Conceitos e Princípios Gerais

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1 Conceitos e Princípios Gerais

2 Conceitos e Princípios Gerais Fases na resolução de problemas físicos Resolução do Modelo Matemático Conceitos Básicos de Cálculo Numérico Erros em Processos Numéricos

3 Fases na resolução de problemas físicos

4 Fases na resolução de problemas físicos MODELAGEM é a fase de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento do sistema físico em questão. RESOLUÇÃO é a fase de obtenção da solução do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos.

5 Conceitos e Princípios Gerais Fases na resolução de problemas físicos Resolução do Modelo Matemático Conceitos Básicos de Cálculo Numérico Erros em Processos Numéricos

6 Resolução do Modelo Matemático - Feita a modelagem matemática, a fase seguinte consiste na resolução do modelo matemático; - Esta fase consiste em mostrar se o modelo tem solução ou não e se a solução é única ou não; - Resolver o modelo matemático numericamente significa obter uma solução, mesmo que aproximada; - Foi com o surgimento do computador na década de 40 que a importância da análise numérica começou a ser notada, uma vez que, por meio do processamento eletrônico de dados, as técnicas numéricas se tornaram viáveis;

7 Resolução do Modelo Matemático - O cálculo numérico tem sua importância centrada no fato de que, mesmo quando a solução analítica é difícil de ser obtida, as técnicas numéricas podem ser empregadas sem maiores dificuldades; Exemplo: x 6-20x 5-110x x 3-5x x = 0 Não existe solução analítica! - Neste curso são apresentados os principais métodos numéricos, como utilizá-los, suas restrições, suas vantagens e os cuidados para usá-los.

8 Conceitos e Princípios Gerais Fases na resolução de problemas físicos Resolução do Modelo Matemático Conceitos Básicos de Cálculo Numérico Erros em Processos Numéricos

9 Conceitos Básicos de Cálculo Numérico > Problema Numérico > Método Numérico > Algoritmo > Iteração ou Aproximação Sucessiva > Aproximação Local

10 Problema Numérico - O tipo de problema que é resolvido por meio de cálculo numérico denomina-se problema numérico; - Considera-se que o problema é numérico quando tanto os dados de entrada como os dados de saída (resultados) para o problema são conjuntos numéricos finitos. Exemplo 1: Determinar as soluções da equação x 6-20x 5-110x x 3-5x x = 0 É um problema numérico! Os dados de entrada e saída são conjuntos numéricos finitos.

11 Problema Numérico Exemplo 2: Resolver a equação diferencial ordinária 2 d y = x 2 dx y(0) = 0 y(5) = y 2, para x (0,5) Não é um problema numérico! Os dados de entrada e saída são conjuntos numéricos infinitos. Quando um modelo matemático não conduz a um problema numérico, primeiramente é preciso transformálo num problema numérico. Neste caso, usa-se os conceitos de diferenças finitas.

12 Conceitos Básicos de Cálculo Numérico > Problema Numérico > Método Numérico > Algoritmo > Iteração ou Aproximação Sucessiva > Aproximação Local

13 Método Numérico - Método numérico é um conjunto de procedimentos utilizados para transformar um modelo matemático num problema numérico; - Conjunto de procedimentos usados para resolver um problema numérico;

14 Método Numérico - A escolha do método mais eficiente para resolver um problema numérico deve envolver os aspectos: (i) precisão desejada para os resultados; (ii) capacidade do método em conduzir os resultados desejados (velocidade de convergência); (iii) esforço computacional despendido (tempo de processamento).

15 Conceitos Básicos de Cálculo Numérico > Problema Numérico > Método Numérico > Algoritmo > Iteração ou Aproximação Sucessiva > Aproximação Local

16 Algoritmo - É a descrição sequencial dos passos que caracterizam um método numérico; - Um algoritmo consiste de uma sequência de n passos, cada um envolvendo um numéro finito de operações (aritméticas e lógicas); - O algoritmo deve fornecer valores ao menos próximos daqueles que são procurados, ao fim desses n passos; - O número n pode não ser conhecido a priori. É o caso de algoritmos iterativos. Neste caso, em geral tem-se para n apenas uma cota superior.

17 Conceitos Básicos de Cálculo Numérico > Problema Numérico > Método Numérico > Algoritmo > Iteração ou Aproximação Sucessiva > Aproximação Local

18 Iteração ou Aproximação Sucessiva - Uma das idéias fundamentais do cálculo numérico é a de iteração ou aproximação sucessiva; - Num sentido amplo, iteração significa a repetição de um processo; - Grande parte dos métodos numéricos usa iteração;

19 Iteração ou Aproximação Sucessiva - Um método numérico se caracteriza por: (i) Tentativa inicial: consiste em uma primeira tentativa aproximada para a solução desejada do problema. (ii) Equação de recorrência: equação por meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, são realizadas as iterações ou aproximações sucessivas para a solução desejada. (iii) Teste de parada: é o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é finalizado.

20 Conceitos Básicos de Cálculo Numérico > Problema Numérico > Método Numérico > Algoritmo > Iteração ou Aproximação Sucessiva > Aproximação Local

21 Aproximação Local - Aproximação local de uma função por outra, que seja de manuseio mais simples.

22 Aproximação Local

23 Conceitos e Princípios Gerais Fases na resolução de problemas físicos Resolução do Modelo Matemático Conceitos Básicos de Cálculo Numérico Erros em Processos Numéricos

24 Erros em Processos Numéricos - Na busca da solução do modelo matemático, os erros surgem de várias fontes e merecem cuidado especial. Do contrário, pode-se chegar a resultados distantes do que se esperaria ou até mesmo obter outros que não têm relação com o problema original;

25 Erros em Processos Numéricos - As principais fontes de erros são: (i) erros nos dados de entrada; (ii) erros no estabelecimento do modelo matemático; (iii) erros de arredondamentos durante a computação; (iv) erros de truncamento; (v) erros humanos e de máquinas.

26 Erros em Processos Numéricos

27 Erros em Processos Numéricos > Erros na fase de modelagem > Erros na fase de resolução

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34 Erros em Processos Numéricos > Erros na fase de modelagem > Erros na fase de resolução

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43 Resumindo BASE > BASE 10 x 2 PARTE INTEIRA x 2 PARTE FRACIONÁRIA BASE > BASE 2 : 2 PARTE INTEIRA x 2 PARTE FRACIONÁRIA

44 As máquinas utilizam o sistema de aritmética de ponto flutuante para representar os números e executar as operações.

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46 Um sistema de ponto flutuante F depende das variáveis β, t, I, e S e pode ser representado pela função: F = F(β, t, I, S)

47 Observação:

48 Sistema de ponto flutuante.

49 Sistema de ponto flutuante.

50 Sistema de ponto flutuante.

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55 Um número não poderá ser representado na máquina com sistema de aritmética de ponto flutuante se o expoente exp estiver fora dos limites I e S. A máquina acusará erro de underflow se exp < I e overflow se exp > S.

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58 Ex1: Ex2: 1 r 0,1 = N ,2 = = 10 5 r 2 N Ex3: ,25 = 100 = 2 4 = 2 = r 2 N Neste exemplo apenas 0,25 pode ser representado com um número finito de dígitos binários.

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60 Geralmente os computadores disponibilizam de 32 bits ou 64 bits (precisão dupla). sinal exp mantissa 32 bits 1 bit 8 bits 23 bits 64 bits 1 bit 11 bits 52 bits

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71 Instabilidade Numérica!

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