Prof. Daniel G. Alfaro Vigo DCC IM UFRJ

Transcrição

1 ANOTAÇÕES DE CÁLCULO NUMÉRICO Prof. Daniel G. Alfaro Vigo DCC IM UFRJ

2 Noções básicas sobre erros e aritmética de ponto flutuante 1 Introdução A obtenção de uma solução numérica para um problema físico por meio da aplicação de métodos numéricos, nem sempre fornece resultados que se encaixam dentro de limites razoáveis. Isso se aplica mesmo quando o método é adequado e os cálculos são efetuados de uma maneira correta. Tal diferença ocorre devido aos erros acumulados na conversão dos números para o sistema aritmético da máquina e nas sucessivas operações realizadas, isso é inerente ao processo e, na maioria dos casos, não tem como ser evitado. Para entender um pouco melhor a fonte de erros, no processo de solução de um problema físico, por meio da aplicação de métodos computacionais, este processo pode ser representado num diagrama simplificado (figura 1). Problema físico validação modelagem Modelo matemático resolução Solução Figura 1: Diagrama para a resolução de problemas reais. Essencialmente, três fases podem ser identificadas no diagrama acima, a saber: I) a modelagem; II) a resolução e III) a validação. A modelagem é a fase de obtenção do modelo matemático que representa o comportamento do sistema físico em estudo. A resolução é a fase em que obtemos a solução do modelo matemático, que no escopo do presente texto, estaremos procurando uma aproximação da solução através de métodos numéricos. A validação é a fase em que analisamos os resultados e os confrontamos com os dados reais, para verificar se o modelo matemático se comporta de acordo com o esperado, ou se o método numérico adotado apresenta resultados compatíveis com a realidade do problema original. 1.1 Erros na fase de modelagem Ao se tentar representar um fenômeno do mundo real por meio de um modelo matemático, raramente se tem uma descrição exata do fenômeno. Muitas vezes, são feitas simplificações da realidade para que se obtenha um modelo matemático com o qual se possa trabalhar. Assim, ao obtermos os resultados numéricos, é primordial uma análise destes em relação à realidade (validação!). Às vezes, determinadas simplificação do problema podem conduzir a um modelo falso da realidade, neste caso, devemos procurar um outro modelo que esteja mais adequado a realidade. 1

3 1.2 Erros na fase de resolução Na resolução dos modelos matemáticos, muitas vezes é necessário o uso de instrumentos de cálculo (uma calculadora científica, ou mesmo um computador), que necessitam para seu funcionamento, de uma série de aproximações. Tais aproximações podem gerar erros que são propagados a cada operação que se realiza. Um exemplo é o sistema binário utilizado para a representação numérica, na maioria dos computadores. 2 Erros em processos de cálculo 2.1 Erros absoluto e relativo Começamos introduzindo como são avaliados de forma geral os erros cometidos num processo de aproximação. Seja x um número real e considere uma aproximação x para x. A diferença entre o valor exato e o aproximado E x = x x é chamada de erro absoluto. Nas aplicações é importante conhecer limitantes (estimativas) para o valor absoluto desse erro E x, sem importar se a aproximação foi para cima ou para baixo. Esta forma de definir o erro está relacionada com a distância entre os valores exato e aproximado. Quando x e x representam os valores de uma grandeza física, terão associados uma unidade, e o erro absoluto estará determinado na mesma unidade. Se mudamos a unidade de medição, os valores das grandezas e o erro também mudarão. Outra forma de medir o erro cometido, é através do erro relativo definido por ε x = E x x = x x x. Esta definição é mais apropriada quando estamos interessados em avaliar a qualidade da aproximação em relação ao número de dígitos corretamente aproximados. Em muitos casos o erro relativo pode ser aproximado como Ẽx x em que Ẽx é uma aproximação do erro absoluto. Alternativamente usá-se uma medida do erro relativo que não considera o sinal: x x x. Note que mesmo quando x e x representam os valores de uma grandeza que possui unidade física, o erro relativo ε x sempre será um número sem unidades. Muitas vezes o erro relativo é dado como uma porcentagem calculada como 100 ε x. Em muitas aplicações os erros são consequência do processo de aquisição de dados ou representam os erros acumulados devido a operações anteriores. Exemplo 1. Considere as seguintes aproximações a) x = 2, x = 1.41 = E x = , e ε x = b) x = 2011, x = = E x = , e ε x = Note que os erros absolutos nos dois casos são muito próximos, mas os erros relativos tem diferentes ordens de grandeza. Isto acontece porque no caso b) temos uma aproximação com maior precisão do que em a) (4 dígitos exatos no primeiro caso e apenas 3 no segundo caso). 2

4 Propagação do erro nas operações aritméticas A seguir estudamos como se propagam os erros quando realizamos operações aritméticas com números aproximados. Sejam x, y R e considere as aproximações x, ỹ. Se E x, E y, ε x, ε y representam os erros absolutos e relativos correspondentes a estas aproximações, vamos ter então que E x = xε x, E y = yε y, e x = x(1 ε x ), ỹ = y(1 ε y ). (1) Adição/Subtração. Da definição segue que para o erro absoluto E x+y vamos ter que E x+y = x + y ( x + ỹ) = (x x) + (y ỹ) logo E x+y = E x + E y E para o erro relativo chegamos em ε x+y = E x + E y x + y = xε x + yε y x + y = x x + y ε x + y x + y ε y Procedendo de maneira analoga no caso da subtração, temos em geral que E x±y = E x ± E y (2) e Multiplicação. Neste caso temos que ε x±y = x x ± y ε x ± y x ± y ε y, (3) x ỹ = x(1 ε x ) y(1 ε y ) = x y (1 ε x )(1 ε y ) = x y (1 ε x ε y + ε x ε y ) e então Logo ε x y = ε x + ε y ε x ε y. (4) E x y = y E x + x E y E x E y. (5) 3

