Sistemas de Computação. Representação em Ponto Flutuante

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1 Representação em Ponto Flutuante

2 Representação IEEE para ponto flutuante IEEE Standard 754 Estabelecido em 1985 como padrão uniforme para aritmética em ponto flutuante A maioria das CPUs suporta este padrão Foi projetado para criar um padrão com facilidades para operações numéricas

3 Números binários fracionários Representação Bits à direita da vírgula binária representam potências fracionárias de 2 Representa o número: 2 i 2 i 1 b i b i 1 b 2 b 1 b b 1 b 2 b 3 b j 1/2 1/4 1/8 2 j i k j 4 b k 2 k

4 Exemplos de números binários fracionários Valor Representação 5-3/ / / Observações Divide por 2 deslocando para a direita Multiplica por 2 deslocando para a esquerda Números da forma , logo abaixo de 1.0 1/2 + 1/4 + 1/ /2 i Use notação 1.0

5 Limitação na representação dos números Somente números na forma x/2 k são representados corretamente Outros números possuem representação com bits repetidos Valor Representação 1/ [01] 2 1/ [0011] 2 1/ [0011] 2

6 Representação em ponto flutuante Forma numérica 1 s M 2 E Bit de sinal s determina se o número é negativo ou positivo O significando M é normalmente um valor fracionário na faixa [1.0,2.0). O expoente E é um inteiro positivo ou negativo Codificação s exp frac MSB é o bit de sinal O campo exp codifica E O campo frac codifica M

7 Precisão em ponto flutuante Tamanhos Precisão simples: 8 bits para exp, 23 bits para frac 32 bits no total Precisão dupla: 11 bits para exp, 52 bits para frac 64 bits no total Precisão estendida: 15 bits para exp bits, 63 bits para frac Somente em máquinas compatíveis com Intel 80 bits no total 1 bit não utilizado

8 Valores numéricos normalizados exp e exp Representação em excesso de n para expoente E = Exp Bias Exp : inteiro sem sinal representado por exp Bias : Valor de n Precisão simples: 127 (Exp: 1 254, E: ) Precisão dupla: 1023 (Exp: , E: ) Em geral: Bias = 2 e-1-1, onde e é o número de bits do expoente Significando codificado com 1 implícito antes da vírgula M = 1.xxx x 2 xxx x: bits do campo frac Mínimo quando (M = 1.0) Máximo quando (M = 2.0 )

9 Exemplo de codificação em ponto flutuante Valor Float F = ; = = Significando M = frac = Expoente E = 13 Bias = 127 Exp = 140 = Representação em ponto flutuante Hexa: D B Binário: : :

10 Valores denormalizados exp = Valor Valor do expoente E = Bias + 1 Casos Valor do significando M = 0.xxx x 2 xxx x: bits do campo frac exp = 000 0, frac = Representa o valor 0 Existem duas representações: +0 e 0 exp = 000 0, frac Números muito perto de 0.0 Quanto menor, maior perda de precisão Underflow gradual

11 Valores especiais exp = Casos exp = 111 1, frac = Representa o valor (infinito) Operações em que ocorrem overflows Positivo e negativo Ex., 1.0/0.0 = 1.0/ 0.0 = +, 1.0/ 0.0 = exp = 111 1, frac Not-a-Number (NaN) Representa o caso quando não se pode determinar um valor numérico Ex., sqrt( 1),

12 Visualização da codificação de números reais em ponto flutuante -Normalizados -Denorm +Denorm +Normalizados + NaN 0 +0 NaN

13 Exemplo de ponto flutuante Representação com 8 bits o bit de sinal é o bit mais significativo os quatro próximos bits representam o expoente em excesso de 7 os três últimos bits representam o campo frac Mesma forma geral do padrão IEEE normalizado, denormalizado representação do 0, NaN, infinito s exp frac 0

14 Valores relativos ao expoente Exp exp E 2 E /64 (denorms) / / / / / / n/a (inf, NaN)

15 Faixa de valores s exp frac E Value /8*1/64 = 1/ /8*1/64 = 2/512 Números denormalizados /8*1/64 = 6/ /8*1/64 = 7/ /8*1/64 = 8/ /8*1/64 = 9/ /8*1/2 = 14/ /8*1/2 = 15/ /8*1 = /8*1 = 9/ /8*1 = 10/8 Números normalizados /8*128 = /8*128 = n/a inf mais perto do zero maior denorm menor norm mais perto do 1 para baixo mais perto do 1 para cima maior norm

16 Distribuição dos valores Formato de 6 bits tipo padrão IEEE e = 3 bits para expoente f = 2 bits para significando Excesso de 3 Distribuição mais densa em direção ao zero Denormaliz. Normaliz. Infinito

17 Números interessantes Descrição exp frac Valor numérico Zero Menor Pos. Denorm {23,52} 2 {126,1022} Simples 1.4 X Dupla 4.9 X Maior Denorm (1.0 ) 2 {126,1022} Simples 1.18 X Dupla 2.2 X Menos Pos. Normalizado {126,1022} Maior que o maior denormalizado Um Maior Normalizado (2.0 ) 2 {127,1023} Simples Dupla

18 Propriedades especiais da codificação Zero em PF é o mesmo que Zero inteiro Todos bits = 0 Pode-se utilizar comparação entre inteiros sem sinal Compara bits de sinal Considera -0 = 0 NaNs são problemáticos São maiores que qualquer outro número Que resposta deve ser dada?

19 Operações em ponto flutuante Visão conceitual Calcula resultado exato Ajusta resultado para precisão desejada Se exponente muito grande, pode ocorrer overflow Pode ocorrer arredondamento, para ajuste ao tamanho do campo frac Modos de arredondamento $1.40 $1.60 $1.50 $2.50 $1.50 Zero $1 $1 $1 $2 $1 Round down (- ) $1 $1 $1 $2 $2 Round up (+ ) $2 $2 $2 $3 $1 Nearest Even (default) $1 $2 $2 $2 $2

20 Multiplicação em ponto flutuante Operandos ( 1) s1 M1 2 E1 * ( 1) s2 M2 2 E2 Resultado ( 1) s M 2 E Sinal: s1 ^ s2 Significando M: M1 * M2 Expoente E: E1 + E2 Ajustando Se M 2, desloca M para direita, incrementa E Se E fora da faixa, overflow Arredonda M para ajuste ao campo frac Implementação Tarefa mais trabalhosa é multiplicar os significandos

21 Soma em ponto flutuante Operandos ( 1) s1 M1 2 E1 ( 1) s2 M2 2 E2 Assuma E1 > E2 Resultado exato ( 1) s M 2 E Sinal s, significando M: Resultado de alinhamento com sinal & soma Expoente E: E1 Ajuste ( 1) s1 M1 E1 E2 ( 1) s2 M2 Se M 2, desloca M para a direita, incrementa E Se M < 1, desloca M para a esquerda k posições, decrementa E de k Overflow se E fora da faixa Arredonda M para ajuste ao campo frac + ( 1) s M

22 Ponto flutuante em C C fornece dois níveis float double Conversões precisão simples precisão dupla Casting entre int, float, e double modifica valores numéricos Double ou float para int Trunca parte fracionária Arredonda para zero Não definido quando estiver fora da faixa Geralmente satura para TMin ou TMax int para double Conversão exata, desde que int tenha tamanho de palavra 53 bits int para float Será arredondado de acordo com modo de arredondamento

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