SME CÁLCULO NUMÉRICO I PROFESSORES MARCOS ARENALES MARISTELA SANTOS. Agosto 2011

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1 SME CÁLCULO NUMÉRICO I PROFESSORES MARCOS ARENALES MARISTELA SANTOS Agosto 2011

2 SME Cálculo Numérico I Ementa: 1) Representação de números no computador. Erros em métodos numéricos. 2) Soluções de equações: método iterativo linear, Newton, Secantes. 3) Soluções de equações e sistemas de equações não-lineares: método iterativo linear, método de Newton. 4) Soluções de equações polinomiais: Briot-Ruffini-Horner e Newton-Barstow. 5) Soluções de sistemas lineares: métodos exatos - LU, eliminação de Gauss e Cholesky. 6) Soluções de Sistemas linerares: Métodos iterativos - Gauss-Seidel, Jacobi-Richardson, gradientes e gradientes conjugados. 7) Determinação numérica de auto-valores e auto-vetores: métodos das potências e Francis (QR).

3 Informações Importantes Bibliografia Indicada BURDEN, R. L., FAIRES, J. D., Análise Numérica, Thompson FRANCO, N.B. Cálculo Numérico, Editora Pearson Education (2006). AVALIAÇÕES Duas Avaliações teóricas Média de Provas: MP = (P1+P2)/2 Trabalhos Práticos Média Aritmética dos Trabalhos: MT = (T1 + T2)/2 Média Semestral Se MP 5.0 Então Média Final = 0,85 MP + 0,15 MT Senão Média Final = MP

4 DATAS IMPORTANTES n. aula DATA Planejamento 1 05/08 Apresentação do Curso e critérios. Representação de um número no computador. Erros em métodos numéricos 2 12/08 Localização gráfica de raízes. Métodos iterativos.(bissecção e posição falsa). Método do ponto fixo. 19/08 SBPO - Sem aula 3 26/08 Método de Newton. Método da secante. 4 02/09 Soluções de equações polinomiais: Briot-Ruffini-Horner e Newton- Barstow. 5 16/09 Resolução de sistemas não lineares (método iterativo e Newton) 6 23/09 SEMANA DA COMPUTAÇÃO 7 30/09 1º Avaliação de conteúdo ( e entrega do trabalho 1) 8 07/10 Resolução de sistemas lineares. Métodos exatos 9 14/10 Resolução de Sistemas: Método de Gauss, LU. Cholesky 10 21/10 Resolução de sistemas lineares. Métodos iterativos 28/10 FERIADO 04/11 FERIADO 11 11/11 Resolução de sistemas lineares. Métodos iterativos 12 18/11 Autovalores e autovetores 13 25/11 Autovalores e autovetores 14 02/12 2º Avaliação de conteúdo e entrega do trabalho 2Avaliação substitutiva 15 09/12 Avaliação substitutiva (Repondo a aula 19/08)

5 PROPOSTA DE TRABALHO Trabalho 1: Implementação, na linguagem C ou C++, de métodos numéricos para zeros de funções. Trabalho 2: Implementação, na linguagem C ou C++, do Método Numérico para resolução de sistemas LU (com Gauss).

6 Por que técnicas numéricas? Nem sempre (quase nunca?) sabemos resolver os problemas reais de maneira analítica. ax 2 + bx + c = 0 solução analítica? Sim: fórmula de Bashkara. x 6-20x 5-110x x 3-5x x -100 =0

7 Por que técnicas numéricas? O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos por intermédio de um computador. Aplicações em Matemática: Obtenção de soluções numéricas; Solução numérica para problemas sem solução analítica;

8 Resolução de um problema real Problemas reais: -Produção (corte de peças, tamanho do lote e etc) -Escoamento de fluídos e etc Métodos numéricos (disciplina) para: 1) Determinar uma raiz de uma equação; 2) Resolver um sistema linear 3) Aproximar uma função 4) Etc.

9 Resolução de um problema real Solução do modelo matemático pode ser diferente da real. Fontes de erros: 1) Simplificações do modelo matemático; 2) Erro de truncamento 3) Erro de arredondamento 4) Erros nos dados. 5)...

10 Fontes de erro Simplificações (Idealizações) Exemplos: Em um modelo que deseja saber o tempo de queda de um objeto, desconsideramos a força de resistência do ar. Erro nos dados Implica erros nos parâmetros dos modelos, ocasionando erros na saída.

11 Fontes de erro Erros de truncamento Quando o modelo matemático envolve a avaliação, por exemplo, de uma série infinita, cometemos um erro de truncamento. Ex.: Aproximação Erro

12 Fontes de erro Erros de arredondamento Geralmente trabalhamos com uma aritmética de precisão finita (exemplo maior: computadores) Ex.: 1/3 = : π =

13 Medida do erro (introdução) É importante termos uma idéia do erro. Valor obtido por uma técnica numérica: Valor real: x x Erro absoluto: Erro relativo: Obviamente: se soubéssemos x, não precisaríamos de mais nada... Mesmo sem saber x, conseguimos estimar EA x e ER x?