5 Divisão. Neste caso, x ỹ = x(1 ε x) y(1 ε y ) ( ) 1 εx e então temos que Para o erro absoluto vamos ter que = x y 1 ε y = x ( ε ) x 1 y 1 ε y = x ( 1 ε ) x ε y y 1 ε y ε x/y = ε x ε y 1 ε y. (6) E x/y = y E x x E y y 2 y E y (7) Observação 2.1. Quando os erros ε x e ε y são pequenos vamos ter as aproximações ε x y ε x + ε y E x y y E x + x E y ε x/y ε x ε y E x/y y E x x E y y 2. Afirmação 2.1. Sejam dados os números reais x, y, e suas aproximações x, ỹ com erros relativos ε x, ε y tais que max{ ε x, ε y } = ɛ. Então: i). quando x e y possuem o mesmo sinal, ε x+y ɛ ii). quando x e y possuem sinais diferentes, ε x y ɛ iii). ε x y 2ɛ + ɛ 2 iv). quando y 0 e ɛ < 1, ε x/y 2ɛ 1 ɛ v). quando adicionalmente às condições dos itens anteriores o ɛ é pequeno, temos as seguintes aproximações 1 ε x y 2ɛ, ε x/y 2ɛ. Demonstração. i). De fato, x ε x+y = x + y ε x + y x + y ε y x x + y ε y x + x + y ε x y = x + y ε y x + x + y ε y ( ) x x + y ɛ + y x + y ɛ = x x + y + y x + y ɛ ε x+y ɛ. 1 Essas desigualdades aproximadas indicam que serão válidas desigualdades semelhantes mas com os valores das constantes ligeiramente maiores. 4

6 ii). É consequência do item anterior, usando que x y = x + ( y). iii). Neste caso, iv). Temos que ε x y = ε x + ε y + ε x ε y ε x + ε y + ε x ε y 2ɛ + ɛ 2. ε x/y = ε x ε y 1 + ε y mas ε y ɛ portanto 1 ε y 1 ɛ > 0, logo ε x + ε y 1 ε y 2ɛ 1 ε y ε x/y 2ɛ 1 ɛ. v). Sob a hipotese de ɛ pequeno o termo ɛ 2 será desprezível em iii) e chegamos em (2 + ɛ) ɛ 2ɛ. Em iv) como 2ɛ 1 ɛ observando que 1 2ɛ 1 ɛ 1 obtemos que 1 ɛ 2ɛ Logo na adição de números com o mesmo sinal o erro relativo não será amplificado, e também nas operações de multiplicação e divisão os erros pequenos não serão amplificados substancialmente. Em geral, apesar de que os erros podem se cancelar por causa dos seus sinais, quando fazemos uma sequência longa de cálculo eles se propagarão provocando aos poucos perdas na precisão do resultado. Por outro lado, quando subtraímos números com sinais iguais (ou somamos números com sinais diferentes) em algumas situações pode acontecer uma perda considerável da precisão. Veja que na equação (3) para o erro, temos os fatores x/(x y) e y/(x y) multiplicando os erros iniciais ε x e ε y. Se x e y são números muito próximos então o denominador nesses fatores fica próximo de zero. Logo, estes fatores podem alcançar valores muito grandes e provocar a amplificação dos erros inicias. Este fenômeno é conhecido como cancelamento catastrófico. Como conclusão podemos dizer que na subtração de dois números com o mesmo sinal (ou na soma de dois números com sinais diferentes) o erro pode ser amplificado e provocar uma grande perda da precisão. Isto acontece quando x e y são números muito próximos. Nas outras operações aritméticas erros pequenos são apenas ligeramente amplificados. 3 Aritmética de ponto flutuante Num computador é impossível representar todo o conjunto dos números reais R, pois a maior parte deles precisaria do uso de uma quantidade infinita de memória. No computador podemos apenas representar um subconjunto finito de R. 5

