da população com rendimento mensal: b.1) Entre 5 e 10 salários mínimos; b.) Entre 0 e 10 salários mínimos; b.3) Mais do que 10. c) Encontre a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico. d) Calcule o valor médio de X ( = E(X)). e) Calcule E(X ). f) A variância e o desvio padrão de X. g) Calcule a mediana; h) Calcule o CV. 13

14 Não se preocupe muito com as suas dificuldades em Matemática, posso assegurar-lhe que as minhas são ainda maiores. (Albert Einstein)

15 Principais modelos contínuos Algumas variáveis aleatórias aparecem com frequência em situações práticas. Em geral nesses casos, a distribuição de probabilidade pode ser escrita de uma maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para atribuir as probabilidades. Para caracterizar completamente uma v.a.c., precisamos fornecer sua função densidade de probabilidade, segundo sua definição, é : _ uma função positiva; e _ com integral igual a 1. 15

16 Modelos Contínuos a) Distribuição uniforme contínuo b) Distribuição Exponencial c) Distribuição Normal d) Distribuição Gama e) Distribuição Qui-quadrado f) Distribuição t-student g) Distribuição F-Snedecor 16

17 a) Distribuição Uniforme Contínua 17

18 a) Modelo uniforme contínuo Uma v.a. X tem distribuição Uniforme Contínua no intervalo [a,b], a < b, se sua função densidade de probabilidade é dada por: f ( x) b 1 0 a, caso a x b contrário Notação: X ~ Uc[a, b] E(X) = Var(X) = Tarefa 3: Demonstre a fórmula da Var(X). 18

19 Função densidade de probabilidade Função de distribuição acumulada Tarefa 4: Verifique que a expressão da densidade do modelo Uc[a,b] satisfaz as propriedades de densidade. A função de distribuição pode ser calculada através da integral da densidade. A expressão resultante é dada por: F(x) = 0, se x < a x a, se a x < b b a 1, se x b OBS: Devido à natureza contínua da variável, não faz diferença na definição do modelo se o intervalo de valores for aberto ou semi-aberto. 19

20 Exemplo 1: A distância percorrida pela água do hidrômetro até a caixa é de 15m. Qual a probabilidade que exista um vazamento até m do tubo? Solução: O intervalo que descreve o fenômeno é [0,15]. Considere X uma v.a. que descreve a distância do vazamento do tubo. Assim, é fácil observar que X ~ Uc[0, 15]. Sendo sua função de densidade dada por: f(x) = 1/15, se 0 x < 15 0, c.c. P(0 1 1 X ) dx 015 x ,1333 0

21 b) Distribuição Exponencial 1

22 b) Modelo Exponencial Utilizado para descrever variáveis como, vida útil de equipamentos, tempos de falha e tempos de sobrevivência de espécies. Uma v.a. contínua X, assumindo valores positivos, segue o modelo Exponencial com parâmetro > 0 se sua densidade é: 1 f ( x) e. I ( 0, ) ( x) x Notação: X ~ Exp() E(X) = Var(X) = Cuidado com a parametrização considerada!!! O parâmetro indica a taxa de ocorrência por unidade de medida, que pode ser tempo, distância, volume, etc.

23 Função densidade de probabilidade 1/ Tarefa 5: Verifique que a expressão da densidade do modelo Exp() satisfaz as propriedades de densidade. Para calcular probabilidades com a Exponencial, precisamos resolver a integral, pois não teremos as figuras geométricas simples do exemplo anterior. Assim, Função de distribuição acumulada F(x) = 1 e x/. I (0,) (x) 3

24 Exemplo 1: Um fusível te duração de vida média de 100h. Qual a probabilidade de durar mais de 150horas? Solução: E(X) = = 100 h P(X > 150) = 1 P(X 150) = 1 F(150) = 1 (1 e 150/100 ) = e 150/100 = 0,31 4

25 c) Distribuição Gaussiana ou Normal 5

26 História: O modelo Fundamental: Distribuição Normal A distribuição Normal é também conhecida como distribuição Gaussiana como homenagem a Karl F. Gauss ( ), brilhante matemático e físico alemão, que desenvolveu-a no início do século XIX. Entretanto, Abraham de Moivre ( ) foi o primeiro a anunciar a equação da distribuição em 1733 e Pierre-Simon Marquis de Laplace ( ), famoso matemático e físico francês, a redescobriu na mesma época que Gauss. Para evitar uma questão internacional de originalidade o famoso estatístico inglês Karl Pearson passou a chamá-la de distribuição Normal em

