Representação e Aritmética em Ponto Flutuante. 35T12 Sala 3G4 Bruno Motta de Carvalho DIMAp Sala 15 Ramal 227

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1 Representação e Aritmética em Ponto Flutuante 35T12 Sala 3G4 Bruno Motta de Carvalho DIMAp Sala 15 Ramal 227

2 Sistemas de Representação de Números no Computador Representação de números inteiros Dado um número inteiro n 0, ele possui uma única representação na base n= n k n k 1 n 1 n 0 = n 0 0 n 1 1 n k k onde os 0 n i e n k 0 n i,i=0, 1, k são inteiros satisfazendo Por exemplo, 712 é representado por 712= = ou 712= =

3 Representação de Números Reais Representação em ponto fixo: representação usada por muitos computadores nas décadas de 60 e 70 Dado um número real x 0, ele pode ser representado por n x= i=k Exemplo: na base =10 x i i, onde k n e 0 x i = i= 3 x i i =

4 Representação em Ponto Flutuante Mais flexível que a representação em ponto fixo Padrão nos dispositivos atuais (IEEE 754) Dado um número real x 0, ele pode ser representado por x= d e, onde é a base do sistema de numeração, d é a mantissa e e é o expoente e d é um número em ponto fixo onde geralmente k=1, e se x 0, então d 1 0; 0 d i <, i=1,2,...,t, sendo t a quantidade de dígitos significativos ou precisão do sistema, e d < 1 e m e M n d= d i i, i=k 4

5 Representação em Ponto Flutuante D 1 0 caracteriza o sistema de números em ponto flutuante como normalizado O número 0 pertence a qualquer sistema e pode ser representado com mantissa igual a 0 e e= m Exemplos: 0.35, 5.172, , ,

6 Representação em Ponto Flutuante Sistema de representação de números em ponto flutuante normalizados F,t, m, M, com onde Exemplos: 0.35, 5.172, , , Represente os números acima usando o sistema ±0.d 1 d 2 d t e, F 10,3,2,2 d 1 0 e m e M 6

7 Mudança de Base Máquinas ou humanos podem usar bases diferentes para representar o mesmo número Mudar as representações dos números e da base 2 para a base 10 13, 0.75 e 3.8 da base 10 para a base da base 10 para a base da base 2 para a base 10 Mudanças de bases diferentes de 10 podem ser feitas usando se a base 10 como uma base intermediária 7

8 Representação de Números no Sistema F,t, m, M Números reais podem ser representados por uma reta contínua. Um sistema de números de ponto flutuante representa pontos discretos na reta real Quantos e quais números podem ser representados no sistema F(2,3,1,2)? 8

9 Representação de Números Exemplos Somente pontos discretos na reta de números reais podem ser representados no computador 9

10 Padrão IEEE 754 Criado em 1985, se tornou um padrão para aritmética de ponto flutuante Implementado na grande maioria das CPUs Padrões para arredondamento, underflow e overflow Somente números na forma x/2 k podem ser representados exatamente. Outros números têm representações com repetições de seqüências de bits, como 1/ [01] / [0011] 2

11 Padrão IEEE 754 Números representados por 1 s M2 E, onde s (MSB) é o bit do sinal, M (frac) é um valor fracional na faixa [1.0,2.0) e E (exp) é o expoente da base 2 s exp frac Precisões Simples (8 exp bits, 23 frac bits) Dupla (11 exp bits, 52 frac bits) Estendida (15 exp bits, 63 frac bits) 11

12 Codificação no Padrão IEEE 754 exp and exp Expoente é codificado com um bias Exp: valor sem sinal do campo exp Bias: valor do bias Precisão simples: 127 (Exp: , E: ) Precisão dupla: 1023 (Exp: , E: ) Frac codificado com um 1 inicial implícito M=1.xxx...x 2 12 xxx...x: bits de frac Mínimo quando frac é (M=1.0) e máximo quando frac é (M=2.0 )

13 Padrão IEEE 754 Codificação Normalizada exp and exp Float F = ; = = X 2 13 M= , Frac= Expoente: E = 13, bias = 127, exp = 140 = Floating Point Representation (Class 02): Hex: D B Binary: : :