7 A maioria dos computadores modernos segue a norma IEEE 754, que especifica como deve ser feita a representação de números reais e como devem ser realizadas as operações aritméticas envolvendo esses números. Por causa das limitações físicas na representação dos números pode ser usada apenas uma quantidade finita de informação, e portanto será necessario fazer aproximações. O mostraremos um modelo simplificado da representação dos números no computador que nos ajudará a entender e avaliar os erros que aparecem nos processos computacionais. 3.1 Representação de números reais No dia a dia estamos acostumados a usar a representação decimal dos números (inteiros e reais), mas no computador usa-se frequentemente a representação binária. O uso da representação binária é muito apropriado em dispositivos eletrônicos. De modo geral, podemos fazer a representação de um número em qualquer base β 2 (β inteiro). De fato, todo número real pode ser representado na forma: ±(d e d e 1... d 0, d 1 d 2... ) β, onde e 0 é um inteiro, os dígitos d j {0, 1,..., β 1} e o sinal poderá ser + ou. A representação acima corresponde ao número real x = ± ( d e β e + d e 1 β e d 0 β 0 + d 1 β 1 + d 2 β 2 + ). Por exemplo para o número 4 3 (quatro terços) temos as seguintes representações decimal e binária: (1, ) 10, (1, ) 2. Mostramos a seguir, como fazer a representação (ou conversão) de um número real x em uma base qualquer β. Note primeiramente que o número x pode ser decomposto na forma onde N 0 é inteiro, e 0 f < 1 é real, ou seja x = N + f, N = parte inteira( x ), e f = parte fracionária( x ), portanto temos que N = (d e d e 1... d 0 ) β, f = (0, d 1 d 2... ) β. É claro que basta obter as representações de N e f na base β, e depois junta-las. Começamos com a parte inteira. Considerando a divisão com resto de N por β, temos por outro lado N = β N 0 + r 0, N = d e β e + d e 1 β e d 1 β + d 0 = β [d e β e 1 + d e 1 β e d 1 ] + d 0 e como 0 d 0 β 1 comparando a pripeira e a última expressão obtemos que N 0 = d e β e 1 + d e 1 β e d 1 = (d e d e 1... d 1 ) β 6

8 e r 0 = d 0. Identificamos o dígito das unidades d 0 como o resto na divisão de N por β. Note que então d 1 passa a ser o dígito das unidades para N 0, logo coincide com o resto na divisão de N 0 por β, e assim por diante. Temos então N = β N 0 + r 0, = d 0 = r 0 N 0 = β N 1 + r 1, = d 1 = r 1 N e 2 = β N e 1 + r e 1, = d e 1 = r e 1 N e 1 = β N e + r e, = d e = r e, N e = 0. Como N e = 0, não é preciso continuar aplicando a divisão com resto pois chegaríamos em d e+1 = d e+2 = = 0. Então, aplicando a divisão com resto recursivamente vamos obter a representação de N, após um número finito de passos. Passamos a obter a representação de f. Note que β f = β [d 1 β 1 + d 2 β 2 + ] = d 1 + d 2 β 1 + d 3 β 2 = d 1 + f 1. onde f 1 = d 2 β 1 + d 3 β 2. Como d 1 0 é inteiro e 0 f 1 < 1 temos que d 1 e f 1 correspondem às partes inteira e fracionária de β f, respectivamente. Da mesma forma temos que β f 1 = β [d 2 β 1 + d 3 β 2 + ] = d 2 + d 3 β 1 + d 4 β 2 = d 2 + f 2. onde d 2 e f 2 = d 3 β 1 +d 4 β 2 são as partes inteira e fracionária de β f 1, respectivamente. Logo a identificação dos dígitos de f é feita através do seguinte processo d 1 = parte inteira(β f), f 1 = parte fracionária(β f) d 2 = parte inteira(β f 1 ), f 2 = parte fracionária(β f 1 ) d 3 = parte inteira(β f 2 ), f 3 = parte fracionária(β f 2 ) Note que como f pode conter um número infinito de dígitos, para concluir esse processo podemos precisar de um número infinito de passos. Para concluir a representação do número x juntamos as representações obtidas e colocamos o sinal correspondente. Exemplo 2. Determine a representação binária dos números a) x = 23 4 e b) x = 4 5. a) Devemos achar a representação de x = Note que 23 4 = , e começamos pela representação da parte inteira N = 5. Como β = 2 temos que 5 = = d 0 = 1 2 = = d 1 = 0 1 = = d 2 = 1 7

9 logo 5 = (101) 2. Por outro lado como f = 3/4 obtemos 2 3/4 = 3/2 = 1 + 1/2 = d 1 = 1 2 1/2 = = d 2 = = = d 3 = d 4 = = 0 e então 3/4 = (0, 11) 2. Finalmente chegamos em x = 23/4 = (101, 11) 2. b) Neste caso como 0 < x < 1 temos que N = 0 e f = 4/5, logo 2 4/5 = 8/5 = 1 + 3/5 = d 1 = 1 2 3/5 = 6/5 = 1 + 1/5 = d 2 = 1 2 1/5 = 2/5 = 0 + 2/5 = d 3 = 0 2 2/5 = 4/5 = 0 + 4/5 = d 4 = 0. Note que f 4 = f e então a representação de f será periodica, portanto chegamos em 4/5 = (0, ) Sistemas de números de ponto flutuante Para entender como é feita esta representação considere um número real x 0 e uma base β 2. Como já vimos, este número pode ser escrito na forma x = ± [d e β e + d e 1 β e 1 ] = ± j e d j β j onde d e 0. Equivalentemente podemos escreve-lo como o produto x = ± [d e + d e 1 β d e j β j + ] β e. Isto no leva a seguinte representação para o número x = ( 1) s (d e, d e 1 d e 2... ) β β e = ( 1) s m β e onde m = (d e, d e 1 d e 2... ) β é chamado de mantissa, o número inteiro e é chamado de expoente, e o número s {0, 1} corresponde ao sinal do número (s = 0 + e s = 1 ). Essa forma de representar o número x é chamada de representação de ponto flutuante. Como d e 0, temos que 1 m < β e dizemos que a mantissa está normalizada ou que a representação de ponto flutuante está normalizada. Podemos considerar também representações não normalizadas. Por exemplo (8, 0) , (0, 8) , (0, 08) , (80, 0) são representações do número quatro quintos, mas apenas a primeira está normalizada. Exemplo 3. A representação normalizada dos números a) x = 23/4 e b) x = 4/5, na base β = 2 é dada a seguir. a) x = (101, 11) 2 = [ ] = [ ] 2 2 = (1, 0111) Para normalizar (101, 11) 2 a virgula foi deslocada duas posições para a esquerda e portanto temos o expoente e = 2. 8