27 Modelo fundamental em probabilidade e inferência estatística. Representa grande parte das variáveis aleatórias contínuas. Alguns motivos: a) Muitos testes e modelos estatísticos têm como pressuposição a normalidade dos dados, isto é, que os dados seguem uma distribuição Normal; b) Muitas variáveis biométricas tendem a ter distribuição Normal; c) A distribuição das médias amostrais de uma variável aleatória qualquer tendem a ter distribuição Normal, mesmo que a variável em si não tenha distribuição Normal. c) Modelo Normal Dizemos que a v.a. X tem distribuição Normal com parâmetros e, se sua função densidade é dada por: f ( x) 1 e ( x), para x Notação: X ~ N(, ) E(X) = Var(X) = 7

28 Propriedades do modelo Normal 1) f(x) tem forma de sino: unimodal e simétrica em relação à ; ) Não possui limite inferior ou superior: f(x) 0 quando x ; 3) O valor máximo de f(x) se dá quando x =. f(x) x 8

29 Propriedades da Distribuição Normal f ( x) 1 e ( x), para x 4) Dois parâmetros: média () e desvio padrão () a) A média () controla a localização do centro da distribuição, é o ponto de simetria. 1 < < 3 b) O desvio padrão () controla a dispersão da curva ao redor da média. 1 < <

30 Propriedades da Distribuição Normal 5) Unidade padrões: o desvio padrão define unidades padrões na distribuição a partir da média, isto é, a dispersão dos dados é controlada pelas unidades de desvio padrão. 68% 95% 99,7%

31 Como calcular a probabilidade, por exemplo, de um intervalo (a, b) qualquer de uma v.a.c. X que segue uma distribuição normal? Precisamos resolver a integral: P b ( x) 1 a X b ( ) e a dx Muita CALMA nessa hora!!! Esta integral só pode ser resolvida de modo aproximado. Então essas probabilidades podem ser calculadas através do uso de tabelas ou pelo computador. SÓ QUE para cada valor de e diferentes, obtemos uma distribuição (função) diferente, ou seja, teremos INFINITAS TABELAS!!!! 31

32 Padronização Considere X uma variável aleatória de interesse. Fazendo: z x s x x Dizemos que a variável Z x é a variável padronizada da variável X. Exemplo: X: altura de 15 alunos (em cm) Consequências: z 0 s z 1 s z a) Calcule a média e o desvio padrão desta amostra. b) Obtenha Z e calcule a média e o desvio. 3

33 Calcular probabilidades no modelo Normal Para calcular probabilidades precisamos resolver a integral: ( x) 1 P a X b ( ) e b a dx Para se utilizar apenas uma tabela, utiliza-se uma transformação da variável X que conduz sempre ao cálculo de probabilidades com uma variável normal com parâmetros (0,1), isto é, média igual a 0 e variância igual a 1. Z X Essa variável Z transformada terá distribuição N(0,1) e será denominada de distribuição Normal Padrão. Notação: Z ~ N(0, 1) 33

34 Para determinar a probabilidade X [a. b], procedemos da seguinte forma: E então olhamos na tabela e obtemos as probabilidades da Distribuição Normal Padrão (Z) ( b) X a P 34 b Z a P b X a P b X a P ) (

35 Tabela da Normal Padrão Como a distribuição Normal é simétrica, apresenta-se na tabela apenas os valore de P(0 Z z). A probabilidade de estar acima (ou abaixo) de zero é 0,5. 35

36 Tabela Distribuição Normal Padrão Z ~ N(0,1) Corpo da tabela dá a probabilidade p, tal que : p = P(0 < Z < Z c ) SEGUNDA DECIMAL DE Zc Z c Z c 0,0 0 0,004 0,008 0,01 0,016 0,0199 0,039 0,079 0,0319 0,0359 0,0 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,1 0, 0,0793 0,083 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,106 0,1064 0,1103 0,1141 0, 0,3 0,1179 0,117 0,155 0,193 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,3 0,4 0,1554 0,1591 0,168 0,1664 0,17 0,1736 0,177 0,1808 0,1844 0,1879 0,4 0,5 0,1915 0,195 0,1985 0,019 0,054 0,088 0,13 0,157 0,19 0,4 0,5 0,6 0,57 0,91 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,517 0,549 0,6 0,7 0,58 0,611 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,7 0,8 0,881 0,91 0,939 0,967 0,995 0,303 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,8 0,9 0,3159 0,3186 0,31 0,338 0,364 0,389 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,9 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,361 1,0 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1,1 1, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,398 0,3997 0,4015 1, 1,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,416 0,4177 1,3 1,4 0,419 0,407 0,4 0,436 0,451 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,4319 1,4 1,5 0,433 0,4345 0,4357 0,437 0,438 0,4394 0,4406 0,4418 0,449 0,4441 1,5 1,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,455 0,4535 0,4545 1,6 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,465 0,4633 1,7 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,8 1,9 0,4713 0,4719 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767 1,9,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,481 0,4817,0,1 0,481 0,486 0,483 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,485 0,4854 0,4857,1, 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489,,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916,3,4 0,4918 0,49 0,49 0,495 0,497 0,499 0,4931 0,493 0,4934 0,4936,4,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,495,5,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,496 0,4963 0,4964,6,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,497 0,4973 0,4974,7,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981,8,9 0,4981 0,498 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986,9 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,0 3,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,499 0,499 0,499 0,499 0,4993 0,4993 3,1 3, 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3, 3,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,3 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,4 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,5 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,6 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,8 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0, ,9 4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 4,0