14 Padrão IEEE 754 Codificação Não Normalizada Exp = Expoente E = bias +1 M = 0.xx...x 2 Casos: Exp=00...0, frac= representa o valor 0 (valores diferentes para +0 e 0) Exp=00...0, frac= representam números pequenos próximos de 0.0, perdendo precisão a medida que ficam menores (underflow gradual ) 14

15 Padrão IEEE 754 Valores Especiais exp = Casos: Exp = 111 1, frac= Representa o valor infinito, operações que geram overflow (positivo ou negativo), por exemplo 1.0/0.0 = 1.0/ 0.0 = +, 1.0/ 0.0 = Exp = 111 1, frac Not a number (NaN), representando casos onde nenhum valor numérico pode ser determinado, como srqt( 1) ou 15

16 Padrão IEEE 754 Normalized Denorm +Denorm +Normalized + NaN 0 +0 NaN 16

17 Arredondamento em Ponto Flutuante Arredondar um número xpor outro com um número de dígitos significativos, consiste em encontrar um número x, pertencente ao sistema de numeração, tal que x x seja o menor possível Dado, seja sua representação em adotando arredondamento. Se x=0, então x=0, se não for, então escolhemos e tais que x x F, t, m, M x =s e, onde t s t s e 17

18 Arredondamento em Ponto Flutuante Se e está fora do intervalo [ m, M ] o número não pode ser representado no sistema. Caso contrário pode se calcular s 1 2 t =0.d 1 d 2 d t d t 1 e truncar o resultado em t dígitos, obtendo x= sinal x 0.d 1 d 2 d t e 18

19 Arredondamento em Ponto Flutuante Considere o sistema F(10,3,5,5). Represente os números x 1 = , x 2 = , x 3 =0.9995, x 4 = , x 5 = Os valores permitidos para s são s s Para x 1 = temos x 1 = x 1 = s = = x 1 =

20 Operações Aritméticas em Ponto Flutuante Como arredondamentos são feitos após cada operação aritmética, as operações de adição, subtração, divisão e multiplicação não são associativas nem distributivas, ao contrário de quando usadas com números reais Considerando um sistema com base 10 e 3 dígitos significativos e e e vezes e 3.31

21 Efeitos Numéricos Além dos erros causados por arredondamentos em operações aritméticas, alguns efeitos afetam a qualidade dos cálculos, como cancelamento, propagação de erros, instabilidade numérica e mal condicionamento O cancelamento ocorre na subtração de dois números quase iguais, pois o expoente permanece o mesmo e os dígitos iniciais são todos zero, perdendo se dígitos significativos do resultado = e 9.875= = =

22 Cancelamento Como resolver o problema? Neste caso podemos usar a identidade abaixo para obtermos um resultado preciso Exemplo: resolva a equação 22 x y= x y x y = = x x 2=0 x= 1634± =817± x 1 = = e x 2 = = x 1 x 2 =2 x 2 = =

23 Propagação de Erros A propagação de erros ocorre quando uma ou mais somas parciais têm o expoente maior que a soma final 23 e x = 1 k x k k=0 k! e 5.25 = = n s= a k, k=1 s 1 =a 1, s k =s k 1 a k, k=2,3,,n

24 Propagação de Erros Mas o valor correto com cinco dígitos significativos é e 5.25 = Podemos recalcular o valor usando a identidade e x = 1 e a fórmula e x = e x k=0 x k k! e 5.25 = e = =

25 Instabilidade Numérica Se um resultado intermediário é contaminado por um erro de arredondamento, este erro pode influenciar todos os resultados subseqüentes que dependem deste valor, propagando, assim, os erros de arredondamento Entretanto, os erros de arredondamento, podem, em alguns casos, cancelar se uns com os outros parcialmente ou totalmente, resultando em um erro desprezível no final. Algoritmos com esta propriedade são chamados estáveis 25

26 Instabilidade Numérica A instabilidade numérica ocorre quando os erros intermediários têm uma influência muito grande no resultado final I n =e 1 0 1{ I n =e [ 1 xn e x 1 ] Como I 0 =e x n e x dx } n x n 1 e x dx, ou seja I n =1 n I n 1, n=1,2,, e x dx=e 1 e 1 =0.6321, temos I 0 =0.6321, I 1 = I 2 = I 3 = I 4 = I 5 = I 6 = I 7 =