10 b) x = (0, ) 2 = = [ ] 2 1 = (1, ) Nesse caso, para normalizar (0, ) 2 deslocamos a virgula uma posição para a direita pelo que temos o expoente e = 1. Todo número real diferente de zero possui uma única representação de ponto flutuante normalizada (irreduzível 2 ). Esta simples observação nos indica a grande relevância das representações normalizadas. Em particular, este tipo de representação é a chave para a representação de números reais no computador. De fato, como veremos a seguir, no computador usa-se a representação de ponto flutuante normalizada, mas considerando apenas uma quantidade finita de informação. Dados os números inteiros p > 0, E min e E max, com E min < E max. O conjunto dos números de ponto flutuante (normalizados) na base β, com precisão p e intervalo [E min, E max ] para o expoente consiste do subconjunto dos números reais definido por F = {x = ±(d 0, d 1... d p 1 ) β β e d 0 0, E min e E max } {0}. Notamos que apesar do número 0 (zero) não possuir uma representação normalizada ele está incluído nesse conjunto. Na figura 2 plotamos os 49 números de ponto flutuante correspondentes aos parâmetros β = 2, p = 3, E min = 2 e E max = 3. Os números com maior modulo são ±14, e os números diferentes de zero de menor modulo são ± 1 4. Note que a distância entre os números de ponto flutuante não é sempre constante, esta distância cresce quando o modulo cresce pelo que os números de maior modulo ficam mais separados uns dos outros. Observação 3.1. No caso geral, temos um total de 2(E max E min + 1)β p números e entre aqueles com expoente e, a separação é β e+1 p. O menor número de ponto flutuante (normalizado) diferente de zero em modulo é p dígitos {}}{ x min = ( 1, ) β β E min = β E min, entanto que o maior é p vezes {}}{ x max = ( β 1,... β 1) β β Emax [ = (β 1) β ] β p 1 β Emax ( ) 1 1 β = (β 1) p 1 1 β Emax β ( = β 1 ) β p 1 β Emax < β Emax+1. 2 A representação é reduzível se a mantissa contem uma sequência infinita de dígitos formada apenas por (β 1), em caso contrário dizemos que a representação é irreduzível. Todo número com representação reduzível terá associada uma única representação normalizada com mantissa finita. 9

11 Figura 2: Conjunto F dos números de ponto flutuante (normalizados), quando β = 2, p = 3, E min = 1 e E max = 2. Em a) mostramos todos os números e em b) mostramos um zoom do intervalo [ 5, 5]. Norma IEEE 754. Do ponto de vista interno para representar (físicamente) um número de ponto flutuante no computador temos que considerar seu sinal, sua mantissa e seu expoente. De forma geral, esta representação é feita de acordo com a norma IEEE 754, onde estão definidos diferentes tipos de números de ponto flutuante. Esta norma especifica que deve ser usada a base β = 2. Na tabela 1 apresentamos os valores dos outros parâmetros de acordo com esta norma. Precisão simples Precisão dupla p (Precisão) E min E max t (Bits para o expoente) 8 11 Total de Bits Tabela 1: Parâmetros para dados de ponto flutuante de acordo com a norma internacional IEEE 754. Num primeiro olhar, os dados nesta tabela podem parecer contraditórios! Considere o caso de precisão simples, como p = 24, usando um bit para cada dígito da mantissa mais os 8 bits do expoente, consumimos os 32 bits disponíveis. Então, onde será armazenado o sinal do número? A resposta é simples, notando que os números de ponto flutuante, exceto o zero, estão normalizados e como β = 2, vamos ter que d 0 = 1 (sempre!) e portanto não é necessário armazenar este dígito físicamente. Logo, apenas precisamos armazenar a parte fracionária da mantisssa que contém p 1 dígitos. Isto nos dá então = 31, pelo que temos um bit disponível para armazenar o sinal. Na figura 3, representamos gráficamente como é feito isto no computador para o caso de números de ponto flutuante de precisão simples. Vemos que a parte fracionária da mantissa ocupa os bits do 0 ao 22, o expoente é armazenado usando os bits do 23 ao 30, e o sinal (0 + e 1 ) armazena-se usando apenas o bit 31. Observe que o expoente e pode tomar valores negativos ou positivos. Não entanto, na sua representação interna evita-se usar um bit para o sinal, para isto internamente no espaço reservado para o expoente é armazenado o valor do expoente com excesso e = e E min

