Cálculo Numérico. que é denominado erro relativo. Temos então para os dados acima:

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1 Cálculo Numérico 1 Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. 1.1 Número Aproximado Um número x é dito uma aproximação para o número exato x se existe uma pequena diferença entre eles. Geralmente, nos cálculos os números exatos não são conhecidos e deste modo são substituídos por suas aproximações. 1.2 Erros Absolutos e Relativos Erro Absoluto A diferença entre um valor exato x e sua aproximação x é dito erro absoluto o qual denotamos por EA x. EA x : = x x Erro Relativo Considere x = ; x = 100e y = ; y = Assim EA x = 0.1 e EA y = Como EA y é muito menor que EA x poderíamos imaginar que a aproximação y de y é melhor que a x de x. Numa análise mais cuidadosa percebemos que as grandezas dos números envolvidos são muito diferentes. Inspirados nessa observação definimos: ER x : = EA x x que é denominado erro relativo. Temos então para os dados acima: ER x = EA x = 0.1 x 100 = ER y = EA y = y = 0.5 Agora podemos concluir que a aproximação x de x é melhor que a y de y, pois ER x < ER y. 1.3 Fontes de Erros Erros Inerentes São os erros que existem nos dados e são causados por erros inerentes aos equipamentos utilizados na captação dos dados Erros de Truncamento São os erros causados quando utilizamos num processo algorítmico infinito apenas uma parte finita do processo. Exemplo e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + = xn n! Podemos assim usar 1 + x + x2 + x3 como uma aproximação para o valor exato 2! 3! ex. Observe que para isso truncamos uma série infinita utilizando apenas uma parte finita dela. No exemplo utilizamos para a aproximação apenas quatro termos da série. Usando a aproximação acima temos: e = que é uma aproximação muito pobre para e n=1

2 1.3.3 Erros de Arredondamento Erros de Arredondamento são os erros originados pela representação dos números reais utilizandose apenas um número finito de casas decimais. Como se sabe, desde a mais simples calculadora até o mais potente computador, utiliza apenas um número finito de casas decimais para representar um número real (número real é denominado número de ponto flutuante nas linguagens de programação). Exemplo Suponha que tenhamos um computador que trabalha com 5 casas decimais e que nele estejam armazenados os números x = e y = Queremos calcular z = xy. Observe que como x e y tem 5 casas decimais z terá 10 casas decimais. Como proceder para armazenar z com 10 casas decimais nesse computador que só pode armazenar números com 5 casas decimais? 1.5 Propagação dos Erros Propagação dos Erros Absolutos Seja x uma aproximação para x e y uma aproximação para y ou seja EA x = x x e EA y = y y Então temos: 1. Soma: EA x+y = EA x + EA y 2. Subtração: EA x y = EA x EA y 3. Multiplicação: EA x y = x EA y + y EA x 4. Divisão: EA x ( y ) EA x y x (y ) 2 EA y Propagação dos Erros Relativos 1. Soma e Subtração: ER x±y = x 2. Multiplicação: ER x y = ER x +ER y 3. Divisão: ER ( x y ) = ER x ER y x ±y ER x ± y x ±y ER y 1.6 Flops Uma maneira de quantificar o volume de trabalho associado com uma computação é contar flops. Um flop é a soma, subtração, multiplicação ou divisão. O número de flops em um determinado cálculo da matriz é geralmente obtida pela soma da quantidade de aritmética associado com as declarações mais profundamente aninhadas. Exercícios 1) Calcule os erros absolutos e relativos para os itens a seguir a) x = 7,6 e x = 7,598 b) y = 1,532 e y = 1,537 c) z = 0, e z = 0, ) Utilizando os resultados do exercício anterior faça a) EA x+y = b) EA x y = c) EA x ( y ) = d) ER x+y = e) ER x y = f) ER x ( y ) = 0,0035 3) Seja a serie de MacLairin: sen x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)n x 2n+1 (2n + 1)!

3 com intervalo de convergência (, + ). Faça a aproximação para sen(1) através de truncamento após quatro termos da somatória. Encontre também o valor de sen(1) em sua calculadora. Compare os resultados. 2 Equações Algébricas e Transcendentes Equações algébricas: são as equações em que as incógnitas são submetidas apenas às chamadas operações algébricas, ou seja, soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação. Exemplo 1 x x3 = 0 Equação transcendente: é uma equação que contém alguma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja solução não pode ser expressa através de funções elementares. Exemplo sen x + e x = Soluções de Equações Algébricas e Transcendentes Em muitos problemas nas ciências Exatas há necessidade de se determinar um numero ε para qual f(ε) = 0. Este número é chamado raiz da equação f(ε) = 0 ou zero da função f(x). Existe muitas equações que são impossíveis obter suas raízes de forma analítica. No entanto existem métodos que podem encontrar a solução de forma aproximada. Esses métodos constam de duas fases. Geometricamente, conforme mostra a figura, as raízes representam os pontos de interseção do gráfico de f com o eixo dos x. 2.2 Fase I - Isolamento Nesta fase o objetivo é o de determinar um intervalo [a, b], o menor possível, que contenha uma única raiz. Teorema de Cauchy-Bolzano: Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b]. Se f(a) f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto ξ [a, b] tal que f(ξ) = 0. Resultado do teorema: Se f preservar o sinal em [a, b] e o Teorema de Cauchy-Bolzano for verificado neste intervalo então a raiz ξ é única. Deste modo, para isolarmos as raízes de uma equação f(x) = 0 comumente utilizamos um dos seguintes procedimentos: Procedimento I: Esboçar o gráfico de f, determinando intervalos [x i, x i+1 ]. Outra forma de isolar as raízes de f(x) é gerar uma tabela de pontos (x i, f(x i )). Procedimento II: Decompor a função f, se possível, na forma f = g h, onde os gráficos de g e h sejam conhecidos e mais simples. Neste caso, os pontos de interseção dos gráficos de g e h representam as raízes de f(x) = 0. Isto é: g(x i ) = h(x i ) g(x i ) h(x i ) = 0

