Estudo de erros Erros na fase de modelagem: 1.2. Erros na fase de resolução:

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1 MATEMÁTICA ICET UFMT Clculo Numrico Licenciatura Plena em Matemática Prof. Geraldo Lúcio Diniz Estudo de erros 1. Introdução A obtenção de uma solução numérica para um problema físico por meio da aplicação de métodos numéricos, nem sempre fornece resultados que se encaiam dentro de limites razoáveis. Isso se aplica mesmo quando o método é adequado e os cálculos são efetuados de uma maneira correta. Tal diferença ocorre devido aos erros acumulados na conversão dos números para o sistema aritmético da máquina e nas sucessivas operações realizadas, isso é inerente ao processo e, na maioria dos casos, não tem como ser evitado. Para entender um pouco melhor a fonte de erros, no processo de solução de um problema físico, por meio da aplicação de métodos computacionais, este processo pode ser representado pelo seguinte diagrama: Essencialmente, três fases podem ser identificadas no diagrama acima, a saber: I) a modelagem; II) a resolução e III) a validação. A modelagem é a fase de obtenção do modelo matemático que representa o comportamento do sistema físico em estudo. A resolução é a fase em que obtemos a solução do modelo matemático, que no escopo do presente teto, estaremos procurando uma aproimação da solução através de métodos numéricos. A validação é a fase em que analisamos os resultados e os confrontamos com os dados reais, para verificar se o modelo matemático se comporta de acordo com o esperado, ou se o método numérico adotado apresenta resultados compatíveis com a realidade do problema original Erros na fase de modelagem: Ao se tentar representar um fenômeno do mundo real por meio de um modelo matemático, raramente se tem uma descrição eata do fenômeno. Muitas vezes, são feitas simplificações da realidade para que se obtenha um modelo matemático com o qual se possa trabalhar. Assim, ao obtermos os resultados numéricos, é primordial uma análise destes em relação à realidade (validação!). Às vezes, determinadas simplificação do problema podem conduzir a um modelo falso da realidade, neste caso, devemos procurar um outro modelo que esteja mais adequado a realidade. 1.. Erros na fase de resolução: Na resolução dos modelos matemáticos, muitas vezes é necessário o uso de instrumentos de cálculo (uma calculadora científica, ou mesmo um computador), que necessitam para seu funcionamento, de uma série de aproimações. Tais aproimações podem gerar erros que são propagados a cada operação que se realiza. Um eemplo é o sistema binário utilizado para a representação numérica, na maioria dos computadores. No processo de mudança de base aparecem os primeiros erros, que serão tratados a seguir, após uma breve revisão do processo de mudança de base.

2 Unidade I Erros. Mudança de base:.1. Conversão de números inteiros base β base decimal: A representação de um número N em uma base β qualquer pode ser escrita na forma polinomial, como se segue: N = Com esta representação podemos converter, facilmente, um número representado na base β para o sistema decimal, por eemplo: (10101) = = = (1) 10 (131) 4 = = = (49) 10. A representação inversa, ou seja, dado um número N representado no sistema decimal, para obtermos sua representação numa base β qualquer. Um dos algoritmos para obter tal representação, consiste na obtenção dos restos das divisões sucessivas do número N por β e do quociente resultante, também por β, até obtermos um quociente inferior à base, daí escrevemos a representação nesta base a partir do último quociente seguido dos sucessivos restos, da esquerda para a direita, por eemplo: a) (40) 10 Passo 1: 40 5 = 84 e resto 0; Passo : 84 5 = 16 e resto 4; Passo 3: 16 5 = 3 e resto 1; daí, (40) 10 = (3140) 5. b) (3) 10 Passo 1: 3 = 11 e resto 1; Passo : 11 = 5 e resto 1; Passo 3: 5 = e resto 1; Passo 4: = 1 e resto 1; daí, (3) 10 = (11111)... Conversão de números fracionários base β base decimal: Seja R um número real positivo na base 10. Podemos escrever R como R = R I + R F, onde R I é o maior inteiro menor ou igual a R e R F é a parte fracionária compreendida entre 0 e 1, que chamamos de mantissa. Para um número representado na base 10, a mantissa pode ser escrita da seguinte forma: R F = (0, d 1 d d n 1 d n ) 10 = d d d n 1 10 (n 1) + d n 10 n onde d j é um inteiro positivo entre 0 e 9. Se eistir um inteiro m, tal que d k = 0, para todo k m, dizemos que R F tem representação decimal finita. Por eemplo, 1/8 = 0,15 tem representação decimal finita, enquanto 1/9 = 0, não tem representação decimal finita. Para transformar um número fracionário na base 10 para uma outra base β qualquer, podemos utilizar o método das multiplicações sucessivas (Barroso et al., 1983), que consiste em: Passo 1: multiplicar o número fracionário (mantissa) por β; Passo : desse resultado a parte inteira obtida será o primeiro dígito da mantissa deste número na base β, a parte fracionária restante (a nova mantissa) é novamente multiplicada por β. Este processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja zero, ou até que se tenha atingido o número máimo de dígitos permitidos. Eemplo 1: Converter (0,1875) 10 em. daí, (0, 1875) 10 = (0, 0011) ou (0, 11 ) Eemplo : Converter (0, 6) 10 em 4. Usando as multiplicações sucessivas teremos: então, os produtos começam a se repetir, daí (0,6) 10 (0, 11...) 4.