12 sinal expoente parte fracionária da mantissa Figura 3: Armazenamento dos números de ponto flutuante (precisão simples) de acordo com a norma IEEE 754. Assim de acordo com a norma IEEE 754, o número de ponto flutuante normalizado com parte fracionária da mantissa e expoente com excesso é armazenado internamente na forma onde x = ±(1 + f) 2 e f = d d d p 1 2 p 1, e = e 1 + e e t 2 t 1, [s e 1 e 2 e t d 1 d 2 d p 1 ] s = { 0, se o sinal de x é +, 1, se o sinal de x é. Vamos escrever então, a representação interna de x em forma compacta como sendo [s e f]. Note que quando E min e E max, temos que 1 e E max = E max E min + 1. Por exemplo, no caso de precisão simples temos que 1 e E max = 254, mas é fácil ver que usando 8 bits é possivel armazenar os números desde o 0 (zero) até o 255 = É natural se questionar: por quê os valores e = 0 e 255 não estão sendo aproveitados? Estos valores do expoente com excesso são aproveitados para representar o número zero que como já foi notado anteriormente, não possui uma representação normalizada, os infinitos ( e + ) e os números subnormalizados. O número zero possui duas representações internas especiais [s e f] com f = 0, e = 0, e s = 0 ou 1. Veja que a norma inclui duas representações para o zero, pois o sinal pode ser positivo ou negativo. Os infinitos são representados como [s e f] com f = 0, e = E max + 1(= 255 em precisão simples), s = 0 para o + e s = 1 para o. Sobre os números subnormalizados falaremos mais na frente (veja o parágrafo 3.3). Observação 3.2. O uso da mantissa normalizada permite uma representação única para cada número diferente de zero, o que é também uma vantagem, por exemplo, quando precisamos ordenar um subconjunto de números. O ordenamento é feito lexicograficamente: primeiro de acordo ao sinal, depois segundo o expoente, e finalmente pelo valor da parte fracionária das mantissas. É fácil ver que a representação especial do número zero conserva a ordem natural entre os números de ponto flutuante. Outra vantagem da base binária, é que temos um bit extra de precisão, ou seja que vamos ter uma precisão igual a p mas físicamente apenas usamos p 1 bits para representar a mantissa. 11

13 3.3 Truncamento e arredondamento No computador é possível apenas realizar operações com números de ponto flutuante, como este conjunto de números é finito existem números reais que não podem ser representados de forma exata. Por isso, é necessário aproximar ou converter um número real x num número de ponto flutuante x aprox. Passamos a discutir as duas formas básicas de fazer esta aproximação: por truncamento ou arredondamento. Vamos considerar o conjunto dos números de ponto flutuante com base β e precisão p (por enquanto não consideramos limites para o expoente). Truncamento (aproximação em direção ao zero). Seja o número real x 0. Como sabemos este número pode ser escrito na forma x = ( 1) s [d 0 + d 1 β d p 1 β (p 1) + d p β p + ] β e = ( 1) s m β e onde d 0 0 e m = (d 0, d 1... d p 1 d p... ) β. O truncamento consiste em usar apenas os p primeiros dígitos da mantissa normalizada m na base β, ou seja que x trunc = ( 1) s (d 0, d 1... d p 1 ) β β e = ( 1) s [d 0 + d 1 β d p 1 β (p 1) ] β e. Temos em particular que se x F \{0} (ou seja x 0 é um número de ponto flutuante) então x trunc = x. Esta simples observação nos ajuda a completar a definição: se x = 0 então x trunc = 0. Uma consequência imediata desta definição é que x = x trunc + ( 1) s g β e p onde g = d p + d p+1 β d p+j β j + satisfaz 0 g β. Arredondamento (aproximação para o número mais próximo). Para o número real x, na base β com precisão p, temos que x = x trunc + ( 1) s g β e p onde e é o expoente de x, s é o sinal, e 0 g β. Definimos então { x trunc, se g < β/2, ou g = β/2 e d p 1 é par x arred = x trunc + ( 1) s β e p+1 (8), se g > β/2, ou g = β/2 e d p 1 é ímpar. No arredondamento aproximamos o número x pelo número de ponto flutuante mais próximo a ele. Note que x está contido no intervalo (fechado) definido pelos números de ponto flutuante x trunc e x trunc + ( 1) s β e p+1, e que no interior desse intervalo não tem nenhum outro número de ponto flutuante. As distâncias entre x e x trunc, e entre x e x trunc + ( 1) s β e p+1 são e l 1 = x x trunc = ( 1) s g β e p = g β e p l 2 = x (x trunc + ( 1) s β e p+1 ) = ( 1) s g β e p ( 1) s β e p+1 = ( 1) s (g β) β e p = (β g) β e p, respectivamente. Portanto, x estará mais próximo de x trunc quando l 1 < l 2 g β e p < (β g) β e p g < β/2 12

14 e nesse caso (g < β/2) usamos x trunc como aproximação. No caso contrário (g > β/2), o outro extremo do intervalo ficará mais próximo de x e usamos x trunc + ( 1) s β e p+1 como aproximação. No caso quando l 1 = l 2, ou seja g = β/2 arredonda-se para o número com o dígito menos significativo par. 3 A seguir estudaremos a representação em ponto flutuante de x arred com ênfase no caso segundo caso em (8). Temos que então x arred = ( 1) s [d 0 + d 1 β d p 1 β (p 1) ] β e + ( 1) s β e p+1 = ( 1) s [d 0 + d 1 β (d p 1 + 1) β (p 1) ] β e = ( 1) s m β e. onde m = d 0 + d 1 β (d p 1 + 1) β (p 1). Obviamente, quando d p 1 β 1 obtemos que x arred = ( 1) s (d 0, d 1... d p ) β β e. }{{} (p 1)-ésimo Considere agora que d j = β 1 para 0 q < j p 1 e d q β 1, ou seja d q+1 = d q+2 = = d p 1 = β 1. Então e então m = d d q β q + d q+1 β (q+1) + + d p 1 β (p 1) + β (p 1) = d d q β q + (β 1) [β (q+1) + + β (p 1) ] + β (p 1) = d d q β q + (β 1) β (p 1) [β (p 1) (q+1) + + 1] + β (p 1) [ ] = d d q β q + (β 1) β (p 1) β p (q+1) 1 + β (p 1) β 1 = d d q 1 β (q 1) + (d q + 1) β q p dígitos {}}{ x arred = ( 1) s ( d 0,... d q 1 d q ) β β e. }{{} q-ésimo Finalmente, quando d j = β 1, para 0 j p 1 temos que m = d d p 1 β (p 1) + β (p 1) = (β 1) [1 + + β (p 1) ] + β (p 1) = (β 1) β (p 1) [β p ] + β (p 1) [ β = (β 1) β (p 1) p ] 1 + β (p 1) β 1 = β, logo p dígitos {}}{ x arred = ( 1) s ( 1, ) β β e+1. 3 Esse procedimento pode ser chamado de regra do dígito par. 13