4 Fase II - Refinamento Uma vez isolada uma raiz em um intervalo [a, b], procura-se, nesta fase, considerar uma aproximação para a raiz e melhorá-la sucessivamente até se obter uma aproximação com a precisão requerida Critérios de parada Dizemos que x k é uma boa aproximação para a raiz ξ de uma equação f(x) = 0 se os critérios abaixo forem satisfeitos: (i) f(x k ) < ε (ii) x k ξ < ε onde ε é a precisão ou tolerância admitida. 3 Métodos Iterativos para obter zeros de funções reais Um método interativo consiste em uma seqüência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. A execução de um ciclo recebe o nome de iteração. Cada iteração utiliza resultados das iterações anteriores e efetua determinados testes que permitem verificar se foi atingido um resultado próximo o suficiente do resultado esperado. Observamos que os métodos iterativos para obter zeros de funções fornecem apenas uma aproximação para a solução exata. 3.2 Método da Bissecção O método da bisseção explora o teorema de Cauchy-Bolzano. Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] tal que f(a) f(b) < 0. Vamos dividir o intervalo [a, b] no seu ponto médio, isto é, x 0 = a + b 2 Assim obtém-se dois subintervalos [a, x 0 ] e [x 0, b]. Se f(x 0 ) = 0 então ξ = x 0, senão Se f(a) f(x 0 ) < 0 então ξ (a, x 0 ), senão Se f(a) f(x 0 ) > 0 então ξ (x 0, b). O processo se repete com o novo intervalo até que o valor esteja tão próximo da raiz quanto se deseja (ε). A figura, a seguir, apresenta o esquema gráfico do método da bisseção Estimativa do número de iterações Estimemos o número de iterações necessárias para obter uma aproximação x k com uma precisão estabecida a priori, utilizando-se o critério (ii) da seção 3.2.1, x k ξ < ε, como único critério de parada. Assim, o número mínimo de iterações necessárias para se calcular uma aproximação para a raiz de uma equação com precisão ε pode ser determinado pela expressão: a ln (b ) k > ε ln 2

5 Exemplo 1 Determinar com precisão ε < 0,01 a raiz de f(x) = 2x cos x = 0 no intervalo [0, 1], utilizando o critério (ii) como critério de parada. 3.3 Método das Cordas (Método da Falsa Posição) Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b] tal que f(a) f(b) < 0. A idéia deste método é a de tomar como aproximação x para a raiz ξ no intervalo [a, b] a média ponderada entre os extremos a e b com pesos f(b) e f(a), respectivamente. Isto é: x k = a k f(b k ) + b k f(a k ) f(b k ) + f(a k ) Desta forma, x estará mais próximo do extremo cuja imagem for menor. Como f(a k ) e f(b k ) têm valores de sinais contrários, então temos dois casos a considerar: Se f(a k ) > 0 e f(b k ) < 0 então f(a k ) = f(a k ) e f(b k ) = f(b k ) logo: x k = a k f(b k ) b k f(a k ) f(b k ) f(a k ) Se f(a k ) < 0 e f(b k ) > 0 então f(a k ) = f(a k ) e f(b k ) = f(b k ) logo: x k = a k f(b k ) b k f(a k ) f(b k ) f(a k ) Exemplo 2 Determinar, com erro ε < 0,01, a raiz da equação f(x) = 2x cos x = 0 no intervalo [0, 1]. 3.4 Método de Newton-Raphson Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b] com ξ [a, b] e com f (x) contínuas tais que f (x) 0 e f(a) f(b) < 0. Utilizando uma aproximação pela expansão em serie de Taylor obtemos seguinte expressão. x k+1 = x k + f(x k) f (x k ) No método de Newton- Raphson pode ser obtido geometricamente da seguinte forma: dada o ponto (x k, f(x k )) traçamos a reta L k (x) tangente a curva da função f(x) neste ponto. L k (x) = f(x k ) + (x x k )f (x k ) A interseção da reta L k (x) com o eixo x obtém-se fazendo L k (x) = 0. e f (x)

6 3.4.1 Escolha da aproximação inicial Teorema Se f(a) f(b) < 0 e f e f forem não nulas e preservarem o sinal em [a, b], então partindo-se de uma aproximação inicial x 0 [a, b] tal que f(x 0 ) f (x 0 ) > 0 é possível gerar, pelo Método de Newton, uma sequência de aproximações x k que convirja para a raiz ξ de f(x) = 0. Exemplo 3 Determinar pelo Método de Newton-Raphson, com precisão ε < 0,01 a raiz da equação f(x) = 2x cos x = 0 no intervalo [0, 1]. 3.5 Método da Secante (Método de Pegaso) O método da secante consiste em usar uma aproximação para a derivada da função no método de Newton. Usamos a seguinte aproximação f (x k ) f(x k) f(x k 1 ) x k x k 1 n 1 temos x k+1 = x k + (x k x k 1 )f(x k ) f(x k ) f(x k 1 ) Exemplo 4 Determinar pelo Método da Secante, com precisão ε < 0,01 a raiz da equação f(x) = 2x cos x = 0 no intervalo [0, 1]. Exercícios Determina com precisão ε < 0,01 a raiz da equação abaixo utilizando - método da bisseção - método das cordas - método de Newton - método da secante a) f(x) = ln x 1 = 0 b) f(x) = 2 cos x e x/2 = 0 c) f(x) = 5x 2 11x + 2 = 0 d) f(x) = x 3 3 = 0