14 Medida do erro (introdução) Em geral apenas x é conhecido. Na prática, obtém-se um limitante superior para o erro absoluto ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto π ( 3.14,3.15) Exemplo: Sabendo que toma para o valor de um valor dentro do intervalo: π EA π = π π < 0.01

15 Medida do erro (introdução) Exemplo: Seja x tal que: x = e EA < 0.1 ( x x ( ,2113)) Exemplo: Seja y tal que: y = 5.3 e EA < 0.1 ( y ( 5.2,5.4)) y Ambos os números estão representados com a mesma precisão? (Limitantes dos erros absolutos são os mesmos)

16 Medida do erro (introdução) Exemplo: Seja x tal que: x = e ER x EA = x x EA x < < ( x 4.7x10 ( ) ,2113 ) 5 Exemplo: Seja y tal que: y = 5.3 ER y < e EA y < ( y ( 5.2,5.4) ) x é representado com maior precisão do que y

17 Efetuando somatórios na calculadora e no computador S = i= 1 x i, x i = 0.5 e x i = 0.11 S = i= 1 x i, x = 0.5 Calculadora S = Computador S = i S = i= 1 x i, x = 0.11 Calculadora S = 3300 i Computador S = Por que a diferença? Depende da representação na máquina utilizada

18 Representação de Números Representação do número depende da base escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados na sua representação. O número π não pode ser representado por meio de um número finito de dígitos decimais. Número que não tem representação finita não fornecerá como resultado um valor exato. Quanto maior o número de dígitos utilizados, maior a precisão obtida. Um número pode ter representação finita em uma base e não-finita em outras bases. Na interação usuário computador: Os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal; as informações são convertidas para o sistema binário e as operações são efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão convertidos para o sistema decimal e transmitidos para o usuário.

19 Computadores são "binários" Por que 0 ou 1? 0 ou 1 - "fácil" de obter um sistema físico Transistores tem duas posições estáveis: ligado ou desligado Expansão binária de um número Representação binária: (a n, a n-1,..., a 1, a 0 )

20 Conversões entre base 10 e base 2 Da base 2 para a base 10 (100011) = = 35 Da base 10 para a base

21 Mudança de base 09:16 Da base 2 para a base 10 N 2 = N 10 = 1 x x x xx x x x x 2-4 =

22 Mudança de base Da base 10 para a base 2 N 10 = x 2 = x 2 = x 2 = (13.75) 10 = ( ) 2

23 E para outras bases? 09: da base 4 para a base 3 (12.20) 4 = (1x x x x 4-2 ) 10 = (6.5) x 3 = x 3 = x 3 = (12.20) 4 = (6.5) 10 = ( ) 3

24 Representação de números reais Representação de ponto fixo k e n são inteiros satisfazendo k < n e usualmente k 0 e n>0 x i são inteiros satisfazendo 0 x i < β Exemplo: x 3 x x x. x x Armazenado:

25 Representação de números reais Representação de ponto fixo - Representação à qual estamos mais habituados. Poderíamos dizer vírgula fixa

26 Ponto Fixo Usa-se determinado número fixo de bits para a parte inteira e determinado numero de bits para a parte fracionária. Considerando 4 bits para parte inteira e 4 bits para a parte fracionária, temos os exemplos: Valor decimal Representação binária 4, , , ,

27 Representação de Números Reais Representação de ponto flutuante

28 Representação de números 09:16 reais Representação de ponto flutuante (vírgula flutuante) β é a base do sistema de numeração e é o expoente d é a mantissa. d é um número em ponto fixo: freqüentemente: k=1 sign.) 0 d i < β i=1,...,t (número de dig. β -1 d < 1 -m e M

29 Representação de números 09:16 reais Ponto Flutuante: Usa-se determinado número de bits para a parte inteira e determinado número de bits para a parte fracionária, mas existe um expoente para mudar o local da vírgula d 1 0 representa o sistema de números em ponto flutuante normalizado. Como representar o zero? mantissa = 0 e = -m

30 Exemplos (Base 10) 09: = mantissa: (3 x x 10-2 ) e = 0 = 0.35 x = mantissa: -(5 x x x x 10-4 ) e = 1 = x = mantissa: (3 x 10-1 ) e = x 10-3

31 Notação 09:16 Representação de um sistema de notação com base β, número de dígitos significativos t e expoentes máximo e mínimo m e M: F(β, t, m, M) d 1 0; m e M ± 0. d 1 d2ld t x β e

32 Exemplos 09:16 Represente os números 0.35, 5391 e no sistema F(10,3,2,2) O.35: (3x x10-2 )x x (5x x x x 10-4 )x (3x x x10-3 ) x 10-3 underflow overflow

33 Exemplo (Cálculo Numérico. Sperandio, Mendes e Silva) Tome o sistema de representação dado por F(2,10,-15,15) a) Represente de alguma maneira como esse sistema pode ser armazenado em um computador binário. valor da mantissa Sinal da mantissa valor do expoente Sinal do expoente

34 Exemplo (Cálculo Numérico. Sperandio, Mendes e Silva) Tome o sistema de representação dado por F(2,10,-15,15) a) Represente o número (23) valor da mantissa Sinal da mantissa valor do expoente Sinal do expoente

35 Exemplo (Cálculo Numérico. Sperandio, Mendes e Silva) Tome o sistema de representação dado por F(2,10,-15,15) 1x x x x x = 1x x x x x 2 0 x valor da mantissa valor do expoente Sinal da mantissa Sinal do expoente

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38 Formatos IEEE 754 Pesquisar as precisões (simples, dupla..., entregar na próxima aula Com referências utilizadas)

39 Erros de Arredondamento

40 Arredondamento 09:16 F(β,t,m,M) base 10: t=1: 0.05 t=2: t=3:

41 Material utilizado Notas de aula Prof. Alysson Machado Costa ICMC/USP Livros Cálculo Numérico