15 Em conclusão, neste segundo caso definindo q = max{q 0 q p 1, d q β 1} temos que p dígitos {}}{ ( 1) s ( 1, ) β β e+1, se d j = β 1 para 0 j p 1 p dígitos x arred = {}}{ ( 1) s ( d 0,... d q 1 d q ) β β e, em que q = max{q 0 q p 1, d q β 1}. }{{} q-ésimo Exemplo 4. Aproxime os números x = 23/4 e y = 4/5, por truncamento e arredondamento na base β = 2, com precisão a) p = 3 e b) p = 4. a) Precisão p = 3 Para x = 23/4 temos que e para y = 4/5 x = (101, 11) 2 = (1, 0111) x trunc = (1, 01) x arred = [(1, 01) 2 + (0, 01) 2 ] 2 2, pois g = (1, 1) 2 > 2/2 = 1 x arred = (1, 10) b) Precisão p = 4 Underflow e overflow. y = (0, ) 2 = (1, ) y trunc = (1, 10) y arred = (1, 10) 2 1, pois g = (0, ) 2 < 1 x = (101, 11) 2 = (1, 0111) x trunc = (1, 011) x arred = [(1, 011) 2 + (0, 001) 2 ] 2 2, pois g = (1) 2 = 2/2 = 1 e d 3 = 1 x arred = (1, 100) y = (0, ) 2 = (1, ) y trunc = (1, 100) y arred = [(1, 100) 2 + (0, 001) 2 ] 2 1, pois g = (1, ) 2 > 1 y arred = (1, 101) Existem números reais que não podem ser aproximados por números de ponto flutuante, pois ao fazermos o arredondamento ou o truncamento temos uma representação com expoente fora dos limites E min e E max. Quando e < E min temos um underflow e se e > E max um overflow. 14

16 Underflow gradual e números subnormalizados. Na norma IEEE 754 uma forma de aliviar os problemas de underflow, consiste na introdução do underflow gradual mediante o uso de números subnormalizados. Um número subnormalizado possui a representação interna [s e f] com o expoente com excesso e = 0, e está associado ao número real x = ( 1) s f 2 E min. Então, vamos ter que ( 1 x ) ( 2 p 1 2 E min = 1 1 ) 2 p 1 2 E min < x min = 2 E min, portanto os números subnormalizados permitem preencher de uma forma gradual os buracos existentes entre o zero e ±x min. 3.4 Erros na aproximação de ponto flutuante Estudaremos a seguir o comportamento dos erros de truncamento e arredondamento. Considere um sistema de números de ponto flutuante na base β com precisão p (por enquanto não consideramos limites para o expoente). Seja um número real x 0, temos que onde d 0 0. Logo x = ( 1) s [d 0 + d 1 β d p 1 β (p 1) + d p β p + ] β e onde x trunc = ( 1) s (d 0, d 1... d p 1 ) β β e, e 0 g β. x = x trunc + ( 1) s g β e p (9) Erros no truncamento. Neste caso temos que x aprox = x trunc, portanto E x = x x aprox = ( 1) s g β e p. Daí chegamos na seguinte estimativa para o erro absoluto Para o erro relativo temos que ε x = E x x = = E x = g β e p β e p+1. ( 1) s g β e p ( 1) s [d 0 + d 1 β d j β j + ] β e g β p d 0 + d 1 β d j β j + e então como d 0 1 e 0 g β obtemos que 0 ε x ɛ maq = β p+1. O número ɛ maq (= β p+1 ) é conhecido como epsilon da máquina 4, pela norma IEEE 754 em precisão simples temos que ɛ maq = e em precisão dupla ɛ maq = Usualmente o epsilon da máquina é definido como o menor número de ponto flutuante ɛ maq > 0 tal que 1 ɛ maq 1 15

