- desvio padrão, caracteriza a dispersão dos resultados

Transcrição

1 O resultado da experiência, então, pode ser expresso na forma < x > ± x n (veja a explicação mais adiante) - desvio padrão, caracteriza a dispersão dos resultados

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3 Histograma de frequências Histograma de frequências representa a distribuição de resultados de medidas de uma grandeza, x, entre os intervalos de valores possíveis como se mostra na Figura. 50 n i 40 Figura Frequência n 2 n a i+ 0 a a 2 a i Valor medido, x A altura de cada coluna corresponde ao número de medidas em que o valor obtido do x está dentro do intervalo a i x < ai+. Para o histograma da Figura isto significa que

4 em n medidas foram obtidas os valores do x tais que a x < a2 em n2 medidas foram obtidas os valores do x tais que a2 x < a3... em ni medidas foram obtidas os valores do x tais que ai x < ai+ É óbvio que número de intervalos ni =. i Distribuição de Gauss e significado do desvio padrão. Verifica-se que para o número de medidas,, suficientamente grande a distribuição dos valores medidos aproxima-se a uma função chamada função de distribuição normal (ou distribuição de Gauss) definida como g 2 ( µ x) 2 ( x) e 2 =. 2π esta função, µ corresponde à posição do máximo (ou à média dos valores x porque g(x) é simétrica) e é o desvio padrão. Figura 2 mostra a sobreposição do histograma dos valores experimentais e da função g(x) com os parâmetros µ e (e tambem um factor multiplicativo factor de escala, A) ajustados para obter o melhor acordo com o histograma Ajusto com a função de Gauss com parâmetros: µ= ± = 0.7 ± 0.0 A= 8.9 ± 0.7 Frequência Histograma de frequências <x> Valor medido, x Pode-se mostrar que a área sob a função g(x) no intervalo (µ -, µ +) corresponde a 68.3% da área total sob a curva. Aproximando o histograma de distribuição dos valores experimentais com a distribuição de Gauss, pode-se concluir que 68.3% dos valores medidos estão compreendidos entre (µ -) e (µ +). a verdade, no caso de uma medição quando a partida não se sabem os valores verdadeiros de µ e (que são valores teóricos no g(x)) assumam-se, como as estimativas para estes, os valores x~ e x obtidos a partir dos dados experimentais. Aqui, ~ x é à média aritmética dos valores medidos (que nos admitimos como a melhor estimativa do valor verdadeiro) e x é uma estimativa do desvio padrão calculada como o desvio quadratico médio (ver as páginas anteriores).

5 Uma vez que se sabem a média, µ, e a largura,, da distribuição do x (mais precisamente, as suas estimativas, <x> e x ) é possivel prever, com certa probabilidade, o resultado de uma única medida do x: a probabilidade que efectuando uma única medida do x o valor obtido será compreendido no intervalo < x > ± x é de 68.3%. Mostra-se tambem que se alargassemos o intervalo para < x > ±2 x a probabilidade aumenta para cerca de 95%. Para o intervalo < x > ±3 x esta já é 99%. Lembremos, que o objectivo da nossa experiência é obter a melhor estimativa do valor verdadeiro do x (que nos admitimos de ser x~ =< x > ) e a incerteza associada a esta estimativa. Ou seja, o que nos interessa não é propriamente a largura da distribuição ( em g(x) ou a estimativa experimental desta, x ) mas sim a precisão com que podemos determinar a média da distribuição, <x> (ou a posição do máximo da função g(x), µ). Intuitivamente, é claro que a posição do máximo da função de Gauss pode ser determinada com uma precisão bastante melhor que a largura da distribuição, (ver Figura 2), e que esta precisão deve melhorar quando o número de medidas,, aumenta. Mostra-se na teoria que a incerteza na determinação da média (que vamos designar por <x> ) varia realmente com e tambem depende do x como x < x> =. Deste modo, o resultado de uma experiência em que se efectuam medidas de uma x grandeza x será ( < x > ± < x> ) com < x> =, onde < x >= x i e i= x = ( < > ) x 2 x i, e o significado da expressão ( < x > ± < x> ) é : i= o valor verdadeiro do x está compreendido entre ( < x > < x> ) e ( < x > + < x> ) com uma probabilidade de cerca de 68%. De maneira semelhante no caso o resultado seja apresentado em forma ( < x > ± 2 < x> ) pode-se dizer que o valor verdadeiro do x está compreendido neste intervalo com uma probabilidade de cerca de 95%, e, no caso de ( < x > ± 3 < x> ) - o valor verdadeiro do x está compreendido neste intervalo com uma probabilidade de cerca de 99%. número de medidas x~ - melhor estimativa do valor verdadeiro do x <x> - média aritmética entre os valores experimentais <x> - desvio padrão da média x desvio médio quadrático dos valores experimentais da sua média µ um parametro na função de Gauss que caracteriza a posição do máximo da distribuição normal desvio padrão na função de Gauss (caracteriza a largura da distribuição normal)