27 Instabilidade Numérica Entretanto o resultado de I 7 está errado, já que 1 I 7 e 1 max 0 e 1 e x 0 Observe que a seqüência I n é decrescente. Neste caso, usando a relação de recorrência anterior o erro cresce de acordo com o fator n a cada passo. A relação de recorrência é instável, mas a relação inversa pode não ser, vejamos: Não temos o valor de I n, para n > 0, mas sabemos que I n 0 quando n x n dx 1 n 1 = 1 8 I n =1 n I n 1, n=1,2,, I n 1 = 1 I n n 27

28 Instabilidade Numérica Entretanto, setando I 20 =0 e calculando a relação de recorrência acima, obtemos I 7 = , o resultado com todos os dígitos corretos Neste caso, deve se ter cuidado com o valor inicial setado, para que um número suficiente de iterações sejam feitas, diminuindo, assim, o erro da estimativa inicial 28

29 Mal Condicionamento Na resolução de um problema numérico, se cria um algoritmo para resolver um problema,a partir de dados de entrada Problemas cujos resultados dependem continuamente dos dados de entrada são ditos bem postos, em oposição aos problemas mal postos, mal condicionados ou críticos 29

30 Mal Condicionamento Por exemplo, resolva os sistemas lineares abaixo { x + y = 2 { x + y = 2 x y = 2.01 x y = 2.02 Uma pequena mudança nos dados de entrada gerou uma grande mudança na saída, isto é, esse é um problema mal condicionado A interpretação geométrica desse resultado nos mostra quão sensível o problema é à mudanças 30 nos dados de entrada

31 Mal Condicionamento Seja X o espaço dos dados, d(x,y) uma função de distância, e P um processo contínuo que transforma os dados x no resultado y, isto é, y=p(x), a definição de continuidade matemática exige que para cada 0, ( ) > 0, tais que P x P x sempre que x x Quanto maior a função ( ) puder ser escolhida, mais contínuo é o processo P 31

32 Mal Condicionamento O número de condição do problema indica se um problema é ou não mal condicionado Seja y=p(x), com P diferenciável. Então, a mudança em y causada pela mudança em x pode ser aproximada pelo diferencial de y. Logo, o comprimento de representa o número de condição de um problema num ponto x. O número de condição relativa é definido por P' x c r = P x Se c r 1 dizemos que o problema é relativamente 32 bem condicionado

33 Mal Condicionamento Calculando o número de condição relativa f ' x = 1 8 f x = ln 1/ x 1 8 ln 1/ x 9 8 1/ x 2 1/ x = 1 8x c r = f ' x f x = 1 8x ln 1/ x ln 1/ x 9 8 Para x=0 e x=1, c r =, ou seja, ele é extremamente mal condicionado. No intervalo x , c r 1 o problema de calcular f é bem condicionado 33

34 Mal Condicionamento Teoricamente, o termo mal condicionado é usado para modelos matemáticos e o termo instabilidade para algoritmos, mas na prática ambos são usados sem distinção 34

35 Efeitos Numéricos 35

36 Efeitos Numéricos 36

37 Efeitos Numéricos 37

38 Efeitos Numéricos 38

39 Efeitos Numéricos 39

40 Ariane 5 Explodiu 37 segundos após o lançamento, com uma carga avaliada em US$500,000, Motivo: software calculava velocidade horizontal usando ponto flutuante, e convertia resultado para um inteiro com 16 bits Software funcionou sem problemas para o Ariane 4, mas não para o Ariane 5 40

41 Processamento Digital de Sinais Existem várias definições de quais tarefas Processamento de Imagens engloba, logo existem várias maneiras de classificar as etapas fundamentais em PI A figura do próximo slide mostra uma destas classificações, separando as fases em dois grupos, de acordo com a natureza de seus resultados Dependendo da aplicação, várias ou apenas uma das etapas da figura a seguir podem estar presentes em um sistema real 41