37 Tabela da distribuição normal padrão (Z). 37

38 Exemplo 1: Seja X ~ N(,9), a probabilidade P( < X < 5) é? 5 P( X 5) P Z P(0 Z 9 9 1) 0,

39 Exemplo : Para obter P(0 X < ), usamos a simetria da Normal = P(0 Z < 0,67) = 0, ) 0 ( Z P Z P X P 0,67 0 Z P 39

40 A tabela também pode ser usada no sentido inverso, dado uma probabilidade, desejamos obter o valor que a originou. Exemplo 3: Quanto vale c tal que P(0 < Z < c) = 0,4? Solução: É só procurar no corpo da tabela onde está o 0,4 (aprox. 0,3997), que corresponde a 1,8 que será o valor de c. 40

41 Exemplo 4: Suponha, agora, que queremos encontrar d, tal que P(Z > d) = 0,8. Solução: Como a probabilidade desejada é maior que ½, então d é um número negativo. Então o intervalo precisa ter probabilidade 0,3. Da tabela d = 0,84, ou seja, d = 0,84. 41

42 Exercício 1 Sabendo-se que Z ~ N(0,1), calcule: a) P(0 < Z <,14) = b) P(0 < Z < 1,5) = c) P( 3,01 < Z < 0) = d) P(,17 < Z < 1,5) = e) P(Z > 0) = f) P(Z > 1) = g) P(Z < 1) = h) P(Z > 1) = i) P(Z < 1) = Exercício Seja X uma v.a.c. peso com média 59,6 kg e variância 16 kg. Calcule a probabilidade: a) P(X 70) = b) P(50 X < 65) = c) P(X > 68) = 4

43 Exercício 3 O peso bruto de latas de conserva é uma v.a. normal, com média 1000g e desvio padrão 0g. a) Qual a probabilidade de uma lata pesar menos de 980g? = 0,15866 b) Qual a probabilidade de uma lata pesar mais de 1010g? SEGUNDA DECIMAL DE Zc Z c ,0 0 0,004 0,008 0,01 0,016 0,0199 0,039 0,079 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0, 0,0793 0,083 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,106 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,117 0,155 0,193 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,168 0,1664 0,17 0,1736 0,177 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,195 0,1985 0,019 0,054 0,088 0,13 0,157 0,19 0,4 0,6 0,57 0,91 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,517 0,549 0,7 0,58 0,611 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,881 0,91 0,939 0,967 0,995 0,303 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,31 0,338 0,364 0,389 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,361 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,398 0,3997 0,4015 1,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,416 0,4177 1,4 0,419 0,407 0,4 0,436 0,451 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,4319 1,5 0,433 0,4345 0,4357 0,437 0,438 0,4394 0,4406 0,4418 0,449 0,4441 1,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,455 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,465 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,481 0,4817,1 0,481 0,486 0,483 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,485 0,4854 0,4857, 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916,4 0,4918 0,49 0,49 0,495 0,497 0,499 0,4931 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,495,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,496 0,4963 0,4964,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981,9 0,4981 0,498 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,499 0,499 0,499 0,499 0,4993 0,4993 3, 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 = 0,

44 Exercício 4 Seja uma v.a.c. X ~ N(100, 100), calcule: a) O valor a, tal que : P(100 a X a) = 0,95 b) P(X < 115) c) P(X 80) Solução: a) a = 19,6 b) c) 0, ,9775 SEGUNDA DECIMAL DE Zc Z c ,0 0 0,004 0,008 0,01 0,016 0,0199 0,039 0,079 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0, 0,0793 0,083 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,106 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,117 0,155 0,193 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,168 0,1664 0,17 0,1736 0,177 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,195 0,1985 0,019 0,054 0,088 0,13 0,157 0,19 0,4 0,6 0,57 0,91 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,517 0,549 0,7 0,58 0,611 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,881 0,91 0,939 0,967 0,995 0,303 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,31 0,338 0,364 0,389 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,361 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,398 0,3997 0,4015 1,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,416 0,4177 1,4 0,419 0,407 0,4 0,436 0,451 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,4319 1,5 0,433 0,4345 0,4357 0,437 0,438 0,4394 0,4406 0,4418 0,449 0,4441 1,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,455 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,465 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,481 0,4817,1 0,481 0,486 0,483 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,485 0,4854 0,4857, 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916,4 0,4918 0,49 0,49 0,495 0,497 0,499 0,4931 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,495,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,496 0,4963 0,4964,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981,9 0,4981 0,498 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,499 0,499 0,499 0,499 0,4993 0,4993 3, 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0, ,5000 4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000