3 Prof. Geraldo L. Diniz 3 Eemplo 3: Converter (13, 6) 10 em 5. (13, 6) 10 = (13) 10 + (0, 6) 10. Para a parte inteira aplicamos as divisões sucessivas. Daí, passo 1: 13 5 = e resto 3, logo (13) 10 = (3) 5. Quanto a parte decimal, efetuamos as multiplicações sucessivas. Assim, passo 1: 0, 6 5 = 3, 0. Logo, (0, 6) 10 = (0, 3) 5. Portanto, (13, 6) 10 = (3, 3) 5. Para a conversão de um número fracionário representado numa base β qualquer, para a base 10, basta utilizar a representação polinomial do número, efetuar as operações na forma polinomial para obter sua representação na forma decimal. Eemplo 4: Converter (3, 3) 5 em 10. (3, 3) 5 = = /5 = 68/5 = 13, Aritmética de ponto flutuante: Na representação dos números em um sistema computacional, eiste um modo de armazená-los em uma forma padronizada para que as operações possam ser efetuadas de maneira mais organizada, dentro da estrutura de funcionamento da máquina. Uma vez que a capacidade de armazenar dados de qualquer equipamento é limitada, isso faz com que calculadoras e computadores possuam um número finito de dígitos para representar os números. O sistema mais utilizado pelos computadores modernos é o chamado sistema de aritmética de ponto flutuante (APF), tanto para a representação dos números quanto para a eecução das operações. Um número qualquer na base β, em APF de t dígitos, tem a forma: onde (0, d 1 d d t ) é a mantissa na base β, com 0 d i β 1, i = 1,, t, em que e é um epoente variando no intervalo [m, M], sendo que tais limites dependem da máquina utilizada e, em geral, se tem m = -M. Dizemos que um número em APF está normalizado quando d 1 0. O número máimo da mantissa, no caso t, é determinado pelo comprimento da palavra do equipamento, um bit é um dígito de mantissa. Por eemplo, quando é empregada a base no caso dos computadores pessoais (PCs) 1 bte = 8 bits. Atualmente, eistem computadores com até 64 bits. Assim, qualquer sistema APF possui uma quantidade finita de números, essa quantidade pode ser calculada pela fórmula: #f(β, t, m, M) = (β 1)β t 1 (M m + 1) + 1 (3.1) Eemplo 5: Consideremos um equipamento que possua um rudimentar sistema APF, dado por: f(, 3, 1, ), logo #f(, 3, 1, ) = 33, cujos possíveis números neste sistema estão na tabela a seguir (Claudio e Marins, 1989)., Tabela 1: Conjunto de números de um sistema APF, dado por f(, 3, 1, ) Epoentes (0,100) Possíveis mantissas (0,101) (0,110) (0,111) -1 = ( 1 ) (0,5) 10 (0,315) 10 (0,375) (0,4375) 10 0 = ( 0 ) (0,5) 10 (0,65) 10 (0,75) 10 (0,875) 10 1 = ( 1 ) (0, 1 10) 10 (0, 15 10) 10 (0, 15 10) 10 (0,175) = ( ) 0, 10) 10 (0, 5 10) 10 (0, 3 10) 10 (0, 35 10) 10 Graficamente, podemos representar este conjunto de números na reta, como se segue:

