Aritmética Computacional (Ponto Flutuante) Capítulo 4

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1 Aritmética Computacional (Ponto Flutuante) Capítulo 4 Ch4 1

2 Ponto Flutuante Objetivos: representação de números não inteiros aumentar a capacidade de representação (maiores ou menores) Formato padronizado 1.XXXXXXXXX... * 2 yyy (no caso geral B yyy ) No MIPS: S exp mantissa ou significando 8 23 exp mantissa faixa precisão sinal magnitude ( 1) S F * 2 E Ch4 2

3 Ponto Flutuante e padrão IEEE 754 expoente [ 128, 127] se = * 12; = 2 ( * 12) = 2 8 * 2 (10 * 12) 2 * overflow Nº > underflow Nº < PADRÃO IEEE 754 um implícito 1.XXXXXXXXXXX S exp mantissa ou significando 8 23 mantissa: precisão simples: 23 bits (+1) precisão dupla: 52 bits (+1) Ch4 3

4 Padrão IEEE754: bias Nº = ( 1) S (1 + Mantissa) * 2 E Para simplificar a ordenação (sorting): BIAS exp Bias exp No padrão: 2 (ne 1) 1 = 127 EXP = CAMPO EXP BIAS Exemplo: representar 0,75 10 = (1/2 + 1/4) 0,75 10 = 0,11 2 = 1,10 * 2 1 mantissa = (23 bits) campo expoente: = = Ch4 4

5 Tabela de faixas de representação do IEEE 754 Precisão simples Precisão dupla Expoente Mantissa Expoente Mantissa Significado Número não normalizado qquer qquer Número normalizado infinito NaN (not a number) 8bits 23(+1) 11 52(+1) Ch4 5

6 Soma em ponto flutuante Start 1. Compare the exponents of the two numbers. Shift the smaller number to the right until its exponent would match the larger exponent 2. Add the significands 3. Normalize the sum, either shifting right and incrementing the exponent or shifting left and decrementing the exponent Overflow or underflow? Yes No Exception 4. Round the significand to the appropriate number of bits No Still normalized? Yes Done Ch4 6

7 ULA para soma em ponto flutuante Sign Exponent Significand Sign Exponent Significand Small ALU Compare exponents Exponent difference Control Shift right Shift smaller number right Big ALU Add 0 1 Increment or decrement 0 1 Shift left or right Normalize Rounding hardware Round Sign Exponent Significand Ch4 7

8 Multiplicação em ponto flutuante Start 1. Add the biased exponents of the two numbers, subtracting the bias from the sum to get the new biased exponent 2. Multiply the significands 3. Normalize the product if necessary, shifting it right and incrementing the exponent Overflow or underflow? Yes No Exception 4. Round the significand to the appropriate number of bits No Still normalized? Yes 5. Set the sign of the product to positive if the signs of the original operands are the same; if they differ make the sign negative Done Ch4 8

9 Complexidade dos números de ponto flutuante Operações são mais complexas Pode se ter tanto o overflow quanto o underflow Acurácia torna o projeto de Hw de ponto flutuante mais complexo IEEE 754 mantém dois bits extra, guard e round Quatro modos de arredondamento No. positivo dividido por zero produz um valor infinito zero dividido por zero produz not a number Implementar o padrão pode ser trabalhoso! Não implementá lo é pior! Ch4 9

10 Resumo do Capítulo Aritmética computacional é condicionada pela precisão limitada Padrões: Complemento de 2 IEEE 754 Instruções de computador determinam o significado dos padrões dos bits Desempenho e acurácia são importantes Ch4 10