17 Erros no arredondamento. Para o arredondamento temos que { x trunc, se g < β/2, ou g = β/2 e d p 1 é par x aprox = x trunc + ( 1) s β e p+1, se g > β/2, ou g = β/2 e d p 1 é ímpar. Note que no primeiro caso os erros seram iguais que no truncamento. Por outro lado, para o segundo caso usando a equação (9) temos que e então E x = Portanto obtemos que e daí notando que segue que E x = x x aprox = (x trunc + ( 1) s g β e p ) (x trunc + ( 1) s β e p+1 ) = ( 1) s (g β e p β e p+1 ) = ( 1) s (g β)β e p, { ( 1) s g β e p, ( 1) s (β g) β e p, E x = β e p se g < β/2, ou g = β/2 e d p 1 é par se g > β/2, ou g = β/2 e d p 1 é ímpar. { g, se g < β/2, ou g = β/2 e d p 1 é par β g, se g > β/2, ou g = β/2 e d p 1 é ímpar., g β/2 = β g β/2 E x 1 2 βe p+1. Para o erro relativo no segundo caso, quando g > β/2, ou g = β/2 e d p 1 é ímpar, vamos ter que logo ε x = ε x = = Finalmente obtemos a limitante E x ( 1) s [d 0 + d 1 β d j β j + ] β e ( 1) s (g β) β e p ( 1) s [d 0 + d 1 β d j β j + ] β e (β g) β p = d 0 + d 1 β d j β j +, g β p d 0 +d 1 β 1 + +d j β +, j (β g) β p d 0 +d 1 β d j β +, j se g < β/2, ou g = β/2 e d p 1 é par se g > β/2, ou g = β/2 e d p 1 é ímpar. ε x 1 2 ɛ maq = 1 2 β p+1. Resumindo os resultados obtidos nesta seção temos que no truncamento = 0 ε x ɛ maq, (10) no arredondamento = ε x ɛ maq 2. (11) 16

18 Observação 3.3. Note que as estimativas para os erros relativos (no truncamento ou arredondamento) dependem apenas da base β e da precisão p do sistema de números de ponto flutuante escolhido através de ɛ maq. Ou seja que os erros relativos estão uniformemente limitados. Esta é mais uma das razões pela qual o sistema de ponto flutuante é usado nos computadores. Além disso, quando usamos o arredondamento esta limitante diminui pela metade, logo em geral o arredondamento nos dá uma melhor aproximação. 3.5 Operações aritméticas de ponto flutuante As operações aritméticas entre números reais no computador são realizadas de forma aproximada, pois como já sabemos existem números reais que não podem ser representados de forma exata. A norma IEEE 754, indica como essas operações devem ser realizadas. Nesse sentido, o principal objetivo desta norma é garantir a portabilidade dos códigos computacionais que realizam operações de cálculo em ponto flutuante, ou seja, que as operações aritméticas de ponto flutuante gerem os mesmos resultados independentemente da máquina e a linguagem de programação utilizados (sempre que o fabricante do computador e a linguagem adotem as especificações da norma). Por exemplo, para a soma x + y de dois números de ponto flutuante a norma IEEE 754 indica que devemos: 1. calcular z = x + y; 2. aproximar z por um número de ponto flutuante usando arredondamento. Assim, o resultado final da operação será o número de ponto flutuante (x + y) arred. Segundo a norma as outras operações aritméticas elementares devem ser realizadas de forma analoga. Representando a operação de arredondamento de um número real x mediante fl(x), temos a função fl : R F tal que x R, fl(x) = x arred. Dessa forma as operações aritméticas no computador (seguindo a norma IEEE 754) podem ser modeladas através das operações aritméticas de ponto flutuante definidas por x y def = fl(x + y), x, y F x y def = fl(x y), x, y F x y def = fl(x y), x, y F x y def = fl(x/y), x, y F. Observamos então que no computador a operação aritmética x y em que o operador aritmético {+,,, /} e x, y F, será aproximada pelo número x y. Portanto, vamos ter que o erro relativo ε x y quando fazemos a aproximação x y x y está apenas associado ao processo de arredondamento e satisfaz a limitante ε x y ɛ maq /2. Na prática, os problemas com a precisão dos cálculos é causada pela acumulação e a propagação dos erros. Em geral, quando realizamos um cálculo no computador os dados usados não são exatos pois representam valores aproximados. Essas aproximações podem ser resultado do arredondamento dos dados no computador, do processo de aquisição dos dados ou da acumulação dos erros produzidos nas etapas anteriores. 3.6 Acumulação de erros na aritmética de ponto flutuante Nesta seção vamos determinar o erro acumulado após relizadas as operações aritméticas elementares de ponto flutuante, considerando que os dados de entrada (números de ponto flutuante) apenas representam aproximações dos valores exatos. 17