4 4 Unidade I Erros Dado um número N, sua representação em APF de t dígitos é feita por truncamento ou arredondamento. Este número não poderá ser representado neste sistema se o epoente e estiver fora dos limites m e M. Nestes casos, os erros são chamados de underflow se e < m e overflow se e > M. Tabela : Parâmetros de sistemas em APF de alguns equipamentos fonte: Barroso et al. (1983). Máquina β t m M Burroughs Burroughs Hewlett-Packard Teas SR-5X PDP IBM IBM Quartzil QI Um parâmetro que é muito utilizado para se avaliar a precisão de um determinado sistema de representação é o número de casas decimais eatas da mantissa e este valor é dado pelo valor decimal do último bit da mantissa, ou seja, o bit de maior significância. Logo: Precisão 1 β t (3.) 4. Erros absolutos e relativos: Nas aproimações entre o número real e o número de máquina, eistem duas formas de avaliar o erro cometido na aproimação, que merecem nossa atenção. O primeiro, é o erro absoluto que é a diferença entre o valor eato de um número N e seu valor aproimado N, ou seja, EA N = N N. Em geral, apenas o valor N é conhecido, o que torna impossível obter o valor eato do erro absoluto. Neste caso, o que fazemos é estimar um limitante superior para o erro absoluto. Por eemplo, ao trabalharmos o número π com duas casas decimais, sabemos que π (3, 14; 3, 15), ao tomarmos o valor de π neste intervalo, o erro absoluto cometido será, então: EA = π π < 0, 01. Isso resolve, em parte, a questão da estimativa do erro cometido na conversão de um número para o sistema APF, entretanto, isso não é suficiente para avaliar a precisão do erro cometido, pois é preciso levar em conta a ordem de grandeza de N. Por isso, definimos o erro relativo, que leva em consideração a ordem de grandeza dos números envolvidos. Por essa razão, o erro relativo é mais utilizado para avaliar a precisão de um cálculo. O erro relativo é definido como sendo a razão entre o erro absoluto e o valor aproimado, ou seja, ER N = EA N. Assim, no eemplo N da aproimação de π, acima, o erro relativo é ER π = 0, 01/ π < 0, 003, ou percentualmente, ER π 0, 3% Erros de arredondamento e truncamento em um sistema de APF: Se um dado número não tem representação finita num dado sistema de APF, ou se o comprimento de palavra não comporta a quantidade de dígitos desse número, a aproimação pode ser obtida por arredondamento ou truncamento. Por eemplo, seja um sistema APF que opera com 3 dígitos na base dado por F (, 3, 1, ) e = (9/8) 10, logo = (1, 15) 10 = (0, ), neste caso, podemos aproimar (0, ) (0, ) = (1, 0) 10, que seria o truncamento. Para fazer aproimação, teremos: (0, ) (0, ) = (5/4) 10, que seria o arredondamento para o número de máquina mais próimo. Para avaliarmos o erro de truncamento num sistema de base β com t dígitos, podemos estimar os limites superiores para os erros absoluto e relativo, da seguinte forma: EA T < β e t e ER T < β t+1. No caso do arredondamento, a estimativa dos limites superiores para os erros absoluto e relativo, é dada por: EA T < βe t e ER T = β t+1, (cf. Ruggiero e Lopes, 1988). 4.. Análise de erros nas operações em um sistema de APF: Dada uma seqüência de operações realizadas em APF, é importante que tenhamos uma noção de como o erro de aproimação numérica se propaga ao longo das operações. O erro total em uma operação é composto pelo erro das parcelas ou fatores e pelo erro no resultado da operação. Conforme a operação, estes erros irão afetar o

5 Prof. Geraldo L. Diniz 5 resultado de maneira diferente. Assim, devemos estimar a propagação do erro de acordo com a operação realizada. Essencialmente, realizamos apenas as quatro operações aritméticas em qualquer máquina, ou seja, soma, subtração, multiplicação ou divisão, qualquer outra operação ou função é obtida a partir destas quatro, através de bibliotecas específicas para cada linguagem de máquina. Desta forma, vamos estimar os erros de propagação somente para estas quatro operações, dadas por: Adição: EA (+) = EA + EA ER (+) = ER + + ER +. (4.3) Subtração: EA ( ) = EA EA ER ( ) = ER ER. (4.4) Multiplicação: EA () EA + EA ER () ER + ER. (4.5) Divisão: EA (/) EA EA ER (/) EA EA (4.6) Nas fórmulas apresentadas acima, não foi considerado o erro de arredondamento ou truncamento do resultado final da operação, para uma análise completa da propagação de erros deve ser feita levando em consideração os erros nas parcelas ou fatores e no resultado, ao final de cada operação. A importância do estudo da propagação de erros pode ser observada no caso do cancelamento subtrativo, como no eemplo a seguir: Dados, e z =, temos então que: ER z = ER ER = EA EA. Suponhamos que e sejam números positivos arredondados em APF de base 10, então ER = (10 t+1 )/ = ER. Assim, se o erro relativo de z poderá ser grande. Como, por eemplo, dado o sistema APF com F (10,4,-3,5), = (0, ) e = (0, ). Então, para z =, temos: z = =(0, ) = 0,4 Daí, o erro relativo de arredondamento ao final da operação é limitado por: ER z < (0,357+0,353) 103 0, , Lembrando que t = 4. Assim, temos um erro relativo da ordem de 59%. Este erro relativo enorme irá se propagar nas operações subseqüentes, de modo que o resultado final não seja confiável. Referências Barroso, L. C., Barroso, M. M. A., Campos Filho, F. F., Carvalho, M. L. B., e Maia, M. L. (1983). Cálculo Numérico. Ed. Harbra, S. Paulo/SP. Cláudio, D. M. e Marins, J. M. (1989). Cálculo Numérico e Computacional Teoria e Prática. Ed. Atlas, São Paulo/SP. Cunha, M. C. (1993). Métodos Numéricos para as Engenharias e Ciências Aplicadas. Ed. Unicamp, Campinas/SP. Ruggiero, M. A. G. e Lopes, V. L. R. (1988). Cálculo Numérico - Aspectos teóricos e computacionais. Ed. McGraw- Hill, S. Paulo/SP.