19 Suponha que x, y representam um par números reais que precisamos somar, mas que apenas conhecemos os eus valores aproximados x, ỹ que são números de nosso sistema de ponto flutuante. Nessas condições iremos calcular a aproximação x ỹ x + y. Vamos analisar qual é a forma do erro relativo associado a essa aproximação. Observando que x ỹ = fl( x + ỹ), nesta operação é introduzido o erro relativo ε arred x+ỹ devido ao arredondamento. Temos então que ε acum x+y x ỹ = ( x + ỹ)(1 ε arred x+ỹ ). Por outro lado, x + ỹ representa uma aproximação para x + y, e temos associado um erro relativo ε dados x+y. A forma explicita desse erro foi apresentada em (3), e depende dos valores e erros associados com os dados x, y, e por isso escrevemos a palavra dados nessa notação. De qualquer forma a seguinte expressão é válida x + ỹ = (x + y)(1 ε dados x+y ). A partir daí obtemos que donde segue que x ỹ = ( x + ỹ)(1 ε arred x+ỹ ) = (x + y)(1 ε dados x+y )(1 ε arred x+ỹ ) = (x + y)(1 ε dados x+y ε acum x+y = ε dados x+y + ε arred x+ỹ ε arred x+ỹ + ε dados x+y ε arred x+ỹ ) ε dados x+y ε arred x+ỹ. Resultados semelhantes são válidos para qualquer operação aritmética, ou seja se {+,,, /}, então ε acum x y = ε dados x y + ε arred x ỹ ε dados x y ε arred x ỹ. (12) Levando em conta que o erro de arredondamento é sempre pequeno ( ε arred x ỹ ɛ maq/2) obtemos a aproximação ε acum x y ε dados x y + ε arred x ỹ. Podemos concluir que o erro acumulado poderá crescer descontroladamente apenas quando a operação aritmética usada propaga de forma prejudicial os erros dos dados. Lembramos que o único caso em que pequenos erros nos dados podem ser amplificados descontroladamente em apenas uma operação aritmética, é aquele em que acontece um cancelamento catastrófico. No caso geral, é fácil obter as seguintes estimativas, como consequência imediata da afirmação 2.1 e da equação (12). Afirmação 3.1. Sejam dados os números reais x, y, e as aproximações de ponto flutuante x, ỹ com erros relativos ε x, ε y tais que max{ ε x, ε y } = ɛ. Então: i). quando x e y possuem o mesmo sinal, ε acum x+y 1 2 ɛ maq + ( ɛ maq) ɛ ii). quando x e y possuem sinais diferentes, ε acum x y 1 2 ɛ maq + ( ɛ maq) ɛ iii). ε acum x y 1 2 ɛ maq + ( ɛ maq)(2 + ɛ) ɛ iv). quando y 0 e ɛ < 1, ε acum x/y 1 2 ɛ maq + (2 + ɛ maq ) ɛ 1 ɛ v). quando adicionalmente às condições dos itens anteriores o ɛ é pequeno (da mesma ordem que ɛ maq ), temos as aproximações ε acum x±y 1 2 ɛ maq + ɛ, ε acum x y 1 2 ɛ maq + 2ɛ, ε acum x/y 1 2 ɛ maq + 2ɛ. 18

20 Exemplo 5. Considere o cálculo da função 1 + x 1 f(x) =, x para x > 0. (13) No cálculo do numerador vamos ter um cancelamento catastrófico quando x é pequeno. Uma forma de se evitar está situação consiste em transformar algebricamente a expressão acima em uma equivalente. Como 1 + x 1 vamos ter que x = 1 + x 1 x f(x) = 1 + x x + 1 = x + 1, x + 1. (14) Na tabela 2 comparamos os resultados obtidos com precisão dupla usando as equações (13) e (14) e o resultado com 15 dígitos exatos, para diferentes valores de x. A diferença é notável, o uso da equação (13) dá resultados cada vez menos acurados quando x se aproxima de zero, o erro relativo atinge valores muito grandes comparados com ɛ maq ( ). Na figura 4 os erros relativos divididos por ɛ maq são plotados para diferentes valores de x [10 15, 1]. O exemplo anterior mostra que em algumas situações é possível evitar a amplificação catastrófica dos erros iniciais, transformando apropriadamente as expressões a serem calculadas. x 1+x 1 x x 15 dígitos exatos Tabela 2: Comparação dos resultados para diferentes valores de x, usando as duas expressões acima (os dígitos coloridos podem ser considerados exatos na precisão correspondente). 3.7 Um desastre provocado por erros de arredondamento O 25 de fevereiro de 1991, durante a guerra do Golfo, uma bateria de mísseis (MIM-104 Patriot) americana falhou e não conseguiu rastrear e interceptar um míssil Scud lançado pelas tropas iraquianas. Esse míssil acabou atingindo um quartel do exército e provocando a morte de 28 soldados americanos e ferindo outros 98. No relatório da U. S. General Accounting Office sobre o caso (disponível aqui) prova-se que essa falha foi resultado da perda de precisão nos cálculos realizados pelo software que operava a bateria. A bateria de mísseis era equipada com um radar para a detecção dos alvos e um computador. O computador usado (era baseado em um modelo do ano 1970) possuía capacidade relativamente limitada para realizar cálculos de alta precisão. Assim, quando o software usou a informação do relógio que contava o tempo em décimos de segundos para calcular o tempo em segundos, por causa dos erros de arredondamento o radar procurou na região errada e não conseguiu rastrear o míssil. 19

21 Figura 4: Erro relativo ε f(x) /ɛ maq para diferentes valores de x, (x [10 15, 1]) quando usamos a expressão (13). Os eixos do gráfico são mostrados em uma escala logarítmica. O tempo em segundos foi calculado multiplicando por 1/10, e como o computador não usava a representação de ponto flutuante (IEEE 754), este número foi aproximado pela sua representação binária truncada com 24 dígitos, ou seja que produz o erro 1 10 = (0, ) 2 (0, ) 2, E = (1, ) = 2 20 /10 9, A bateria estava em funcionamento por aproximadamente 100 horas, assim no cálculo do tempo em segundos foi cometido um erro de aproximadamente 0, 34 segundos ( , , 34). Levando em conta que a velocidade de um míssil Scud é aproximadamente de 1676 m/s, o erro propagado no cálculo do posicionamento foi de aproximadamente 570 metros. Portanto, o sistema de rastreamento procurou pelo míssil na posição errada e não foi possível intercepta-lo. Nesta página web são relatados outros desastres atribuídos a erros numéricos. 20